Jak uprościć złożone ułamki: 9 kroków (ze zdjęciami)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-15 08:21

Ułamek złożony to ułamek, w którym licznik, mianownik lub oba te elementy również zawierają ułamek. Z tego powodu frakcje złożone są czasami określane jako „frakcje ułożone w stos”. Upraszczanie ułamków złożonych może być łatwe lub trudne, w zależności od tego, ile liczb znajduje się w liczniku i mianowniku, czy jedna z liczb jest zmienną, czy też złożoność liczby zmiennej. Zobacz krok 1 poniżej, aby rozpocząć!

Krok

Metoda 1 z 2: Upraszczanie ułamków złożonych za pomocą mnożenia odwrotnego

Krok 1. W razie potrzeby uproszcz licznik i mianownik do jednego ułamka

Ułamki złożone nie zawsze są trudne do rozwiązania. W rzeczywistości ułamki złożone, których licznik i mianownik zawierają jeden ułamek, są zazwyczaj dość łatwe do rozwiązania. Tak więc, jeśli licznik lub mianownik (lub oba) ułamka złożonego zawiera wiele ułamków lub ułamków i liczbę całkowitą, uprość go, aby uzyskać pojedynczy ułamek zarówno w liczniku, jak i mianowniku. Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) dwóch lub więcej ułamków.

• Na przykład powiedzmy, że chcemy uprościć ułamek złożony (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Najpierw uprościmy licznik i mianownik ułamka złożonego do jednego ułamka.

  • Aby uprościć licznik, użyj LCM 15 uzyskanego przez pomnożenie 3/5 przez i 3/3. Licznikiem będzie 9/15 + 2/15, co daje 11/15.
  • Aby uprościć mianownik, użyjemy wyniku LCM równego 70, który otrzymuje się mnożąc 5/7 przez 10/10 i 3/10 przez 7/7. Mianownik będzie wynosił 50/70 - 21/70, co równa się 29/70.
  • Zatem nowa złożona frakcja to (11/15)/(29/70).

Krok 2. Odwróć mianownik, aby znaleźć jego odwrotność

Z definicji dzielenie jednej liczby przez drugą jest równoznaczne z pomnożeniem pierwszej liczby przez odwrotność drugiej liczby. Teraz, gdy mamy ułamek złożony z pojedynczym ułamkiem w liczniku i mianowniku, użyjemy tego dzielenia, aby uprościć ułamek złożony. Najpierw znajdź odwrotność ułamka na dole ułamka złożonego. Zrób to, "odwracając" ułamek - umieszczając licznik w miejscu mianownika i odwrotnie.

• W naszym przykładzie ułamek w mianowniku ułamka złożonego (11/15)/(29/70) to 29/70. Aby znaleźć odwrotność, „odwracamy” ją, aby uzyskać 70/29.

  Zauważ, że jeśli ułamek zespolony ma w mianowniku liczbę całkowitą, możemy potraktować go jako ułamek i znaleźć jego odwrotność. Na przykład, jeśli ułamek zespolony to (11/15)/(29), możemy zrobić mianownik 29/1, co oznacza, że odwrotność 1/29.

Krok 3. Pomnóż licznik ułamka zespolonego przez odwrotność mianownika

Teraz, gdy mamy odwrotność mianownika ułamka zespolonego, pomnóż ją przez licznik, aby otrzymać pojedynczy ułamek prosty. Pamiętaj, że aby pomnożyć dwa ułamki, mnożymy tylko krzyżowo - licznikiem nowego ułamka jest numer licznika dwóch starych ułamków, a także mianownik.

W naszym przykładzie pomnożymy 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 i 15 × 29 = 435. Zatem nowy prosty ułamek to 770/435.

Krok 4. Uprość nową frakcję, znajdując największy wspólny czynnik

Mamy już jeden prosty ułamek, więc wystarczy wymyślić najprostszą liczbę. Znajdź największy wspólny dzielnik (GCF) licznika i mianownika i podziel oba przez tę liczbę, aby go uprościć.

Jednym ze wspólnych dzielników 770 i 435 jest 5. Tak więc, jeśli podzielimy licznik i mianownik ułamka przez 5, otrzymamy 154/87. 154 i 87 nie mają wspólnych czynników, więc to ostateczna odpowiedź!

Metoda 2 z 2: Upraszczanie złożonych ułamków zawierających liczby zmienne

Krok 1. Jeśli to możliwe, użyj powyższej metody odwrotnego mnożenia

Aby było jasne, prawie wszystkie złożone ułamki można uprościć, odejmując licznik i mianownik przez jeden ułamek i mnożąc licznik przez odwrotność mianownika. Uwzględnia się również ułamki złożone zawierające zmienne, chociaż im bardziej złożone jest wyrażenie zmiennych w ułamkach złożonych, tym trudniejsze i bardziej czasochłonne będzie użycie mnożenia odwrotnego. W przypadku „łatwych” ułamków złożonych zawierających zmienne, dobrym wyborem jest mnożenie odwrotne, ale ułamki złożone z wieloma liczbami zmiennych w liczniku i mianowniku mogą być łatwiejsze do uproszczenia w alternatywny sposób opisany poniżej.

• Na przykład (1/x)/(x/6) można łatwo uprościć przez odwrotne mnożenie. 1/x × 6/x = 6/x². Nie ma tutaj potrzeby stosowania alternatywnych metod.
• Jednak (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) jest trudniejsze do uproszczenia przez odwrotne mnożenie. Zmniejszenie licznika i mianownika ułamków złożonych do pojedynczych ułamków, odwrotne mnożenie i sprowadzenie wyniku do najprostszych liczb może być skomplikowanym procesem. W takim przypadku poniższa alternatywna metoda może być łatwiejsza.

Krok 2. Jeśli odwrotne mnożenie nie jest praktyczne, zacznij od znalezienia LCM liczby ułamkowej w ułamku zespolonym

Pierwszym krokiem jest znalezienie LCM wszystkich liczb ułamkowych w ułamku zespolonym - zarówno w liczniku, jak i mianowniku. Zwykle, jeśli jedna lub więcej liczb ułamkowych ma liczbę w mianowniku, LCM jest liczbą w mianowniku.

Łatwiej to zrozumieć na przykładzie. Spróbujmy uprościć powyższe ułamki zespolone (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). Liczby ułamkowe w tym ułamku zespolonym to (1)/(x+3) i (1)/(x-5). LCM dwóch ułamków to liczba w mianowniku: (x+3)(x-5).

Krok 3. Pomnóż licznik ułamka zespolonego przez nowo znaleziony LCM

Następnie musimy pomnożyć liczbę w ułamku zespolonym przez LCM liczby ułamkowej. Innymi słowy, wszystkie ułamki zespolone pomnożymy przez (KPK)/(KPK). Możemy to zrobić niezależnie, ponieważ (KPK)/(KPK) jest równe 1. Najpierw pomnóż same liczniki.

• W naszym przykładzie pomnożymy ułamek zespolony (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), czyli ((x+ 3)(x-5)/((x+3)(x-5)). Musimy pomnożyć przez licznik i mianownik ułamka zespolonego, mnożąc każdą liczbę przez (x + 3) (x-5).

  • Najpierw pomnóżmy liczniki: (((1)/(x+3)) + x - 10) × (x+3)(x-5)

    • = (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) - 10((x+3)(x-5))
    • = (x-5) + (x(x.)² - 2x - 15)) - (10(x² - 2x - 15))
    • = (x-5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
    • = (x-5) + x³ - 12x² + 5x + 150
    • = x³ - 12x² +6x +145

Krok 4. Pomnóż mianownik ułamka zespolonego przez LCM, tak jak w przypadku licznika

Kontynuuj mnożenie frakcji złożonej przez znalezioną LCM, przechodząc do mianownika. Pomnóż wszystko, pomnóż każdą liczbę przez LCM.

• Mianownik naszego ułamka zespolonego (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), to x +4 +((1) //(x-5)). Pomnożymy go przez znaleziony LCM, (x+3)(x-5).

  • (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x+3)(x-5)
  • = x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5).
  • = x(x² - 2x - 15) + 4(x² - 2x - 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5)
  • = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60+ (x+3)
  • = x³ + 2x² - 23x - 60+ (x+3)
  • = x³ + 2x² - 22x - 57

Krok 5. Utwórz nowy i uproszczony ułamek z nowo odnalezionego licznika i mianownika

Po pomnożeniu ułamka przez (KPK)/(KPK) i uproszczeniu go przez połączenie liczb otrzymujemy ułamek prosty, który nie zawiera liczby ułamkowej. Zauważ, że pomnożenie przez LCM liczby ułamkowej w oryginalnym ułamku zespolonym spowoduje wyczerpanie mianownika tego ułamka i pozostawienie liczby zmiennej i liczby całkowitej w liczniku i mianowniku odpowiedzi, bez żadnych ułamków.

Za pomocą licznika i mianownika znajdującego się powyżej możemy skonstruować ułamek, który jest taki sam jak oryginalny ułamek złożony, ale nie zawiera liczby ułamkowej. Otrzymany licznik to x³ - 12x² + 6x + 145, a otrzymany mianownik to x³ + 2x² - 22x - 57, więc nowy ułamek staje się (x³ - 12x² + 6x + 145)/(x³ + 2x² - 22x - 57)

Porady

• Pokaż każdy etap pracy. Ułamki mogą być mylące, jeśli kroki liczą się zbyt szybko lub próbują zrobić to na pamięć.
• Znajdź przykłady ułamków złożonych w Internecie lub w książkach. Postępuj zgodnie z każdym krokiem, aż będzie można go opanować.