Uzupełnianie kwadratów to przydatna technika, która pomaga umieścić równania kwadratowe w zgrabnej formie, dzięki czemu można je łatwo zobaczyć, a nawet rozwiązać. Możesz uzupełniać kwadraty, aby budować bardziej złożone formuły kwadratowe, a nawet rozwiązywać równania kwadratowe. Jeśli chcesz wiedzieć, jak to zrobić, wykonaj następujące kroki.
Krok
Część 1 z 2: Konwersja równań zwykłych na funkcje kwadratowe
Krok 1. Zapisz równanie
Załóżmy, że chcesz rozwiązać następujące równanie: 3x2 - 4x + 5.
Krok 2. Wyjmij współczynniki zmiennych kwadratowych z pierwszych dwóch części
Aby uzyskać liczbę 3 z pierwszych dwóch części, po prostu wyjmij liczbę 3 i umieść ją poza nawiasami, dzieląc każdą część przez 3. 3x2 podzielone przez 3 to x2 a 4x podzielone przez 3 to 4/3x. Zatem nowe równanie staje się: 3(x2 - 4/3x) + 5. Liczba 5 pozostaje poza równaniem, ponieważ nie jest dzielona przez liczbę 3.
Krok 3. Podziel drugą część przez 2 i podnieś ją do kwadratu
Druga część lub to, co jest znane jako b w równaniu, to 4/3. Podziel przez dwa. 4/3 2 lub 4/3 x 1/2, równa się 2/3. Teraz podnieś tę sekcję do kwadratu, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka. (2/3)2 = 4/9. Zapisz to.
Krok 4. Dodaj i odejmij te części od równania
Będziesz potrzebować tej dodatkowej części, aby przywrócić równanie do idealnego kwadratu. Musisz jednak odjąć je od reszty równania, aby je dodać. Chociaż wygląda na to, że wracasz do swojego pierwotnego równania. Twoje równanie wygląda tak: 3(x2 - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.
Krok 5. Usuń część odjętą od wsporników
Ponieważ masz współczynnik 3 poza nawiasami, nie możesz po prostu wypisać -4/9. Musisz go najpierw pomnożyć przez 3. -4/9 x 3 = -12/9 lub -4/3. Jeśli masz współczynnik 1 w sekcji x.2, możesz pominąć ten krok.
Krok 6. Zmień część w nawiasach na idealny kwadrat
Teraz są 3(x2 -4/3x +4/9) w nawiasach. Próbowałeś już uzyskać 4/9, co jest właściwie kolejnym sposobem na ukończenie kwadratu. Możesz więc przepisać to jako: 3(x - 2/3)2. Wystarczy podzielić drugą połowę i wyeliminować trzecią. Możesz sprawdzić swoją pracę, mnożąc ją i wymyślając pierwsze trzy części równania.
-
3(x-2/3)2 =
Wykonaj kwadratowy krok 6Pocisk1 - 3(x-2/3)(x-2/3) =
- 3[(x2 -2/3x -2/3x + 4/9)]
- 3(x2 - 4/3x + 4/9)
Krok 7. Połącz stałe
Teraz są dwie stałe lub liczby, które nie mają zmiennych. Teraz masz 3(x - 2/3)2 - 4/3 + 5. Wszystko, co musisz zrobić, to zsumować -4/3 i 5, aby uzyskać 11/3. Dodajesz je, zrównując mianowniki: -4/3 i 15/3, a następnie sumując liczby tak, aby uzyskać 11 i zostawić mianownik 3.
-
-4/3 + 15/3 = 11/3.
Ukończ krok kwadratowy 7Pocisk1
Krok 8. Napisz równanie w formie kwadratowej
Uczyniłeś. Ostateczne równanie to 3(x - 2/3)2 +11/3. Możesz wyeliminować współczynnik 3, dzieląc obie strony równania, aby uzyskać (x - 2/3)2 +11/9. Pomyślnie zapisałeś równanie w formie kwadratowej, a mianowicie a(x - h)2 +k, gdzie k reprezentuje stałą.
Część 2 z 2: Rozwiązywanie równań kwadratowych
Krok 1. Zapisz pytania
Załóżmy, że chcesz rozwiązać następujące równanie: 3x2 + 4x + 5 = 6
Krok 2. Połącz istniejące stałe i umieść je po lewej stronie równania
Stała to dowolna liczba, która nie ma zmiennej. W tym zadaniu stała to 5 po lewej i 6 po prawej. Jeśli chcesz przesunąć 6 w lewo, musisz odjąć obie strony równania przez 6. Reszta to 0 po prawej stronie (6-6) i -1 po lewej stronie (5-6). Równanie staje się: 3x2 + 4x - 1 = 0.
Krok 3. Podaj współczynnik zmiennej kwadratowej
W tym zadaniu 3 jest współczynnikiem x2. Aby otrzymać liczbę 3, po prostu wyjmij liczbę 3 i podziel każdą część przez 3. Czyli 3x2 3 = x2, 4x 3 = 4/3x i 1 3 = 1/3. Równanie staje się: 3(x2 + 4/3x - 1/3) = 0.
Krok 4. Podziel przez właśnie wyodrębnioną stałą
Oznacza to, że możesz usunąć współczynnik 3. Ponieważ już podzieliłeś każdą część przez 3, możesz usunąć liczbę 3 bez wpływu na równanie. Twoje równanie staje się x2 + 4/3x - 1/3 = 0
Krok 5. Podziel drugą część przez 2 i podnieś ją do kwadratu
Następnie weź drugą część, 4/3 lub część b, i podziel ją przez 2. 4/3 2 lub 4/3 x 1/2, równa się 4/6 lub 2/3. I 2/3 do kwadratu do 4/9. Po podniesieniu go do kwadratu musisz zapisać go po lewej i prawej stronie równania, ponieważ dodajesz nową część. Musisz napisać to po obu stronach, aby to zrównoważyć. Równanie staje się x2 + 4/3 x + 2/32 - 1/3 = 2/32
Krok 6. Przenieś początkową stałą na prawą stronę równania i dodaj ją do kwadratu swojej liczby
Przesuń początkową stałą, -1/3, w prawo, co daje 1/3. Dodaj kwadrat swojej liczby, 4/9 lub 2/32. Znajdź wspólny mianownik, aby dodać 1/3 i 4/9, mnożąc ułamki górne i dolne 1/3 przez 3. 1/3 x 3/3 = 3/9. Teraz dodaj 3/9 i 4/9, aby uzyskać 7/9 po prawej stronie równania. Równanie staje się: x2 + 4/3 x + 2/32 = 4/9 + 1/3 potem x2 + 4/3 x + 2/32 = 7/9.
Krok 7. Zapisz lewą stronę równania jako idealny kwadrat
Ponieważ użyłeś już wzoru, aby znaleźć brakujący element, trudna część została pominięta. Wystarczy wstawić x i połowę wartości drugiego współczynnika w nawiasy kwadratowe, na przykład: (x + 2/3)2. Zauważ, że faktoryzacja idealnego kwadratu da trzy części: x2 + 4/3 x + 4/9. Równanie staje się: (x + 2/3)2 = 7/9.
Krok 8. Pierwiastek kwadratowy z obu stron
Po lewej stronie równania pierwiastek kwadratowy z (x + 2/3)2 to x + 2/3. Po prawej stronie równania otrzymasz +/- (√7)/3. Pierwiastek kwadratowy z mianownika 9 wynosi 3, a pierwiastek kwadratowy z 7 wynosi 7. Pamiętaj, aby napisać +/-, ponieważ pierwiastek kwadratowy może być dodatni lub ujemny.
Krok 9. Przenieś zmienne
Aby przenieść zmienną x, po prostu przesuń stałą o 2/3 na prawą stronę równania. Teraz masz dwie możliwe odpowiedzi dla x: +/- (√7)/3 - 2/3. To są twoje dwie odpowiedzi. Możesz zostawić to w spokoju lub znaleźć wartość pierwiastka kwadratowego z 7, jeśli musisz napisać odpowiedź bez pierwiastka kwadratowego.
Porady
- Pamiętaj, aby w odpowiednim miejscu napisać +/-, w przeciwnym razie otrzymasz tylko jedną odpowiedź.
- Nawet jeśli znasz wzór kwadratowy, ćwicz regularnie uzupełnianie kwadratu, albo udowadniając wzór kwadratowy, albo rozwiązując pewne problemy. W ten sposób nie zapomnisz metody, gdy jej potrzebujesz.
