Równanie wymierne to ułamek z co najmniej jedną zmienną w liczniku lub mianowniku. Równanie wymierne to każdy ułamek, który obejmuje co najmniej jedno równanie wymierne. Podobnie jak zwykłe równania algebraiczne, równania wymierne są rozwiązywane przez wykonanie tej samej operacji po obu stronach równania, dopóki zmienne nie zostaną przeniesione na dowolną stronę równania. Dwie specjalne techniki, mnożenie krzyżowe i znajdowanie najmniejszego wspólnego mianownika, są bardzo przydatnymi sposobami przenoszenia zmiennych i rozwiązywania równań wymiernych.
Krok
Metoda 1 z 2: mnożenie krzyżowe
Krok 1. W razie potrzeby zmień układ równania, aby uzyskać ułamek po jednej stronie równania
Mnożenie krzyżowe to szybki i łatwy sposób rozwiązywania równań wymiernych. Niestety ta metoda może być używana tylko w przypadku równań wymiernych, które zawierają co najmniej jedno równanie lub ułamek wymierny po każdej stronie równania. Jeśli twoje równanie nie spełnia tych wymagań międzyproduktowych, być może będziesz musiał użyć operacji algebraicznych, aby przenieść części we właściwe miejsca.
-
Na przykład równanie (x + 3)/4 - x/(-2) = 0 można łatwo przełożyć na iloczyn krzyżowy, dodając x/(-2) po obu stronach równania, tak aby powstało (x + 3)/4 = x/(-2).
Zwróć uwagę, że liczby dziesiętne i całkowite można przekonwertować na ułamki zwykłe, podając mianownik 1. (x + 3)/4 – 2, 5 = 5, można na przykład przepisać jako (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, dzięki czemu spełnia warunek mnożenia krzyżowego
- Niektórych równań wymiernych nie da się łatwo zredukować do postaci, która po każdej stronie ma jeden ułamek lub równanie wymierne. W takich przypadkach należy zastosować to samo podejście oparte na najmniejszym mianowniku.
Krok 2. Pomnóż krzyż
Pomnożenie krzyżowe oznacza pomnożenie jednego z liczników ułamka przez mianownik innego ułamka i odwrotnie. Pomnóż licznik ułamka po lewej stronie przez mianownik ułamka po prawej stronie. Powtórz z prawym mianownikiem z lewym mianownikiem.
Mnożenie krzyżowe działa zgodnie z podstawowymi zasadami algebraicznymi. Równania wymierne i inne ułamki można przekształcić w nieułamki, mnożąc je przez mianownik. Iloczyn krzyżowy to w zasadzie szybki sposób na pomnożenie obu stron równania przez oba mianowniki. Nie wierz? Spróbuj – po uproszczeniu uzyskasz ten sam wynik
Krok 3. Zrównaj oba produkty
Po mnożeniu krzyżowym otrzymasz dwa wyniki mnożenia. Zrównaj je ze sobą i uprość, aby równanie było jak najprostsze.
Na przykład, jeśli oryginalne równanie wymierne brzmiało (x+3)/4 = x/(-2), po przemnożeniu nowe równanie wynosi -2(x+3) = 4x. Jeśli chcesz, możesz również zapisać to jako -2x - 6 = 4x
Krok 4. Znajdź wartość swojej zmiennej
Użyj operacji algebraicznych, aby znaleźć wartość zmiennej równania. Pamiętaj, że jeśli x pojawia się po obu stronach równania, musisz dodać lub odjąć x od obu stron równania, aby pozostawić x tylko po jednej stronie równania.
W naszym przykładzie możemy podzielić obie strony równania przez -2, więc x+3 = -2x. Odjęcie x z obu stron daje 3 = -3x. Wreszcie, dzieląc obie strony przez -3, wynik staje się -1 = x, co można zapisać jako x = -1. Znaleźliśmy wartość x, rozwiązując nasze równanie wymierne
Metoda 2 z 2: Znajdowanie najmniejszego wspólnego mianownika
Krok 1. Poznaj dokładny czas użycia tego samego najmniejszego mianownika
Ten sam najmniejszy mianownik może być użyty do uproszczenia równań wymiernych, dzięki czemu można je przeszukiwać pod kątem wartości zmiennych. Znalezienie najmniejszego wspólnego mianownika jest dobrym pomysłem, jeśli twoje wymierne równanie nie może być łatwo zapisane jako jeden ułamek (i tylko jeden ułamek) po każdej stronie równania. Przy rozwiązywaniu równań wymiernych z trzema lub więcej częściami pomocny jest najmniejszy wspólny mianownik. Jednak, aby rozwiązać równanie wymierne składające się tylko z dwóch części, szybciej jest użyć iloczynu krzyżowego.
Krok 2. Sprawdź mianownik każdej frakcji
Zidentyfikuj najmniejszą liczbę, jaką każdy mianownik może podzielić i wytworzyć liczbę całkowitą. Ta liczba jest najmniejszym wspólnym mianownikiem twojego równania.
- Czasami najmniejszy wspólny mianownik – czyli najmniejsza liczba, która zawiera wszystkie czynniki w mianowniku – jest wyraźnie widoczny. Na przykład, jeśli twoje równanie to x/3 + 1/2 = (3x+1)/6, nie jest trudno zobaczyć najmniejszą liczbę, która ma współczynnik 3, 2 i 6, czyli liczbę 6.
- Często jednak najmniejszy wspólny mianownik równania wymiernego nie jest wyraźnie widoczny. W takim przypadku spróbuj sprawdzić wielokrotności większego mianownika, aż znajdziesz liczbę, która ma czynnik wszystkich innych mniejszych mianowników. Często najmniejszy wspólny mianownik jest iloczynem dwóch mianowników. Na przykład w równaniu x/8 + 2/6 = (x-3)/9 najmniejszym wspólnym mianownikiem jest 8*9 = 72.
- Jeśli jeden lub więcej mianowników twojej frakcji ma zmienne, ten proces jest trudniejszy, ale możliwy do wykonania. W takim przypadku najmniejszym wspólnym mianownikiem jest równanie (ze zmienną), które jest podzielne przez wszystkie inne mianowniki. Na przykład w równaniu 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x), najmniejszym wspólnym mianownikiem jest 3x(x-1) ponieważ każdy mianownik może go podzielić – dzielenie przez (x-1) daje 3x, dzielenie przez 3x daje (x-1), a dzielenie przez x daje 3(x-1).
Krok 3. Pomnóż każdy ułamek w równaniu wymiernym przez 1
Mnożenie każdej części przez 1 wydaje się bezużyteczne. Ale oto sztuczka. 1 można zdefiniować jako dowolną liczbę, która jest taka sama w liczniku i mianowniku, na przykład -2/2 i 3/3, co jest poprawnym sposobem zapisania 1. Ta metoda wykorzystuje alternatywną definicję. Pomnóż każdy ułamek w równaniu wymiernym przez 1, zapisując liczbę 1, która po pomnożeniu przez mianownik daje najmniejszy wspólny mianownik.
- W naszym podstawowym przykładzie pomnożymy x/3 przez 2/2, aby uzyskać 2x/6 i pomnożymy 1/2 przez 3/3, aby uzyskać 3/6. 2x + 1/6 ma już ten sam najmniejszy mianownik, czyli 6, więc możemy go pomnożyć przez 1/1 lub zostawić w spokoju.
- W naszym przykładzie ze zmienną w mianowniku ułamka proces jest nieco bardziej skomplikowany. Ponieważ naszym najmniejszym mianownikiem jest 3x(x-1), każde równanie wymierne mnożymy przez coś, co zwraca 3x(x-1). Pomnożymy 5/(x-1) przez (3x)/(3x), co daje 5(3x)/(3x)(x-1), pomnożymy 1/x przez 3(x-1)/3(x- 1) co daje 3(x-1)/3x(x-1), a pomnożenie 2/(3x) przez (x-1)/(x-1) daje 2(x-1)/3x(x- 1).
Krok 4. Uprość i znajdź wartość x
Teraz, ponieważ każda część twojego wymiernego równania ma ten sam mianownik, możesz usunąć mianownik z równania i znaleźć licznik. Pomnóż obie strony równania, aby uzyskać wartość licznika. Następnie użyj operacji algebraicznych, aby znaleźć wartość x (lub dowolnej zmiennej, którą chcesz rozwiązać) po jednej stronie równania.
- W naszym podstawowym przykładzie, po pomnożeniu wszystkich części przez formę alternatywną 1, otrzymujemy 2x/6 + 3/6 = (3x+1)/6. Można dodać dwie ułamki, jeśli mają ten sam mianownik, więc możemy uprościć to równanie do (2x+3)/6 = (3x+1)/6 bez zmiany wartości. Pomnóż obie strony przez 6, aby usunąć mianownik, więc wynik to 2x+3 = 3x+1. Odejmij 1 z obu stron, aby uzyskać 2x+2 = 3x, i odejmij 2x z obu stron, aby uzyskać 2 = x, co można zapisać jako x = 2.
- W naszym przykładzie ze zmienną w mianowniku nasze równanie po pomnożeniu przez 1 staje się 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1) /3x(x-1). Mnożąc wszystkie części przez ten sam najmniejszy mianownik, co pozwala nam pominąć mianownik, otrzymujemy 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1). Odnosi się to również do 5x = 3x - 3 + 2x -2, co upraszcza 15x = x - 5. Odjęcie x z obu stron daje 14x = -5, co ostatecznie upraszcza się do x = -5/14.
Porady
- Po rozwiązaniu zmiennej sprawdź odpowiedź, wstawiając wartość zmiennej do oryginalnego równania. Jeśli wartość zmiennej jest poprawna, możesz uprościć oryginalne równanie do prostego stwierdzenia, które zawsze wynosi 1 = 1.
- Zauważ, że możesz zapisać dowolny wielomian jako równanie wymierne; umieść go nad mianownikiem 1. Zatem x+3 i (x+3)/1 mają tę samą wartość, ale drugie równanie można zaklasyfikować jako równanie wymierne, ponieważ jest zapisane jako ułamek.
