Opanowanie algebry jest niezbędne do kontynuowania niemal każdego rodzaju matematyki, zarówno w szkole podstawowej, jak i średniej. Każdy poziom matematyki ma podstawy, więc każdy poziom matematyki jest bardzo ważny. Jednak nawet najbardziej podstawowe umiejętności algebraiczne mogą być trudne do uchwycenia dla początkujących przy pierwszym kontakcie. Jeśli masz problemy z podstawowymi zagadnieniami z algebry, nie martw się – z dodatkowym wyjaśnieniem, kilkoma prostymi przykładami i kilkoma wskazówkami, jak poprawić swoje umiejętności, wkrótce będziesz rozwiązywać problemy z algebry jak zawodowiec.
Krok
Część 1 z 5: Nauka podstawowych zasad algebry
Krok 1. Przejrzyj swoje podstawowe operacje matematyczne
Aby rozpocząć naukę algebry, musisz znać podstawowe umiejętności matematyczne, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Ta matematyka w szkole podstawowej/podstawowej jest bardzo ważna przed rozpoczęciem nauki algebry. Jeśli nie opanujesz tych umiejętności, trudno będzie ukończyć bardziej złożone pojęcia nauczane w algebrze. Jeśli potrzebujesz odświeżenia tych operacji, wypróbuj nasz artykuł na temat podstawowych umiejętności matematycznych.
Nie musisz być dobry w wykonywaniu tych podstawowych operacji w głowie, aby rozwiązywać zadania z algebry. Wiele klas algebry umożliwia korzystanie z kalkulatora, aby zaoszczędzić czas podczas wykonywania tych prostych operacji. Powinieneś jednak przynajmniej wiedzieć, jak wykonać te operacje bez kalkulatora, gdy nie możesz korzystać z kalkulatora
Krok 2. Poznaj kolejność operacji
Jedną z najtrudniejszych rzeczy w rozwiązywaniu równań algebraicznych jako początkujący jest znajomość kolejności ich rozpoczynania. Na szczęście istnieje pewna kolejność rozwiązywania tych problemów: najpierw wykonaj dowolną operację matematyczną w nawiasach, potem wykonaj wykładniki, potem mnożyj, potem dziel, potem dodaj, a na koniec odejmij. Przydatnym sposobem zapamiętania kolejności tych operacji są akronimy KPKBJK. Dowiedz się, jak zastosować kolejność operacji tutaj. Podsumowując, kolejność operacji to:
- Kponieść porażkę
- Pwzrost/wykładnik
- KAli
- bponownie
- Jumlah
- KKrewetka
-
Kolejność operacji jest ważna w algebrze, ponieważ wykonanie operacji w problemie algebry w złej kolejności może czasami wpłynąć na odpowiedź. Na przykład, jeśli wykonamy zadanie matematyczne 8 + 2 × 5, jeśli najpierw dodamy 2 i 8, otrzymamy 10 × 5 = 50, ale jeśli najpierw pomnożymy 2 i 5, otrzymamy 8 + 10 =
Krok 18.. Tylko druga odpowiedź jest prawidłowa.
Krok 3. Dowiedz się, jak używać liczb ujemnych
W algebrze bardzo często używa się liczb ujemnych. Dobrym pomysłem jest więc zapoznanie się z dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem liczb ujemnych przed rozpoczęciem nauki algebry. Oto kilka podstawowych informacji o liczbach ujemnych - aby uzyskać więcej informacji, zapoznaj się z naszymi artykułami na temat dodawania i odejmowania liczb ujemnych oraz dzielenia i mnożenia liczb ujemnych.
- Na osi liczbowej ujemna wersja liczby znajduje się w tej samej odległości od zera, co liczba dodatnia od zera, ale w przeciwnym kierunku.
- Dodanie dwóch liczb ujemnych sprawia, że liczba jest jeszcze bardziej ujemna (innymi słowy, cyfra będzie większa, ale ponieważ liczba jest ujemna, wartość będzie mniejsza)
- Dwa znaki ujemne znoszą się nawzajem - odjęcie liczby ujemnej jest równoznaczne z dodaniem liczby dodatniej
- Mnożenie lub dzielenie dwóch liczb ujemnych daje odpowiedź pozytywną.
- Mnożenie lub dzielenie liczby dodatniej i ujemnej daje odpowiedź negatywną.
Krok 4. Dowiedz się, jak konstruować długie pytania
Podczas gdy proste problemy algebry można łatwo rozwiązać, bardziej złożone problemy mogą wymagać wielu kroków. Aby uniknąć błędów, utrzymuj porządek w pracy, rozpoczynając nową linię za każdym razem, gdy robisz krok w celu rozwiązania problemu. Jeśli pracujesz z równaniem dwustronnym, spróbuj wpisać wszystkie znaki równości („=”) pod innymi znakami równości. W ten sposób, jeśli gdzieś popełnisz błąd, łatwiej będzie go znaleźć i poprawić.
-
Na przykład, aby rozwiązać równanie 9/3 - 5 + 3 × 4, możemy ustrukturyzować nasz problem w następujący sposób:
-
- 9/3 - 5 + 3 × 4
- 9/3 - 5 + 12
- 3 - 5 + 12
- 3 + 7
- Krok 10.
-
Część 2 z 5: Zrozumienie zmiennych
Krok 1. Poszukaj symboli, które nie są liczbami
W algebrze zaczniesz widzieć litery i symbole pojawiające się w twoich zadaniach matematycznych, a nie tylko liczby. Te litery i symbole nazywane są zmiennymi. Zmienne nie są tak mylące, jak mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka – to tylko sposób na zapisanie liczb o nieznanych wartościach. Poniżej znajduje się tylko kilka typowych przykładów zmiennych w algebrze:
- Litery takie jak x, y, z, a, b i c
- litery greckie, takie jak theta or
- Zauważ, że nie wszystkie symbole są nieznanymi zmiennymi. Na przykład pi lub, zawsze wynosi około 3,1459.
Krok 2. Pomyśl o zmiennych jako o „nieznanych” liczbach
Jak wspomniano powyżej, zmienne to w zasadzie tylko liczby o nieznanych wartościach. Zwykle twoim celem w zadaniach algebry jest znalezienie wartości zmiennej – pomyśl o zmiennej jako o „tajemniczej liczbie”, którą próbujesz znaleźć.
-
Na przykład w równaniu 2x + 3 = 11 x jest naszą zmienną. Oznacza to, że istnieje kilka wartości, które zajmują miejsce x, aby lewa strona równania była równa 11. Ponieważ 2 × 4 + 3 = 11, w tym przypadku x =
Krok 4..
-
Prostym sposobem na rozpoczęcie rozumienia zmiennych jest zastąpienie ich znakami zapytania w zadaniach algebry. Na przykład możemy przepisać równanie 2 + 3 + x = 9 na 2 + 3 +?
= 9. Ułatwia nam to zrozumienie tego, co próbujemy zrobić - wystarczy znaleźć wartość, którą należy dodać do 2 + 3 = 5, aby uzyskać 9. Ponownie, oczywiście odpowiedź brzmi:
Krok 4..
Krok 3. Jeśli zmienna występuje więcej niż raz, uprość zmienną
Co zrobić, jeśli ta sama zmienna pojawia się w równaniu więcej niż raz? Chociaż ta sytuacja może wydawać się trudna do rozwiązania, w rzeczywistości możesz traktować zmienne tak, jak normalne liczby – innymi słowy, możesz je dodawać, odejmować itd., o ile łączysz tylko podobne zmienne. Innymi słowy, x + x = 2x, ale x + y nie jest równe 2xy.
-
Na przykład spójrzmy na równanie 2x + 1x = 9. W tym zadaniu możemy dodać 2x i 1x, aby otrzymać 3x = 9. Ponieważ 3 x 3 = 9, wiemy, że x =
Krok 3..
- Zwróć uwagę, że razem możesz dodawać tylko te same zmienne. W równaniu 2x + 1y = 9 nie możemy połączyć 2x i 1y, ponieważ są to różne zmienne.
- Dotyczy to również sytuacji, gdy jedna zmienna ma inny wykładnik niż druga zmienna. Na przykład w równaniu 2x + 3x2 = 10, nie możemy łączyć 2x i 3x2 ponieważ zmienna x ma inny wykładnik. Zobacz, jak dodać wykładniki, aby uzyskać więcej informacji.
Część 3 z 5: Nauka rozwiązywania równań przez „negowanie”
Krok 1. Spróbuj wyodrębnić zmienne w równaniach algebraicznych
Rozwiązywanie równań w algebrze zwykle oznacza znalezienie wartości zmiennej. Równania algebraiczne zwykle składają się z liczb i/lub zmiennych po obu stronach, na przykład: x + 2 = 9 × 4. Aby znaleźć wartość zmiennej, musisz wyizolować zmienną po jednej stronie znaku równości. To, co pozostanie po drugiej stronie znaku równości, jest twoją odpowiedzią.
W przykładzie (x + 2 = 9 × 4), aby wyizolować x po lewej stronie równania, musimy wyeliminować „+ 2”. Aby to zrobić, musimy tylko odjąć 2 od tej strony, pozostawiając nam x = 9 × 4. Jednak, aby obie strony równania były równe, musimy również odjąć 2 od drugiej strony. To daje nam x = 9 × 4 – 2. Zgodnie z kolejnością działań najpierw mnożymy, a następnie odejmujemy, dając naszą odpowiedź x = = 36 - 2 = 34.
Krok 2. Wyeliminuj dodawanie przez odejmowanie (i odwrotnie)
Jak właśnie widzieliśmy powyżej, wyizolowanie x po jednej stronie znaku równości zwykle oznacza wyeliminowanie liczb znajdujących się obok niego. Aby to zrobić, wykonujemy operację „odwrotną” po obu stronach równania. Na przykład w równaniu x + 3 = 0, ponieważ widzimy „+ 3” po naszym x, umieścimy „-3” po obu stronach. "+3" i "-3", pozostawiając x same i "-3" po drugiej stronie znaku równości, tak: x = -3.
-
Ogólnie rzecz biorąc, dodawanie i odejmowanie są jak "odwrotności" - oblicz jedną operację, aby odrzucić drugą. Zobacz poniżej:
-
- Aby dodać, odejmij. Przykład: x + 9 = 3 → x = 3 - 9
- Do odejmowania dodaj. Przykład: x - 4 = 20 → x = 20 + 4
-
Krok 3. Wyeliminuj mnożenie przez dzielenie (i odwrotnie)
Praca z mnożeniem i dzieleniem jest nieco trudniejsza niż z dodawaniem i odejmowaniem, ale te obliczenia mają tę samą „odwrotną” zależność. Jeśli zobaczysz „× 3” po jednej stronie, zanegoujesz to, dzieląc obie strony przez 3 i tak dalej.
-
W przypadku mnożenia i dzielenia musisz wykonać operację odwrotną dla wszystkich liczb znajdujących się po drugiej stronie znaku równości, nawet jeśli ta strona zawiera więcej niż jedną liczbę. Zobacz poniżej:
-
- Aby mnożyć, dziel. Przykład: 6x = 14 + 2 → x = (14 + 2) /6
- Aby podzielić, pomnóż. Przykład: x/5 = 25 → x = 25 × 5
-
Krok 4. Usuń wykładnik, znajdując pierwiastek (i odwrotnie)
Wykładniki to dość zaawansowany temat przedalgebrowy - jeśli nie wiesz, jak to zrobić, zajrzyj do naszego podstawowego artykułu o wykładnikach, aby uzyskać więcej informacji. „Odwrotnością” wykładnika jest pierwiastek, który ma taką samą liczbę jak wykładnik. Na przykład odwrotność wykładnika 2 jest pierwiastkiem kwadratowym (√), odwrotnością wykładnika 3 jest pierwiastkiem sześcianu (3), i tak dalej.
-
Może to być trochę mylące, ale w takich przypadkach podczas pracy z wykładnikiem szukasz pierwiastków obu stron. Innymi słowy, podczas pracy z korzeniem wykonujesz potęgowanie dla obu stron. Zobacz poniżej:
-
- Dla wykładnika znajdź pierwiastek. Przykład: x2 = 49 → x = √49
- W przypadku korzeni podnieś. Przykład: x = 12 → x = 122
-
Część 4 z 5: Wyostrz swoje umiejętności algebry
Krok 1. Użyj obrazków, aby pytania były bardziej zrozumiałe
Jeśli masz problem z wyobrażeniem sobie problemu z algebry, spróbuj użyć diagramu lub obrazu, aby zilustrować swoje równanie. Możesz nawet spróbować użyć kilku fizycznych obiektów (takich jak bloki lub monety), jeśli je masz.
-
Na przykład rozwiążmy równanie x + 2 = 3 za pomocą kwadratu (☐)
-
- x +2 = 3
- ☒+☐☐ =☐☐☐
- W tym kroku odejmiemy 2 z obu stron, usuwając 2 kwadraty (☐☐) z obu stron:
- ☒+☐☐-☐☐ =☐☐☐-☐☐
-
=☐ lub x =
Krok 1.
-
-
Jako inny przykład spróbujmy 2x = 4
-
- ☒☒ =☐☐☐☐
- W tym kroku podzielimy obie strony, dzieląc pola po każdej stronie na dwie grupy:
- ☒|☒ =☐☐|☐☐
-
=, lub x =
Krok 2.
-
Krok 2. Stosuj „sprawdzenia zdrowego rozsądku” (zwłaszcza w przypadku pytań dotyczących historii)
Konwertując zadania fabularne na algebrę, spróbuj sprawdzić swoje formuły, wprowadzając proste wartości dla swoich zmiennych. Czy twoje równanie ma sens, gdy x=0? Kiedy x=1? Kiedy x= -1? Łatwo popełnić prosty błąd pisania p=6d, gdy masz na myśli p=d/6, ale te rzeczy będą łatwe do zauważenia, jeśli wykonasz szybkie, zdroworozsądkowe sprawdzenie swojej pracy przed przejściem dalej.
Na przykład powiedziano nam, że boisko do piłki nożnej jest o 30 m dłuższe niż szerokie. Do przedstawienia tego problemu używamy równania p = l + 30. Możemy sprawdzić, czy to równanie ma sens, wprowadzając proste wartości dla l. Na przykład, jeśli pole ma szerokość l = 10 m, długość wynosi 10 + 30 = 40 m. Jeśli szerokość wynosi 30 m, długość wynosi 30 + 30 = 60 m i tak dalej. To równanie ma sens - oczekujemy, że to pole będzie miało większą długość wraz ze wzrostem szerokości, więc to równanie ma sens
Krok 3. Zauważ, że w algebrze odpowiedzi nie zawsze są liczbami całkowitymi
Odpowiedzi w algebrze i innych zaawansowanych formach nie zawsze są prostymi, okrągłymi liczbami. Ta liczba może być liczbą dziesiętną, ułamkową lub niewymierną. Kalkulator może pomóc Ci znaleźć te złożone odpowiedzi, ale pamiętaj, że Twój nauczyciel może wymagać od Ciebie zapisania odpowiedzi w dokładnej formie, a nie w skomplikowanej formie dziesiętnej.
Na przykład uprościmy równanie algebraiczne do x = 12507. Jeśli wpiszemy 12507 w kalkulatorze otrzymamy bardzo wiele miejsc po przecinku (dodatkowo, ponieważ ekran kalkulatora nie jest zbyt duży, kalkulator nie może wyświetlić wszystkich odpowiedzi). W takim przypadku możemy chcieć zapisać naszą odpowiedź jako tylko 12507 lub uprość odpowiedź, pisząc ją w notacji naukowej.
Krok 4. Kiedy poczujesz się pewnie z podstawową algebrą, wypróbuj faktoring
Jedną z najbardziej złożonych umiejętności algebraicznych jest faktoryzacja - rodzaj skrótu do przekształcania złożonych równań w prostsze formy. Faktoring to częściowo zaawansowany temat algebry, więc rozważ zapoznanie się z artykułem, do którego link znajduje się powyżej, jeśli masz problemy z opanowaniem go. Poniżej znajduje się tylko kilka szybkich wskazówek dotyczących równań faktoringowych:
- Równanie postaci ax + ba jest rozłożone na a(x + b). Przykład: 2x + 4 = 2(x + 2)
- Równanie postaci ax2 + bx jest dzielone na cx((a/c)x + (b/c)) gdzie c jest największą liczbą, która może równomiernie podzielić a i b. Przykład: 3 lata2 + 12 lat = 3 lata (r + 4)
- Równanie postaci x2 + bx + c jest uwzględniane w (x + y)(x + z), gdzie y × z = c i yx + zx = bx. Przykład: x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1).
Krok 5. Ćwicz, ćwicz i ćwicz
Postęp w algebrze (i innych rodzajach matematyki) wymaga dużo ciężkiej pracy i powtórek. Nie martw się – zwracając uwagę na zajęciach, wykonując wszystkie zadania i szukając pomocy u nauczyciela lub innych uczniów, gdy tego potrzebujesz, algebra stanie się nawykiem.
Krok 6. Poproś nauczyciela o pomoc w zrozumieniu złożonych zagadnień algebraicznych
Jeśli masz problemy ze zrozumieniem algebry, nie martw się – nie musisz uczyć się jej sam. Twój nauczyciel jest pierwszą osobą, do której powinieneś zwrócić się z pytaniami. Po zajęciach grzecznie poproś nauczyciela o pomoc. Dobry nauczyciel zazwyczaj będzie chciał ponownie wyjaśnić temat dnia na spotkaniu po szkole, a Twój nauczyciel może dostarczyć Ci dodatkowe materiały do ćwiczeń.
Jeśli z jakiegoś powodu nauczyciel nie jest w stanie Ci pomóc, zapytaj go o dodatkowe możliwości nauki w Twojej szkole. Wiele szkół posiada program zajęć pozalekcyjnych, który może pomóc w uzyskaniu dodatkowego czasu i uwagi potrzebnej do opanowania algebry. Pamiętaj, że skorzystanie z bezpłatnej pomocy, do której masz dostęp, nie ma się czego wstydzić - to znak, że jesteś na tyle sprytny, aby rozwiązać swój problem
Część 5 z 5: Odkrywanie tematów średniozaawansowanych
Krok 1. Naucz się rysować równanie x/y
Wykresy mogą być cennym narzędziem w algebrze, ponieważ pozwalają przedstawiać pomysły wymagające liczb w postaci łatwych do zrozumienia obrazków. Zazwyczaj w algebrze dla początkujących problemy graficzne są ograniczone do równań z dwiema zmiennymi (zwykle x i y) i są przedstawiane w prostych wykresach 2-D z osią x i osią y. Przy tych równaniach wystarczy wpisać wartość x, a następnie wyszukać y (lub odwrotnie), aby uzyskać dwie liczby, które staną się punktem na wykresie.
- Na przykład w równaniu y = 3x, jeśli wpiszemy 2 dla x, otrzymamy y = 6. Oznacza to, że punkt (2, 6) (dwa kroki w prawo od środka wykresu i sześć kroków w górę od środka wykresu) jest częścią wykresu tego równania.
- Równania postaci y = mx + b (gdzie m i b są liczbami) są bardzo powszechne w podstawowej algebrze. Równania te zawsze mają gradient lub nachylenie mi przecinają oś y w punkcie y = b.
Krok 2. Naucz się rozwiązywać nierówności
Co robisz, gdy twoje równanie nie ma znaku równości? Okazuje się, że nie różni się zbytnio od tego, co zwykle robisz. W przypadku nierówności, które używają znaków takich jak > ("większe niż") i < ("mniejsze niż"), rozwiąż jak zwykle. Zostawisz odpowiedź, która jest mniejsza lub większa niż twoja zmienna.
-
Na przykład przy równaniu 3 > 5x – 2 rozwiązalibyśmy je tak, jak rozwiązywalibyśmy równanie regularne:
-
- 3 > 5x - 2
- 5 > 5x
- 1 > x, lub x < 1.
-
- Oznacza to, że każda liczba mniejsza niż jeden może być wartością x. Innymi słowy, x może wynosić 0, -1, -2 i tak dalej. Jeśli wstawimy te liczby do równania na x, zawsze otrzymamy odpowiedź mniejszą niż 3.
Krok 3. Praca nad równaniami kwadratowymi
Jednym z tematów algebraicznych, z którym początkujący mogą mieć problemy, jest rozwiązywanie równań kwadratowych. Kwadrat jest równaniem postaci ax2 + bx + c = 0, gdzie a, b i c są liczbami (z wyjątkiem tego, że a nie może być równe 0). Równania te są rozwiązywane wzorem x = [-b +/- (b2 - 4ac)]/2a. Bądź ostrożny - znak +/- oznacza, że musisz znaleźć odpowiedzi na dodawanie i odejmowanie, aby mieć dwie odpowiedzi na tego typu pytania.
-
Na przykład rozwiążmy wzór kwadratowy 3x2 + 2x -1 = 0.
-
- x = [-b +/- (b2 - 4ac)]/2a
- x = [-2 +/- (22 - 4(3)(-1))]/2(3)
- x = [-2 +/- (4 - (-12))]/6
- x = [-2 +/- (16)]/6
- x = [-2 +/- 4]/6
- x = - 1 oraz 1/3
-
Krok 4. Eksperyment z układami równań
Rozwiązywanie więcej niż jednego równania na raz może wydawać się bardzo skomplikowane, ale kiedy pracujesz z prostymi równaniami algebraicznymi, w rzeczywistości nie jest to takie trudne. Często nauczyciele algebry stosują podejście graficzne do rozwiązywania tych problemów. Kiedy pracujesz z układem dwóch równań, rozwiązaniami są punkty na wykresie, w których przecinają się linie dwóch równań.
- Na przykład pracujemy z układem, którego równania to y = 3x – 2 i y = -x – 6. Jeśli narysujemy te dwie linie na wykresie, otrzymamy jedną linię, która wznosi się o stromy kąt, a drugą który schodzi pod stromym kątem, łagodnym kątem. Ponieważ te linie przecinają się w punkcie (-1, -5), to ten punkt jest rozwiązaniem tego systemu.
-
Jeśli chcemy sprawdzić nasz problem, możemy to zrobić wstawiając naszą odpowiedź do równania w systemie - poprawna odpowiedź będzie "poprawna" dla obu równań.
-
- y = 3x - 2
- -5 = 3(-1) - 2
- -5 = -3 - 2
- -5 = -5
- y = -x - 6
- -5 = -(-1) - 6
- -5 = 1 - 6
- -5 = -5
-
- Oba równania są „sprawdzone”, więc nasza odpowiedź jest poprawna!
Porady
- Istnieje wiele zasobów do nauki algebry z Internetu. Na przykład wyszukaj „wzory algebraiczne” w wyszukiwarce. Jest tak wiele wspaniałych rezultatów, które się pojawią. Możesz także spróbować przejrzeć wybrane artykuły matematyczne wikiHow. Jest tam wiele informacji, więc zacznij odkrywać już teraz!
- Jedną z doskonałych stron dla początkujących w algebrze jest khanacademy.com. Ta bezpłatna strona oferuje dziesiątki łatwych do naśladowania lekcji na różne tematy, w tym algebrę. Dostępne są filmy na wszystkie te tematy, od bardzo prostych podstaw po zaawansowane tematy na poziomie uniwersyteckim. Nie bój się więc eksplorować materiałów Khan Academy i zacznij korzystać z całej pomocy, jaką oferuje ta strona!
- Nie zapominaj, że najlepszymi zasobami podczas nauki algebry są osoby, które dobrze znasz. Zapytaj znajomych lub kolegów z klasy o ostatnią lekcję, której nie zrozumiałeś.
