Jak wyprowadzić funkcje niejawne: 7 kroków (ze zdjęciami)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-19 22:13

W rachunku różniczkowym, gdy masz równanie na y zapisane w postaci x (np. y = x² -3x), łatwo jest użyć podstawowych technik derywacji (nazywanych przez matematyków technikami derywacji funkcji niejawnej) w celu znalezienia pochodnej. Jednak w przypadku równań, które są trudne do skonstruowania tylko z wyrazem y po jednej stronie znaku równości (np. x² + y² - 5x + 8 lat + 2xy² = 19), potrzebne jest inne podejście. Dzięki technice zwanej niejawnymi pochodnymi funkcji łatwo jest znaleźć pochodne równań wielu zmiennych, o ile znasz podstawy jawnych pochodnych funkcji!

Krok

Metoda 1 z 2: Szybkie wyprowadzanie prostych równań

Krok 1. Wyprowadź terminy x jak zwykle

Próbując wyprowadzić równanie wielu zmiennych, takie jak x² + y² - 5x + 8 lat + 2xy² = 19, może być trudno wiedzieć, od czego zacząć. Na szczęście pierwszy krok pochodnej funkcji niejawnej jest najłatwiejszy. Po prostu wyprowadź człony x i stałe po obu stronach równania zgodnie z regułami zwykłych (jawnych) pochodnych. Na razie zignoruj y-warunki.

• Spróbujmy wyprowadzić przykład prostego równania powyżej. x² + y² - 5x + 8 lat + 2xy² = 19 ma dwa wyrazy x: x² i -5x. Jeśli chcemy wyprowadzić równanie, najpierw musimy to zrobić, tak jak to:

  x² + y² - 5x + 8 lat + 2xy² = 19

  (Sprowadź do potęgi 2 w x² jako współczynnik usuń x w -5x i zmień 19 na 0)

  2x + y² - 5 + 8 lat + 2xy² = 0

Krok 2. Wyprowadź terminy y i dodaj (dy/dx) obok każdego terminu

W następnym kroku po prostu wyprowadź wyrazy y w taki sam sposób, w jaki wyprowadziłeś wyrazy x. Tym razem jednak dodaj (dy/dx) obok każdego terminu, tak jak dodajesz współczynniki. Na przykład, jeśli obniżysz y², to pochodna staje się 2y(dy/dx). Zignoruj na razie wyrażenia zawierające x i y.

• W naszym przykładzie nasze równanie wygląda teraz tak: 2x + y² - 5 + 8 lat + 2xy² = 0. Następny krok wyprowadzenia y wykonamy w następujący sposób:

  2x + y² - 5 + 8 lat + 2xy² = 0

  (Sprowadź do potęgi 2 w y² jako współczynniki, usuń y z 8y i umieść dy/dx obok każdego składnika).

  2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy²= 0

Krok 3. Użyj reguły iloczynu lub reguły ilorazu dla wyrazów mających x i y

Praca z wyrażeniami, które mają x i y, jest trochę trudna, ale jeśli znasz zasady dotyczące produktu i ilorazu dla instrumentów pochodnych, będzie to łatwe. Jeśli wyrazy x i y są pomnożone, użyj reguły iloczynu ((f × g)' = f' × g + g × f'), zastępując wyraz x za f i wyraz y za g. Z drugiej strony, jeśli wyrazy x i y wzajemnie się wykluczają, zastosuj regułę ilorazu ((f/g)' = (g × f' - g' × f)/g²), zastępując licznik f i mianownik g.

• W naszym przykładzie 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy² = 0, mamy tylko jeden wyraz, który ma x i y - 2xy². Ponieważ x i y są mnożone przez siebie, użyjemy reguły iloczynu do wyprowadzenia w następujący sposób:

  2xy² = (2x)(y²)- zestaw 2x = f i y² = g w (f × g)' = f' × g + g × f'

  (f × g)' = (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g)' = (2) × (y²) + (2x) × (2y(dy/dx))

  (f × g)' = 2 lata² + 4xy(dy/dx)

• Dodając to do naszego głównego równania, otrzymujemy 2x + 2 lata(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2 lata² + 4xy(dy/dx) = 0

Krok 4. Sam (dy/dx)

Jesteś prawie gotowy! Teraz wystarczy rozwiązać równanie (dy/dx). Wydaje się to trudne, ale zwykle nie jest - pamiętaj, że dowolne dwa wyrazy a i b są pomnożone przez (dy/dx) można zapisać jako (a + b)(dy/dx) ze względu na rozdzielczą własność mnożenia. Ta taktyka może ułatwić izolowanie (dy/dx) - po prostu przenieś wszystkie pozostałe wyrazy na drugą stronę nawiasów, a następnie podziel je przez wyrazy w nawiasach obok (dy/dx).

• W naszym przykładzie upraszczamy 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0 w następujący sposób:

  2x + 2 lata(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2 lata² + 4xy(dy/dx) = 0

  (2 lata + 8 + 4xy)(dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 lata + 8 + 4x)

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

Metoda 2 z 2: Korzystanie z zaawansowanych technik

Krok 1. Wprowadź wartość (x, y), aby znaleźć (dy/dx) dla dowolnego punktu

Bezpieczna! Już wyprowadziłeś swoje równanie w sposób dorozumiany - nie jest to łatwa praca przy pierwszej próbie! Użycie tego równania do znalezienia gradientu (dy / dx) dla dowolnego punktu (x, y) jest tak proste, jak umieszczenie wartości x i y dla twojego punktu po prawej stronie równania, a następnie znalezienie (dy / dx).

• Załóżmy na przykład, że chcemy znaleźć gradient w punkcie (3, -4) dla naszego przykładowego równania powyżej. Aby to zrobić, podstawimy 3 za x i -4 za y, rozwiązując w następujący sposób:

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2(-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2(16) - 6 + 5)/(2(2(3)(-4))

  (dy/dx) = (-32) - 6 + 5)/(2(2(-12))

  (dy/dx) = (-33)/(2(2(-12))

  (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, lub 0, 6875.

Krok 2. Użyj reguły łańcucha dla funkcji w funkcjach

Reguła łańcucha jest ważną częścią wiedzy, którą należy posiadać podczas pracy nad problemami rachunku różniczkowego (w tym problemami z pochodnymi funkcji niejawnych). Reguła łańcucha mówi, że dla funkcji F(x), którą można zapisać jako (f o g)(x), pochodna F(x) jest równa f'(g(x))g'(x). W przypadku trudnych problemów pochodnych funkcji utajonej oznacza to, że możliwe jest wyprowadzenie różnych poszczególnych części równania, a następnie połączenie wyników.

• Jako prosty przykład załóżmy, że musimy znaleźć pochodną sin(3x² + x) jako część większego problemu pochodnej funkcji uwikłanej dla równania sin(3x² +x) + y³ = 0. Jeśli wyobrazimy sobie grzech(3x² + x) jako f(x) i 3x² + x jako g(x), możemy znaleźć pochodną w następujący sposób:

  f'(g(x))g'(x)

  (grzech(3x² + x))' × (3x² +x)”

  cos(3x² +x) × (6x + 1)

  (6x + 1)cos(3x² +x)

Krok 3. Dla równań ze zmiennymi x, y i z znajdź (dz/dx) i (dz/dy)

Chociaż jest to nietypowe w podstawowym rachunku różniczkowym, niektóre zaawansowane aplikacje mogą wymagać wyprowadzenia niejawnych funkcji więcej niż dwóch zmiennych. Dla każdej dodatkowej zmiennej musisz znaleźć jej dodatkową pochodną względem x. Na przykład, jeśli masz x, y i z, powinieneś wyszukać zarówno (dz/dy), jak i (dz/dx). Możemy to zrobić, wyprowadzając równanie w odniesieniu do x dwa razy - najpierw wprowadzimy (dz/dx) za każdym razem, gdy wyprowadzimy wyraz zawierający z, a po drugie, wstawimy (dz/dy) za każdym razem, gdy wyprowadzimy z. Potem już tylko kwestia rozwiązania (dz/dx) i (dz/dy).

• Na przykład powiedzmy, że próbujemy wyprowadzić x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• Najpierw wyprowadźmy z x i wpiszmy (dz/dx). W razie potrzeby nie zapomnij zastosować reguły produktu!

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z(dz/dx) - 5 lat⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵)(dz/dx) - 5 lat⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵)(dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5 lat⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5 lat⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

• Teraz zrób to samo dla (dz/dy)

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z(dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3y²

  (2x³z - 5xy⁵)(dz/dy) = 3y² + 25xy⁴z

  (dz/dy) = (3 lata² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)