Pięciokąt to wielokąt o pięciu prostych bokach. Większość problemów, które znajdziesz na lekcjach matematyki, obejmuje pięciokąt foremny z pięcioma równymi bokami. Istnieją dwa ogólne sposoby wyszukiwania szerokości, w zależności od ilości posiadanych informacji.
Krok
Metoda 1 z 3: Znajdowanie obszaru długości boku i Apothem
Krok 1. Zacznij od długości boków i apotem
Ta metoda może być stosowana do pięciokątów foremnych o pięciu równych bokach. Oprócz długości boków będziesz potrzebować „appotem” pięciokąta. Apotem to linia biegnąca od środka pięciokąta do jednego z boków, która przecina bok pod kątem prostym 90º.
- Nie pomyl apotem i promienia, który dotyka jednego z wierzchołków, a nie punktu środkowego. Jeśli znasz tylko długość boku i promień, pomiń tę metodę i przejdź do następnej.
-
Posłużymy się przykładem pięciokąta o długości boku
Krok 3. jednostka i apotem
Krok 2. jednostka.
Krok 2. Podziel pięciokąt na pięć trójkątów
Narysuj pięć linii od środka pięciokąta, prowadzących do każdego wierzchołka. Teraz masz pięć trójkątów.
Krok 3. Znajdź obszar jednego z trójkątów
Każdy trójkąt ma piedestał która jest równa boku pięciokąta. Każdy trójkąt ma również wysoka co jest równe twierdzeniu pięciokąta. (Pamiętaj, że wysokość trójkąta rozciąga się od wierzchołka trójkąta na przeciwną stronę, tworząc kąt prosty.) Aby znaleźć pole dowolnego trójkąta, po prostu oblicz x podstawa x wysokość.
-
W naszym przykładzie pole trójkąta = x 3 x 2 =
Krok 3. jednostka do kwadratu.
Krok 4. Pomnóż przez pięć, aby znaleźć całkowity obszar
Podzieliliśmy pięciokąt na pięć równych trójkątów. Aby znaleźć całkowitą powierzchnię, po prostu pomnóż powierzchnię jednego z trójkątów przez pięć.
-
W naszym przykładzie L(całkowity pięciokąt) = 5 x L(trójkąt) = 5 x 3 =
Krok 15. jednostka do kwadratu.
Metoda 2 z 3: Znajdowanie obszaru na podstawie długości boku
Krok 1. Zacznij od długości boków
Ta metoda dotyczy tylko pięciokątów foremnych, które mają pięć równych boków.
-
W tym przykładzie użyjemy pięciokąta o długości boku
Krok 7. jednostka.
Krok 2. Podziel pięciokąt na pięć trójkątów
Narysuj linię od środka pięciokąta do dowolnego wierzchołka. Powtórz to dla wszystkich punktów narożnych. Teraz masz pięć trójkątów, każdy o tej samej wielkości.
Krok 3. Podziel trójkąt na pół
Narysuj linię od środka pięciokąta do podstawy jednego z trójkątów. Linia ta powinna dotykać podstawy pod kątem prostym 90, dzieląc trójkąt na dwa mniejsze równe trójkąty.
Krok 4. Nazwij jeden z mniejszych trójkątów
Możemy już wymienić jeden z boków i jeden z kątów mniejszego trójkąta:
- piedestał trójkąt ma długość boku pięciokąta. W naszym przykładzie długość podstawy wynosi x 7 = 3,5 jednostki.
- Duża kąt w środku pięciokąta jest zawsze 36º. (Zaczynając od 360 centrum, możesz podzielić go na 10 takich mniejszych trójkątów. 360 10 = 36, więc kąt w jednym z trójkątów wynosi 36º.)
Krok 5. Oblicz wysokość trójkąta. Wysoka tego trójkąta to bok prostopadły (tworzący kąt prosty) z bokiem pięciokąta, skierowany do środka. Możemy użyć podstawowej trygonometrii, aby znaleźć długość tego boku:
- W trójkącie prostokątnym tangens kąta jest równa długości przeciwległego boku podzielonej przez długość sąsiedniego boku.
- Strona przeciwna do kąta 36º jest podstawą trójkąta (połowa boku pięciokąta). Bok przylegający do kąta 36º to wysokość trójkąta.
- tan(36º) = naprzeciwko / przyległe
- W naszym przykładzie tan(36º) = 3,5 / wzrost
- wysokość x opalenizna(36º) = 3, 5
- wysokość = 3,5 / opalenizna (36º)
- wysokość = (w przybliżeniu) 4, 8 jednostka.
Krok 6. Znajdź obszar trójkąta
Pole trójkąta to podstawa x wysokość. (L = w). Teraz, gdy znasz wysokość, wprowadź te wartości, aby znaleźć obszar swojego małego trójkąta.
W naszym przykładzie obszar małego trójkąta = w = (3, 5)(4, 8) = 8, 4 jednostki do kwadratu
Krok 7. Pomnóż, aby znaleźć obszar pięciokąta
Jeden z tych mniejszych trójkątów to 1/10 powierzchni pięciokąta. Aby znaleźć całkowity obszar, pomnóż obszar mniejszego trójkąta przez 10.
W naszym przykładzie pole całego pięciokąta = 8, 4 x 10 = 84 jednostka do kwadratu.
Metoda 3 z 3: Używanie formuł
Krok 1. Użyj obwodu i apotem
Apotem to linia biegnąca od środka pięciokąta, która dotyka jednej strony pod kątem prostym. Jeśli otrzymasz długość apotemu, możesz użyć tej prostej formuły.
- Pole pięciokąta foremnego = ka/2, gdzie k = obwód a a = apotem.
- Jeśli nie znasz obwodu, oblicz obwód na podstawie długości boku: k = 5s, gdzie s to długość boku.
Krok 2. Użyj długości boków
Jeśli znasz tylko długości boków, skorzystaj z następującego wzoru:
- Powierzchnia pięciokąta regularnego = (5 s 2) / (4tan(36º)), gdzie s = długość boku.
- tan(36º) = (5-2√5). Jeśli więc Twój kalkulator nie ma funkcji tan, użyj formuły Pole = (5 s 2) / (4√(5-2√5)).
Krok 3. Wybierz formułę, która używa tylko promienia
Możesz nawet znaleźć obszar, jeśli znasz tylko promień. Użyj tej formuły:
Powierzchnia pięciokąta regularnego = (5/2) r 2sin(72º), gdzie r jest promieniem.
Porady
- W podanych tutaj przykładach zastosowano zaokrąglone wartości dla ułatwienia obliczeń. Jeśli zmierzysz rzeczywisty wielokąt z podanymi długościami boków, otrzymasz nieco inne wyniki dla innych długości i obszarów.
- Jeśli to możliwe, użyj metody geometrycznej i metody formuł i porównaj wyniki, aby upewnić się, że masz poprawną odpowiedź. Możesz otrzymać nieco inną odpowiedź, jeśli wpiszesz formułę za jednym razem (ponieważ nie będziesz zaokrąglał podczas wykonywania obliczeń), ale odpowiedź powinna być prawie taka sama.
- Nieregularny pięciokąt lub pięciokąt o nierównych bokach jest trudniejszy do nauczenia. Najlepszym podejściem jest zwykle podzielenie pięciokąta na trójkąty i zsumowanie powierzchni każdego trójkąta. Może być również konieczne narysowanie większego kształtu wokół pięciokąta, obliczenie jego powierzchni i odjęcie powierzchni zewnętrznej pięciokąta.
- Wzory wywodzą się ze środków geometrycznych, prawie takich samych jak te opisane tutaj. Zwróć uwagę, czy możesz dowiedzieć się, jak uzyskać formuły. Formuła promienia jest trudniejsza do wyprowadzenia niż inne formuły (wskazówka: będziesz potrzebować podwójnej lub podwójnej tożsamości kąta).
