Studenci matematyki są często proszeni o zapisanie odpowiedzi w najprostszej formie – innymi słowy, o zapisanie odpowiedzi tak elegancko, jak to możliwe. Chociaż długie, sztywne i krótkie, a także eleganckie równania są technicznie tym samym, często problem matematyczny nie jest uważany za kompletny, jeśli ostateczna odpowiedź nie jest zredukowana do najprostszej postaci. Ponadto odpowiedź w najprostszej formie jest prawie zawsze najłatwiejszym równaniem do pracy. Z tego powodu nauka upraszczania równań jest ważną umiejętnością matematyków.
Krok
Metoda 1 z 2: Korzystanie z sekwencji operacji
Krok 1. Poznaj kolejność operacji
Podczas upraszczania wyrażeń matematycznych nie można po prostu pracować od lewej do prawej, mnożyć, dodawać, odejmować itd. w kolejności od lewej do prawej. Niektóre operacje matematyczne muszą mieć pierwszeństwo przed innymi i zostać wykonane jako pierwsze. W rzeczywistości użycie niewłaściwej kolejności operacji może dać złą odpowiedź. Kolejność działań to: część w nawiasach, wykładnik, mnożenie, dzielenie, dodawanie i wreszcie odejmowanie. Akronim, którego możesz użyć do zapamiętania, to ponieważ matka nie jest dobra, zła i biedna.
Należy zauważyć, że chociaż podstawowa wiedza o kolejności działań może uprościć najbardziej podstawowe równania, do uproszczenia wielu równań zmiennych, w tym prawie wszystkich wielomianów, wymagane są specjalne techniki. Zobacz następującą drugą metodę, aby uzyskać więcej informacji
Krok 2. Zacznij od wypełnienia wszystkich sekcji w nawiasach
W matematyce nawiasy oznaczają, że część wewnętrzną należy obliczyć oddzielnie od wyrażenia znajdującego się poza nawiasami. Bez względu na to, jakie operacje znajdują się w nawiasach, pamiętaj, aby najpierw wypełnić część w nawiasach, gdy próbujesz uprościć równanie. Na przykład w nawiasach należy pomnożyć przed dodaniem, odjęciem i tak dalej.
-
Na przykład spróbujmy uprościć równanie 2x + 4(5 + 2) + 32 - (3 + 4/2). W tym równaniu najpierw musimy rozwiązać część znajdującą się w nawiasach, a mianowicie 5 + 2 i 3 + 4/2. 5 + 2 =
Krok 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2
Krok 5
Część w drugim nawiasie jest uproszczona do 5, ponieważ zgodnie z kolejnością operacji w nawiasach najpierw dzielimy 4/2. Jeśli pracujemy tylko od lewej do prawej, najpierw dodajemy 3 i 4, a następnie dzielimy przez 2, dając błędną odpowiedź 7/2
- Uwaga – jeśli w nawiasach jest wiele nawiasów, wypełnij sekcję w nawiasie najbardziej wewnętrznym, następnie w drugim najbardziej wewnętrznym i tak dalej.
Krok 3. Rozwiąż wykładnik
Po uzupełnieniu nawiasów rozwiąż wykładnik swojego równania. Łatwo to zapamiętać, ponieważ w wykładnikach podstawa i potęga potęgi są obok siebie. Znajdź odpowiedź na każdą część wykładnika, a następnie wprowadź odpowiedź do równania, aby zastąpić część wykładnika.
Po uzupełnieniu części w nawiasach nasze przykładowe równanie staje się teraz 2x + 4(7) + 32 - 5. Jedynym wykładnikiem w naszym przykładzie jest 32, który jest równy 9. Dodaj ten wynik do swojego równania, aby zastąpić 32 co daje 2x + 4(7) + 9 - 5.
Krok 4. Rozwiąż problem mnożenia w swoim równaniu
Następnie wykonaj dowolne mnożenie w swoim równaniu. Pamiętaj, że mnożenie można zapisać na kilka sposobów. Kropka × lub symbol gwiazdki to sposób pokazywania mnożenia. Jednak liczba obok nawiasów lub zmienna (np. 4(x)) również reprezentuje mnożenie.
-
W naszym zadaniu do mnożenia są dwie części: 2x (2x to 2 × x) i 4(7). Nie znamy wartości x, więc po prostu zostawiamy ją na 2x. 4(7) = 4 × 7 =
Krok 28.. Możemy przepisać nasze równanie na 2x + 28 + 9 - 5.
Krok 5. Przejdź do podziału
Kiedy szukasz w swoich równaniach problemów z dzieleniem, pamiętaj, że podobnie jak mnożenie, dzielenie można zapisać na wiele sposobów. Jednym z nich jest symbol, ale pamiętaj, że ukośniki i myślniki, takie jak ułamki (np. 3/4) również oznaczają podział.
Ponieważ już dokonaliśmy podziału (4/2), kiedy skończyliśmy części w nawiasach. W naszym przykładzie nie ma już problemu z dzieleniem, więc pominiemy ten krok. To pokazuje ważny punkt – nie musisz wykonywać wszystkich operacji podczas upraszczania wyrażenia, tylko operacje zawarte w Twoim problemie
Krok 6. Następnie dodaj wszystko, co znajduje się w twoim równaniu
Możesz pracować od lewej do prawej, ale łatwiej jest najpierw dodać łatwe do dodania liczby. Na przykład w zadaniu 49 + 29 + 51 + 71 łatwiej jest dodać 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 i 100 + 100 = 200, niż 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129, a 129 + 71 = 200.
Nasze przykładowe równanie zostało częściowo uproszczone do 2x + 28 + 9 – 5. Teraz musimy zsumować liczby, które możemy zsumować – spójrzmy na każdy problem dodawania od lewej do prawej. Nie możemy dodać 2x i 28, ponieważ nie znamy wartości x, więc po prostu to pominiemy. 28 + 9 = 37, można przepisać na 2x + 37 - 5.
Krok 7. Ostatnim krokiem sekwencji operacji jest odejmowanie
Kontynuuj swój problem, rozwiązując pozostałe problemy z odejmowaniem. Możesz myśleć o odejmowaniu jako o dodawaniu liczb ujemnych w tym kroku lub o zastosowaniu tych samych kroków, co w przypadku zwykłego zadania dodawania – Twój wybór nie wpłynie na Twoją odpowiedź.
-
W naszym zadaniu 2x + 37 - 5 jest tylko jeden problem odejmowania. 37 – 5 =
Krok 32.
Krok 8. Sprawdź swoje równanie
Po rozwiązaniu za pomocą kolejności działań, twoje równanie powinno zostać uproszczone do najprostszej postaci. Jeśli jednak twoje równanie zawiera jedną lub więcej zmiennych, zrozum, że nie trzeba nad nimi pracować. Aby uprościć zmienną, musisz albo znaleźć wartość swojej zmiennej, albo użyć specjalnych technik w celu uproszczenia wyrażenia (patrz krok poniżej).
Nasza ostateczna odpowiedź to 2x + 32. Nie możemy rozwiązać tego końcowego dodawania, jeśli nie znamy wartości x, ale gdybyśmy znali jego wartość, to równanie byłoby znacznie łatwiejsze do rozwiązania niż nasze długie równanie pierwotne
Metoda 2 z 2: Upraszczanie złożonych równań
Krok 1. Dodaj części, które mają tę samą zmienną
Rozwiązując równania zmiennych, pamiętaj, że części, które mają tę samą zmienną i wykładnik (lub tę samą zmienną) mogą być dodawane i odejmowane jak normalne liczby. Ta część musi mieć tę samą zmienną i wykładnik. Na przykład można dodać 7x i 5x, ale 7x i 5x2 nie da się zsumować.
- Ta zasada dotyczy również niektórych zmiennych. Na przykład 2xy2 można zsumować przez -3xy2, ale nie można go zsumować przez -3x2r lub -3 lata2.
- Zobacz równanie x2 + 3x + 6 - 8x. W tym równaniu możemy dodać 3x i -8x, ponieważ mają tę samą zmienną i wykładnik. Proste równanie staje się x2 - 5x + 6.
Krok 2. Uprość liczby ułamkowe, dzieląc lub skreślając czynniki
Ułamki, które mają tylko liczby (bez zmiennych) w liczniku i mianowniku, można uprościć na kilka sposobów. Pierwszym, być może najłatwiejszym, jest potraktowanie ułamka jako problemu dzielenia i podzielenie mianownika przez licznik. Ponadto każdy mnożnik, który pojawia się w liczniku i mianowniku, można przekreślić, ponieważ podzielenie tych dwóch mnożników daje liczbę 1.
Na przykład spójrz na ułamek 36/60. Jeśli mamy kalkulator, możemy go podzielić, aby uzyskać odpowiedź 0, 6. Jeśli jednak nie mamy kalkulatora, nadal możemy go uprościć, skreślając te same czynniki. Innym sposobem wyobrażenia sobie 36/60 jest (6 × 6)/(6 × 10). Ten ułamek można zapisać jako 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, więc nasz ułamek to w rzeczywistości 1 × 6/10 = 6/10. Jednak jeszcze nie skończyliśmy – zarówno 6, jak i 10 mają ten sam współczynnik, który wynosi 2. Powtarzając powyższą metodę, wynik staje się 3/5.
Krok 3. Na frakcji zmiennej wykreśl wszystkie czynniki zmiennej
Równania zmienne w postaci ułamkowej mają unikalny sposób uproszczenia. Podobnie jak zwykłe ułamki, ułamki zmienne pozwalają wyeliminować czynniki wspólne dla licznika i mianownika. Jednak w zmiennych ułamkach czynnikami tymi mogą być liczby i równania rzeczywistej zmiennej.
- Powiedzmy równanie (3x2 + 3x)/(-3x2 + 15x). Ten ułamek można zapisać jako (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x), 3x pojawia się zarówno w liczniku, jak i mianowniku. Wykreślając te czynniki z równania, wynik staje się (x + 1)/(5 - x). Tak samo jak w wyrażeniu (2x2 + 4x + 6)/2, ponieważ każda część jest podzielna przez 2, możemy zapisać równanie jako (2(x2 + 2x + 3))/2, a następnie uprość do x2 + 2x + 3.
- Pamiętaj, że nie możesz przekreślić wszystkich sekcji - możesz przekreślić tylko mnożniki, które pojawiają się w liczniku i mianowniku. Na przykład w wyrażeniu (x(x + 2))/x, x można przekreślić zarówno z licznika, jak i mianownika, tak aby stało się (x + 2)/1 = (x + 2). Jednak (x + 2)/x nie można przekreślić na 2/1 = 2.
Krok 4. Pomnóż część w nawiasach przez stałą
Podczas mnożenia części, która ma zmienną w nawiasie przez stałą, czasami mnożenie każdej części w nawiasach przez stałą może dać w wyniku prostsze równanie. Dotyczy to stałych, które składają się tylko z liczb i stałych, które mają zmienne.
- Na przykład równanie 3(x2 + 8) można uprościć do 3x2 + 24, natomiast 3x(x2 + 8) można uprościć do 3x3 + 24x.
- Zauważ, że w niektórych przypadkach, takich jak zmienne ułamki, stałe wokół nawiasów można przekreślić, aby nie trzeba było ich mnożyć przez część w nawiasach. W ułamkach (3(x2 +8))/3x, na przykład współczynnik 3 występuje zarówno w liczniku, jak i mianowniku, więc możemy go wykreślić i uprościć wyrażenie do (x2 + 8)/x. To wyrażenie jest prostsze i łatwiejsze w obsłudze niż (3x3 + 24x)/3x, czyli wynik, jaki otrzymamy, jeśli go pomnożymy.
Krok 5. Uprość poprzez faktoring
Rozkład na czynniki to technika, której można użyć do uproszczenia niektórych wyrażeń zmiennych, w tym wielomianów. Pomyśl o faktoryzacji jako przeciwieństwo mnożenia przez część w nawiasach w powyższym kroku – czasami wyrażenie może być traktowane jako dwie części mnożone przez siebie, a nie jako wyrażenie jednostkowe. Jest to szczególnie ważne, jeśli rozłożenie równania na czynniki pozwala wykreślić jedną z jego części (jak w ułamkach). W niektórych przypadkach (często w przypadku równań kwadratowych) faktoring może nawet pozwolić na znalezienie rozwiązania równania.
- Przyjmijmy ponownie wyrażenie x2 - 5x + 6. To wyrażenie można rozłożyć na czynniki (x - 3)(x - 2). Więc jeśli x2 - 5x + 6 to licznik danego równania, w którym mianownik ma jeden z tych czynników, jak w wyrażeniu (x2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), możemy chcieć zapisać to w postaci współczynnika, aby móc wykreślić czynnik z mianownikiem. Innymi słowy, w (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), część (x - 2) można przekreślić jako (x - 3)/2.
-
Jak wskazano powyżej, innym powodem, dla którego warto rozłożyć równania na czynniki, jest to, że faktoryzacja może dać odpowiedzi na niektóre równania, zwłaszcza jeśli są zapisane jako równe 0. Na przykład równanie x2 - 5x + 6 = 0. Rozkład na czynniki daje (x - 3)(x - 2) = 0. Ponieważ dowolna liczba pomnożona przez zero równa się zero, wiemy, że jeśli jakakolwiek część nawiasów równa się zeru, całe równanie na lewo od znak równości również wynosi zero. Aby
Krok 3. da
Krok 2. są dwie odpowiedzi na równanie.
