Jak znaleźć domenę i zakres funkcji: 14 kroków (ze zdjęciami)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-16 11:32

Każda funkcja ma dwie zmienne, a mianowicie zmienną niezależną i zmienną zależną. Dosłownie wartość zmiennej zależnej „zależy” od zmiennej niezależnej. Na przykład w funkcji y = f(x) = 2 x + y, x jest zmienną niezależną, a y jest zmienną zależną (innymi słowy, y jest funkcją x). Prawidłowe wartości znanej zmiennej x nazywane są „domenami pochodzenia”. Prawidłowe wartości znanej zmiennej y nazywane są „zakresem wyniku”.

Krok

Część 1 z 3: Znajdowanie dziedziny funkcji

Krok 1. Zdecyduj, jaki rodzaj funkcji będziesz wykonywać

Dziedziną funkcji są wszystkie wartości x (oś pozioma), które zwrócą prawidłowe wartości y. Równanie funkcji może być kwadratem, ułamkiem lub zawierać pierwiastek. Aby obliczyć dziedzinę funkcji, pierwszą rzeczą, którą musisz zrobić, to zbadać zmienne w równaniu.

Funkcja kwadratowa ma postać ax² + bx + c: f(x) = 2x² + 3x + 4
Przykłady funkcji z ułamkami to: f(x) = (¹/_x), f(x) = ^(x+1)/_(x-1), i inni.
Funkcje, które mają pierwiastki to: f(x) = x, f(x) = (x² + 1), f(x) = -x i tak dalej.

Krok 2. Zapisz domenę z odpowiednią notacją

Zapisywanie dziedziny funkcji wymaga użycia nawiasów kwadratowych [,] oraz nawiasów (,). Użyj nawiasów kwadratowych [,], jeśli numer należy do domeny i użyj nawiasów (,), jeśli domena nie zawiera numeru. Litera U oznacza unię, która łączy części domeny, które mogą być oddzielone odległością.

Na przykład dziedzina [-2, 10) U (10, 2] obejmuje -2 i 2, ale nie zawiera liczby 10.
Zawsze używaj nawiasów (), jeśli używasz symbolu nieskończoności,.

Krok 3. Narysuj wykres równania kwadratowego

Równania kwadratowe tworzą paraboliczny wykres, który otwiera się w górę lub w dół. Biorąc pod uwagę, że parabola będzie ciągnęła się w nieskończoność na osi x, domeną większości równań kwadratowych są wszystkie liczby rzeczywiste. Innymi słowy, równanie kwadratowe zawiera wszystkie wartości x na osi liczbowej, podając dziedzinę r (symbol dla wszystkich liczb rzeczywistych).

Aby rozwiązać funkcję, wybierz dowolną wartość x i wprowadź ją do funkcji. Rozwiązanie funkcji z wartością x zwróci wartość y. Wartości x i y są współrzędnymi (x, y) wykresu funkcji.
Wykreśl te współrzędne na wykresie i powtórz proces z inną wartością x.
Wykreślenie niektórych wartości w tym modelu daje przegląd kształtu funkcji kwadratowej.

Krok 4. Jeśli równanie funkcji jest ułamkiem, uczyń mianownikiem zero

Podczas pracy z ułamkami nigdy nie możesz dzielić przez zero. Ustawiając mianownik równy zero i znajdując wartość x, możesz obliczyć wartości do wyodrębnienia z funkcji.

Na przykład: Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = ^(x+1)/_(x-1).
Mianownik funkcji to (x - 1).
Ustaw mianownik równy zero i oblicz wartość x: x – 1 = 0, x = 1.
Zapisz domenę: Dziedzina funkcji nie zawiera 1, ale zawiera wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem 1; dlatego dziedziną jest (-∞, 1) U(1,).
(-∞, 1) U (1,) można odczytać jako zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem 1. Symbol nieskończoności,, reprezentuje wszystkie liczby rzeczywiste. W tym przypadku wszystkie liczby rzeczywiste większe niż 1 i mniejsze niż 1 są zawarte w domenie.

Krok 5. Jeśli równanie jest funkcją pierwiastkową, ustaw zmienne pierwiastkowe większe lub równe zero

Nie możesz użyć pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej; dlatego każda wartość x, która prowadzi do liczby ujemnej, musi zostać usunięta z dziedziny funkcji.

Na przykład: Znajdź dziedzinę funkcji f(x) = (x + 3).
Zmienne w korzeniu to (x + 3).
Ustaw wartość większą lub równą zero: (x + 3) 0.
Oblicz wartość dla x: x -3. Rozwiąż dla x: x -3.
Dziedzina funkcji obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste większe lub równe -3; dlatego domena to [-3,).

Część 2 z 3: Znajdowanie zakresu równania kwadratowego

Krok 1. Upewnij się, że masz funkcję kwadratową

Funkcja kwadratowa ma postać ax² + bx + c: f(x) = 2x² + 3x + 4. Wykres funkcji kwadratowej to parabola, która otwiera się w górę lub w dół. Istnieją różne sposoby obliczania zakresu funkcji w zależności od typu funkcji, nad którą pracujesz.

Najłatwiejszym sposobem określenia zakresu innych funkcji, takich jak funkcja pierwiastka lub funkcja ułamka, jest narysowanie funkcji za pomocą kalkulatora graficznego

Krok 2. Znajdź wartość x wierzchołka funkcji

Wierzchołek funkcji kwadratowej jest wierzchołkiem paraboli. Pamiętaj, że forma funkcji kwadratowej to ax² + bx + c. Aby znaleźć współrzędną x, użyj równania x = -b/2a. Równanie jest pochodną podstawowej funkcji kwadratowej, która reprezentuje równanie o zerowym nachyleniu/nachyleniu (na wierzchołku wykresu gradient funkcji wynosi zero).

Na przykład znajdź zakres 3x² + 6x -2.
Oblicz współrzędną x wierzchołka: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1

Krok 3. Oblicz wartość y wierzchołka funkcji

Podłącz współrzędną x do funkcji, aby obliczyć odpowiednią wartość y wierzchołka. Ta wartość y wskazuje granicę zakresu funkcji.

Oblicz współrzędną y: y = 3x² + 6x – 2 = 3(-1)² + 6(-1) -2 = -5.
Wierzchołek tej funkcji to (-1, -5).

Krok 4. Określ kierunek paraboli, podłączając co najmniej jeszcze jedną wartość x

Wybierz dowolną inną wartość x i podłącz ją do funkcji, aby obliczyć odpowiednią wartość y. Jeśli wartość y znajduje się powyżej wierzchołka, parabola kontynuuje +∞. Jeśli wartość y jest poniżej wierzchołka, parabola będzie nadal wynosić -∞.

Użyj wartości x -2: y = 3x² + 6x – 2 = y = 3(-2)² + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
To obliczenie zwraca współrzędne (-2, -2).
Te współrzędne pokazują, że parabola ciągnie się powyżej wierzchołka (-1, -5); dlatego zakres obejmuje wszystkie wartości y wyższe niż -5.
Zakres tej funkcji to [-5,).

Krok 5. Zapisz zakres z odpowiednią notacją

Podobnie jak domeny, zakresy są zapisywane w tej samej notacji. Użyj nawiasów kwadratowych [,], jeśli liczba jest w zakresie i użyj nawiasów (,), jeśli zakres nie obejmuje liczby. Litera U oznacza związek łączący części zasięgu, które mogą być oddzielone odległością.

Na przykład zakres [-2, 10) U (10, 2] obejmuje -2 i 2, ale nie obejmuje liczby 10.
Zawsze używaj nawiasów, jeśli używasz symbolu nieskończoności,.

Część 3 z 3: Znajdowanie zakresu z wykresu funkcji

Krok 1. Narysuj funkcję

Często najłatwiejszym sposobem określenia zakresu funkcji jest jej wykres. Wiele funkcji pierwiastków ma zakres (-∞, 0] lub [0, +∞), ponieważ wierzchołek paraboli poziomej (paraboli bocznej) znajduje się na poziomej osi x. W tym przypadku funkcja obejmuje wszystkie dodatnie wartości y, jeśli parabola otwiera się, lub wszystkie ujemne wartości y, jeśli parabola otwiera się w dół. Funkcje ułamkowe będą miały asymptoty (linie, które nigdy nie są przecinane linią prostą/krzywą, ale zbliżają się do nieskończoności), które definiują zakres funkcji.

Niektóre funkcje pierwiastków rozpoczną się powyżej lub poniżej osi x. W takim przypadku zakres jest określany przez liczbę, od której rozpoczyna się funkcja pierwiastka. Jeśli parabola zaczyna się od y = -4 i rośnie, to zakres wynosi [-4, +∞).
Najłatwiejszym sposobem narysowania funkcji jest użycie programu graficznego lub kalkulatora graficznego.
Jeśli nie masz kalkulatora graficznego, możesz narysować przybliżony szkic wykresu, podłączając wartość x do funkcji i uzyskując odpowiednią wartość y. Wykreśl te współrzędne na wykresie, aby zorientować się, jak wygląda wykres.

Krok 2. Znajdź minimalną wartość funkcji

Zaraz po narysowaniu funkcji powinieneś wyraźnie widzieć najniższy punkt wykresu. Jeśli nie ma wyraźnej wartości minimalnej, wiedz, że niektóre funkcje będą kontynuowane przy -∞ (nieskończoność).

Funkcja ułamka obejmie wszystkie punkty z wyjątkiem tych na asymptotach. Funkcja ma zakres taki jak (-∞, 6) U (6,)

Krok 3. Określ maksymalną wartość funkcji

Ponownie, po narysowaniu wykresu powinieneś być w stanie zidentyfikować maksymalny punkt funkcji. Niektóre funkcje będą kontynuowane przy +∞ i dlatego nie będą miały wartości minimalnej.