Magiczne kwadraty stały się popularne dzięki wynalezieniu gier opartych na matematyce, takich jak Sudoku. Magiczny kwadrat to taki układ liczb w kwadracie, że suma każdego wiersza, kolumny i przekątnej jest równa stałej liczbie zwanej „magiczną stałą”. W tym artykule dowiesz się, jak rozwiązywać wszystkie rodzaje magicznych kwadratów, zarówno w kolejności nieparzystej, jak i nieparzystej, która nie jest wielokrotnością czterech, a nawet kolejnością wielokrotności czterech.
Krok
Metoda 1 z 3: Rozwiązywanie magicznych kwadratów nieparzystego rzędu
Krok 1. Oblicz magiczną stałą
Możesz znaleźć tę liczbę, używając prostego wzoru matematycznego, gdzie n = liczba wierszy lub kolumn w magicznym kwadracie. Na przykład dla magicznego kwadratu 3x3, wtedy n = 3. Magiczna stała = [n * (n * n + 1)] / 2. Tak więc w przykładzie z kwadratem 3x3:
- Suma = [3*(3*3+1)]/2
- Suma = [3 * (9 + 1)] / 2
- Ilość = (3 * 10) / 2
- Ilość = 30/2
- Magiczna stała magicznego kwadratu 3x3 wynosi 30/2, czyli 15.
- Wszystkie rzędy, kolumny i przekątne muszą się sumować do tej liczby.
Krok 2. Umieść cyfrę 1 w środkowym kwadracie w górnym rzędzie
W tym miejscu zawsze zaczynasz od nieparzystych magicznych kwadratów, bez względu na to, jak duże lub małe są magiczne kwadraty. Tak więc, jeśli masz magiczny kwadrat 3x3, umieść 1 w kwadracie 2 (drugi kwadrat od lewej lub prawej). Inny przykład, dla magicznego kwadratu 15x15, umieść liczbę 1 w kwadracie 8 (ósmy kwadrat od lewej lub prawej).
Krok 3. Uzupełnij pozostałe liczby za pomocą wzoru „jeden kwadrat w górę, jeden kwadrat w prawo”
Liczby zawsze będziesz wprowadzać sekwencyjnie (1, 2, 3, 4 itd.), przesuwając się o jeden wiersz w górę, a następnie w prawo o jedną kolumnę. Wkrótce zauważysz, że aby umieścić cyfrę 2, przejdziesz poza górny rząd, poza magiczny kwadrat. To nie ma znaczenia, bo chociaż zawsze wpisujesz liczby w górę o jeden kwadrat, na prawo od tego jednego pola, istnieją trzy wyjątki, które również mają pewne wzorce i przewidywalne zasady:
- Jeśli ruch wypełniania liczb prowadzi do pola, które przechodzi przez górny rząd magicznego kwadratu, pozostań w kolumnie tego kwadratu, ale umieść liczbę w dolnym rzędzie tej kolumny.
- Jeśli ruch numeracji prowadzi cię do pola, które przechodzi przez skrajną prawą kolumnę magicznego kwadratu, pozostań w rzędzie tego kwadratu, ale umieść liczby w skrajnej lewej kolumnie tego wiersza.
- Jeśli przemieszczanie się numerów wypełniających powoduje, że przechodzisz do pola, które zostało wypełnione, wróć do poprzedniego pola, które zostało wypełnione i umieść następną liczbę pod tym polem.
Metoda 2 z 3: Rozwiązywanie magicznych kwadratów o parzystej kolejności, a nie wielokrotności czterech
Krok 1. Zrozum, co oznacza magiczny kwadrat parzystego rzędu, a nie wielokrotność czterech
Wszyscy wiedzą, że liczby parzyste są podzielne przez dwa, ale w magicznych kwadratach istnieją różne metodologie rozwiązywania kwadratów parzystego rzędu, które nie są wielokrotnościami czterech (pojedynczo nawet magiczny kwadrat) i tych, które są wielokrotnościami czterech (podwójnie nawet magiczny kwadrat)..
- Kwadraty parzystego rzędu, które nie są wielokrotnościami czterech, mają po każdej stronie liczbę kwadratów podzielnych przez dwa, ale niepodzielnych przez cztery.
- Magiczne kwadraty parzystego rzędu, które nie są wielokrotnością czterech, najmniejsze to 6x6, ponieważ nie można stworzyć magicznych kwadratów 2x2.
Krok 2. Oblicz stałą magiczną
Użyj tej samej metody, jak w przypadku magicznego kwadratu nieparzystego rzędu: magiczna stała = [n * (n * n + 1)]/2, gdzie n = liczba kwadratów z każdej strony. Tak więc w przykładzie magicznego kwadratu 6x6:
- Suma = [6*(6*6+1)]/2
- Suma = [6 * (36 + 1)] / 2
- Ilość = (6 * 37) / 2
- Ilość = 222 / 2
- Magiczna stała dla magicznego kwadratu 6x6 to 222/2, czyli 111.
- Wszystkie rzędy, kolumny i przekątne muszą się sumować do tej liczby.
Krok 3. Podziel magiczny kwadrat na cztery równe ćwiartki
Oznacz je A (górny lewy), C (górny prawy), D (dolny lewy) i B (dolny prawy). Aby dowiedzieć się, jak duży powinien być każdy kwadrant, po prostu podziel liczbę kwadratów w każdym rzędzie lub kolumnie przez dwa.
Tak więc dla kwadratu 6x6, rozmiar każdego kwadrantu to 3x3 kwadraty
Krok 4. Nadaj każdej ćwiartce zakres liczb
Kwadrant A to ćwiartka pierwszych liczb, kwadrant B to ćwiartka drugich liczb, kwadrant C to ćwiartka trzeciej liczby, a kwadrant D to ostatnia ćwiartka całego zakresu liczb dla magicznego kwadratu 6x6.
W przykładzie kwadratu 6x6 kwadrant A będzie ponumerowany od 1 do 9, kwadrant B od 10 do 18, kwadrant C od 19 do 27, a kwadrant D od 28 do 36
Krok 5. Rozwiąż każdy kwadrant, stosując metodologię nieparzystych magicznych kwadratów
Kwadrant A będzie łatwy do wypełnienia, ponieważ zaczyna się od cyfry 1, tak jak ogólnie w magicznym kwadracie. Ale dla kwadrantów od B do D zaczniemy od nietypowych liczb 10, 19 i 28, dla tego przykładu.
- Pomyśl o pierwszej liczbie w każdym kwadrancie tak, jakby była ona jednym. Umieść go w środkowym polu w górnym rzędzie każdej ćwiartki.
- Pomyśl o każdym kwadrancie jak o własnym magicznym kwadracie. Nawet jeśli pole znajduje się w sąsiednim kwadrancie, zignoruj to pole i postępuj zgodnie z zasadą „wyjątku” odpowiednią do sytuacji.
Krok 6. Utwórz podświetlenia A i D
Jeśli spróbujesz dodać kolumny, rzędy i przekątne w tym momencie, zauważysz, że nie są one jeszcze równe magicznej stałej. Aby ukończyć magiczny kwadrat, musisz zamienić kilka kwadratów między lewym górnym i lewym dolnym kwadrantem. Zamienione obszary będziemy określać jako Najciekawsze A i Najciekawsze D. (Uwagi:
wyjaśnienia w tym i następnym kroku są bardziej specyficzne dla magicznych kwadratów 6x6, które mogą nie być odpowiednie dla większych magicznych kwadratów).
- Za pomocą ołówka zaznacz wszystkie prostokąty w górnym rzędzie, aż dotrzesz do pozycji mediany prostokąta kwadrantu A. (Uwaga: medianę można znaleźć na podstawie wzoru n = (4 * m) + 2, gdzie m jest medianą). Tak więc w kwadracie 6x6 zaznaczyłbyś tylko kwadrat 1 (zawierający w polu liczbę 8), ale w kwadracie 10x10 zaznaczyłbyś kwadraty 1 i 2 (które zawierają odpowiednio liczby 17 i 24 w obu kwadratach).).
- Oznacz obszar jako kwadrat, używając pól oznaczonych jako górny rząd. Jeśli zaznaczysz tylko jedno pole, twój kwadrat będzie tylko tym jednym polem. Obszar ten będziemy określać jako Highlight A-1.
- Tak więc, w przypadku magicznego kwadratu 10x10, Podświetlenie A-1 będzie składało się z kwadratów 1 i 2 w rzędach 1 i 2, tworząc kwadrat 2x2 w lewym górnym rogu kwadrantu.
- W rzędzie poniżej Podświetl A-1 pomiń kwadraty w pierwszej kolumnie, a następnie zaznacz kwadraty w środku ćwiartki. Nazwiemy ten środkowy wiersz Podświetleniem A-2.
- Podświetl A-3 to kwadrat identyczny jak A-1, ale w lewym dolnym rogu kwadrantu.
- Podświetlenia A-1, A-2 i A-3 razem tworzą Podświetlenie A.
- Powtórz ten proces w kwadrancie D, tworząc identyczne obszary podświetlenia, zwane jako Światła D.
Krok 7. Zamień podświetlenia A i D
To jedna wymiana za drugą. Przesuwaj i zmieniaj pola pomiędzy kwadrantem A i kwadrantem D, nie zmieniając w ogóle kolejności (patrz rysunek). Kiedy to zrobisz, wszystkie rzędy, kolumny i przekątne w magicznym kwadracie powinny sumować się do obliczonej magicznej stałej.
Metoda 3 z 3: Rozwiązywanie magicznych kwadratów parzystych wielokrotności czterech
Krok 1. Zrozum, co oznacza magiczny kwadrat równej wielokrotności rzędu czterech
Magiczny kwadrat parzystego rzędu, który nie jest wielokrotnością czterech, ma po każdej stronie liczbę kwadratów podzielnych przez dwa, ale niepodzielnych przez cztery. Magiczny kwadrat równych wielokrotności czterech ma liczbę kwadratów z każdej strony podzielną przez cztery.
Najmniejszą parzystą wielokrotnością czterech, jaką można wykonać, jest 4x4
Krok 2. Oblicz magiczną stałą
Użyj tej samej metody, jak w przypadku magicznego kwadratu nieparzystego rzędu: magiczna stała = [n * (n * n + 1)]/2, gdzie n = liczba kwadratów z każdej strony. Tak więc w przykładzie magicznego kwadratu 4x4:
- Suma = [4*(4*4+1)]/2
- Suma = [4 * (16 + 1)] / 2
- Ilość = (4 * 17) / 2
- Ilość = 68 / 2
- Magiczna stała dla magicznego kwadratu 4x4 to 68/2, czyli 34.
- Wszystkie rzędy, kolumny i przekątne muszą się sumować do tej liczby.
Krok 3. Utwórz podświetlenia od A do D
W każdym rogu magicznego kwadratu zaznacz mini kwadrat o długości boku n/4, gdzie n = długość boku magicznego kwadratu. Etykieta z wyróżnieniami A, B, C i D w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
- W kwadracie 4x4 zaznaczysz tylko cztery rogi kwadratu.
- W kwadracie 8x8 każde wyróżnienie będzie obszarem 2x2 w swoim rogu.
- W kwadracie 12x12 każde wyróżnienie będzie miało w rogu obszar 3x3 i tak dalej.
Krok 4. Utwórz wyróżnienie centrum
Zaznacz wszystkie kwadraty w środku magicznego kwadratu w obszarze kwadratu o długości n/2, gdzie n = długość boku magicznego kwadratu. Światła centralne nie powinny w ogóle uderzać w obszary od A do D, a jedynie przecinać się z każdym z nich w rogu.
- W kwadracie 4x4 wyróżnienie środka będzie obszarem 2x2 w środku.
- W kwadracie 8x8 wyróżnienie środka będzie obszarem 4x4 w środku i tak dalej.
Krok 5. Wypełnij magiczny kwadrat, ale tylko w zaznaczonych obszarach
Zacznij wpisywać liczbę w magicznym kwadracie od lewej do prawej, ale wprowadź liczbę tylko wtedy, gdy kwadrat znajduje się w polu Podświetlenie. Tak więc, dla siatki 4x4, wypełniłbyś następujące pola:
- Numer 1 w lewym górnym polu i 4 w prawym górnym polu.
- Numery 6 i 7 w środkowych kwadratach drugiego rzędu.
- Liczby 10 i 11 znajdują się w środkowych kwadratach trzeciego rzędu.
- Liczba to 13 w lewym dolnym polu i 16 w prawym dolnym polu.
Krok 6. Wypełnij pozostałe kwadraty magicznego kwadratu w odwrotnej kolejności liczenia
Ten krok jest zasadniczo odwrotnością poprzedniego kroku. Zacznij ponownie od lewego górnego pola, ale tym razem pomiń wszystkie kwadraty w podświetlonym obszarze i wypełnij niewyróżnione kwadraty w odwrotnej kolejności liczenia. Zacznij od największej liczby w swoim zakresie numerów. Tak więc, dla magicznego kwadratu 4x4, wypełniłbyś następujące pola:
- Liczby 15 i 14 znajdują się w środkowych kwadratach pierwszego rzędu.
- Liczba 12 w skrajnym lewym kwadracie i 9 w skrajnym prawym kwadracie w drugim rzędzie.
- Numery 8 w skrajnym lewym kwadracie i 5 w skrajnym prawym kwadracie w trzecim rzędzie.
- Cyfry 3 i 2 w środkowych kwadratach czwartego rzędu.
- W tym momencie wszystkie kolumny, rzędy i przekątne powinny sumować się do obliczonej magicznej stałej.
