Choć czasami może się to wydawać zniechęcające, problem pierwiastka kwadratowego w rzeczywistości nie jest tak trudny do rozwiązania. Proste problemy z pierwiastkami kwadratowymi można zwykle rozwiązać tak łatwo, jak podstawowe problemy z mnożeniem i dzieleniem. W przypadku bardziej złożonych pytań wymaga to trochę dodatkowego wysiłku. Ale przy odpowiednim podejściu każdy trudny problem można rozwiązać. W tym artykule pomożemy Ci rozwiązać problemy z pierwiastkami kwadratowymi w kilku prostych krokach.
Krok
Część 1 z 3: Zrozumienie kwadratów i pierwiastków kwadratowych
Krok 1. Kwadrat to liczba pomnożona przez samą liczbę
Aby zrozumieć pierwiastek kwadratowy, dobrze jest najpierw zrozumieć znaczenie tego kwadratu. Mówiąc najprościej, kwadrat to liczba pomnożona przez samą liczbę. Na przykład 3 do kwadratu to 3 razy 3 = 9, a 9 do kwadratu to 9 razy 9 = 81. Kwadrat jest reprezentowany przez małe 2 w prawym górnym rogu kwadratu liczby - tak: 32, 92, 1002itp.
Spróbuj podbić do kwadratu kilka innych liczb, aby przetestować tę koncepcję. Pamiętaj, że podniesienie liczby do kwadratu to mnożenie liczby przez samą liczbę. Możesz nawet podnosić liczby ujemne do kwadratu. Wynik zawsze będzie liczbą dodatnią. Na przykład -82 = -8 × -8 = 64.
Krok 2. Pierwiastek kwadratowy jest odwrotnością kwadratu
Symbol pierwiastka kwadratowego (√, znany również jako symbol „radykalny”) jest zasadniczo przeciwieństwem symbolu 2. Kiedy znajdziesz pierwiastek, zadaj sobie pytanie: jaka liczba, jeśli podniesiona do kwadratu, dałaby liczbę wewnątrz radykału? Na przykład, jeśli spojrzysz na √(9), znajdź liczbę, która po kwadracie wynosi dziewięć. Tak więc odpowiedź brzmi „trzy”, ponieważ 32 = 9.
-
Jako inny przykład spróbujmy znaleźć pierwiastek kwadratowy z 25 (√(25)). Oznacza to, że szukamy liczby, która po podniesieniu do kwadratu daje wynik 25. Ponieważ 52 = 5 × 5 = 25, to (25) =
Krok 5..
-
Pierwiastek kwadratowy można również uznać za „cofanie” kwadratu. Na przykład, jeśli chcemy znaleźć (64), pierwiastek kwadratowy z 64, pomyśl o 64 jako 82. Ponieważ symbol pierwiastka kwadratowego zasadniczo „neguje” symbol kwadratowy, zatem (64) = (82) =
Krok 8..
Krok 3. Poznaj różnicę między idealnymi a niedoskonałymi kwadratami
Do tej pory wyniki naszych obliczeń pierwiastków kwadratowych były liczbami całkowitymi. Pytania, z którymi przyjdzie Ci się później zmierzyć, nie będą takie proste, będą pytania z odpowiedziami w postaci liczb dziesiętnych z kilkoma cyframi za przecinkiem. Liczby zaokrąglane po podniesieniu do kwadratu (czyli nie ułamkowe lub dziesiętne) są również nazywane „kwadratami idealnymi”. Wszystkie poprzednie przykłady (9, 25 i 64) są idealnymi kwadratami, ponieważ jeśli są podniesione do kwadratu, wynikiem jest liczba całkowita (3, 5 i 8).
Z drugiej strony liczby, które nie są zaokrąglane po podniesieniu do kwadratu, są „niedoskonałymi kwadratami”. Zwykle po podniesieniu do kwadratu wynik jest liczbą ułamkową lub dziesiętną. Czasami nawet liczby wyglądają na bardzo skomplikowane, na przykład (13) = 3, 605551275464…
Krok 4. Zapamiętaj kwadrat liczb 1-12
Jak już wiesz, podniesienie do kwadratu idealnej liczby kwadratowej jest bardzo łatwe. Zapamiętywanie kwadratów liczb 1-12 może być bardzo przydatne, ponieważ te liczby będą często pojawiać się w zadaniu. W ten sposób zaoszczędzisz czas podczas pracy nad pytaniami. Pierwsze 12 liczb do kwadratu to:
-
12 = 1 × 1 =
Krok 1.
-
22 = 2 × 2 =
Krok 4.
-
32 = 3 × 3 =
Krok 9.
-
42 = 4 × 4 =
Krok 16.
-
52 = 5 × 5 =
Krok 25.
- 62 = 6 × 6 = 36
- 72 = 7 × 7 = 49
- 82 = 8 × 8 = 64
- 92 = 9 × 9 = 81
- 102 = 10 × 10 = 100
- 112 = 11 × 11 = 121
- 122 = 12 × 12 = 144
Krok 5. Uprość pierwiastek kwadratowy, usuwając idealne kwadraty
Znalezienie pierwiastka kwadratowego z niedoskonałej liczby kwadratowej może być trudne, zwłaszcza jeśli nie używasz kalkulatora. Jednak liczbę do kwadratu można uprościć, aby ułatwić obliczenie. Aby to zrobić, po prostu podziel liczbę wewnątrz pierwiastka na kilka czynników, a następnie usuń pierwiastek kwadratowy z idealnych liczb kwadratowych i napisz odpowiedź poza radykałem. Ta metoda jest dość łatwa do wykonania - aby lepiej zrozumieć, oto więcej wyjaśnień:
- Powiedzmy, że chcemy obliczyć pierwiastek kwadratowy z 900. Po prostu podzielmy 900 na jego czynniki. „Czynniki” to liczby, które można pomnożyć, aby uzyskać inną liczbę. Na przykład liczbę 6 można uzyskać mnożąc przez 1 × 6 i 2 × 3, więc dzielniki 6 wynoszą 1, 2, 3 i 6.
- Mając na uwadze tę zasadę, podzielmy 900 na jej czynniki. Na początek zapisujemy 900 jako 9 × 100. Ponieważ 9 jest idealnym kwadratem, pierwiastek kwadratowy ze 100 możemy wyciągnąć osobno. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). Innymi słowy, (900) = 3√(100).
-
Możemy to jeszcze bardziej uprościć, rozdzielając 100 na jego czynniki, a mianowicie 25 i 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Dlatego można obliczyć (900) = 3(10) =
Krok 30..
Krok 6. Użyj liczby urojonej jako pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej
Pomyśl, jaka liczba, jeśli do kwadratu wynik to -16? Odpowiedź: nie. Wszystkie liczby do kwadratu wyniku są zawsze dodatnie, ponieważ są ujemne (-), po pomnożeniu przez ujemny wynik jest dodatni (+). Tak więc, aby podnieść do kwadratu liczbę ujemną, musimy zastąpić liczbę ujemną liczbą urojoną (zwykle w postaci liter lub symboli). Na przykład zmienna „i” jest zwykle używana jako pierwiastek kwadratowy z -1. Liczba urojona jest zawsze pierwiastkiem kwadratowym liczby ujemnej.
Należy zauważyć, że chociaż liczby urojone nigdy nie są reprezentowane przez liczby, nadal można je traktować jako liczby na różne sposoby. Na przykład pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej można podnieść do kwadratu, aby usunąć pierwiastek kwadratowy. Na przykład ja2 = - 1
Część 2 z 3: Użyj algorytmu stylu długich dzieleń
Krok 1. Rozwiąż zadania z pierwiastkami kwadratowymi, takie jak zadania z długim dzieleniem
Chociaż czasochłonne, trudne problemy z pierwiastkami kwadratowymi można rozwiązać bez kalkulatora. W tym celu użyjemy metody (algorytmu) podobnej do dzielenia długich stosów.
- Zacznij od napisania problemu pierwiastka kwadratowego tak, jak pisałbyś problem z dzieleniem długim. Jako przykładowy problem znajdź pierwiastek 6, 45, który nie jest liczbą całkowitą. Najpierw piszemy symbol radykalny (√), a następnie pod nim wpisujemy liczbę, którą chcemy wziąć do kwadratu. Następnie narysuj linię nad liczbami, podobnie jak dzielenie długich stosów. Teraz symbol „√” wygląda tak, jakby miał ogonek z liczbą 6,45 na dole.
- Będziemy pisać liczby nad problemem, więc upewnij się, że zostawiłeś trochę pustego miejsca.
Krok 2. Pogrupuj cyfry numeru w pary
Najpierw pogrupuj cyfry liczby pod radykałem w pary, zaczynając od przecinka dziesiętnego. Zrób jakiś znacznik (kropkę, przecinek, linię itp.) między parami, aby ułatwić śledzenie.
W przykładowym zadaniu 6, 45 zostanie podzielonych na 6-, 45-00. Pamiętaj, że po lewej stronie są "pozostałe" cyfry - to nie jest problem.
Krok 3. Znajdź największą liczbę, której wartość kwadratowa jest mniejsza lub równa pierwszej grupie
Zacznij od pierwszego numeru w grupie po lewej stronie. Wybierz największą liczbę, której wartość kwadratowa jest mniejsza lub równa w grupie. Na przykład, jeśli grupa ma 37 lat, wybierz 6, ponieważ 62 = 36 < 37 ale 72 = 49 > 37. Wpisz tę liczbę nad pierwszą grupą. Ten numer to pierwsza cyfra Twojej odpowiedzi.
-
W przykładowym zadaniu pierwsza grupa liczb 6-, 45-00 to 6. Największa liczba, która jest mniejsza lub równa 6, gdy do kwadratu to
Krok 2. - 22 = 4. Napisz cyfrę „2” powyżej 6, a ogon jest radykałem.
Krok 4. Pomnóż właśnie zapisaną liczbę, a następnie obniż ją, a następnie odejmij
Weź pierwszą cyfrę odpowiedzi (zapisaną nad radykałem) i pomnóż ją. Napisz odpowiedź w pierwszej grupie i odejmij, aby znaleźć różnicę. Upuść następną grupę na prawo od obliczonej właśnie różnicy. Na koniec po lewej stronie wpisz ostatnią cyfrę mnożenia pierwszej cyfry odpowiedzi, a po prawej zostaw puste miejsce.
W przykładowym zadaniu podwojona liczba to 2 (pierwsza cyfra poprzedniej odpowiedzi). 2 × 2 = 4. Następnie odejmij 4 przez 6 (z pierwszej grupy). 6 - 4 wynik to 2. Następnie sprowadź następną grupę (45) i otrzymamy 245. Na koniec ponownie wpisz liczbę 4 po lewej i zostaw trochę miejsca po prawej, tak: 4_
Krok 5. Wypełnij puste miejsce
Dodaj cyfry po prawej stronie numeru wpisanego po lewej stronie. Wybierz cyfrę, która daje największą wartość po pomnożeniu przez tę nową liczbę, ale nadal jest mniejsza lub równa „liczbie pochodnej”. Na przykład, jeśli „liczba pochodna” to 1700, a liczba po lewej stronie to 40_, należy wprowadzić liczbę „4”, ponieważ 404 × 4 = 1616 < 1700, a 405 × 5 = 2025. Liczba znaleziona w ten krok jest drugą cyfrą odpowiedzi, więc napisz go nad symbolem radykalnej.
-
W przykładowym zadaniu będziemy szukać liczby obok 4_ × _, której odpowiedzią jest największa liczba, ale jest mniejsza lub równa 245. Odpowiedź to
Krok 5.. 45 × 5 = 225, natomiast 46 × 6 = 276.
Krok 6. Kontynuuj używanie numerów „spacji”, aby znaleźć odpowiedź
Kontynuuj wzór dzielenia długich stosów, aż różnica między odejmowaniem wyprowadzonych liczb wyniesie zero lub zostanie uzyskana dość dokładna liczba. Kiedy skończysz, liczby, których użyłeś do wypełnienia pustych miejsc na każdym kroku (plus pierwsza użyta liczba), tworzą każdą cyfrę odpowiedzi.
-
W przykładowym zadaniu odejmij 245 przez 220, aby uzyskać 20. Następnie zmniejszymy następną grupę cyfr, 00 i otrzymamy 2000. Pomnóż liczbę powyżej symbolu radykalnego, a otrzymamy 25 × 2 = 50. Aby wypełnić w pustych polach przy 50_ × _ =/< 2 000 otrzymujemy liczbę
Krok 3.. Teraz mamy "253" nad symbolem radykalnym - powtórz ten proces jeszcze raz i otrzymaj 9 w następnej cyfrze.
Krok 7. Usuń znak dziesiętny ze źródła
Aby uzyskać ostateczną odpowiedź, umieść kropkę dziesiętną we właściwej pozycji. To proste - po prostu umieść kropkę dziesiętną w jednej linii z kropką dziesiętną poniżej symbolu radykalnego. Na przykład liczba pod radykałem to 49, 8, więc umieść kropkę dziesiętną między liczbami powyżej 8 i 9.
W przykładowym zadaniu, jeśli liczba pod radykałem to 6, 45, to kropka dziesiętna będzie w linii między cyframi 2 i 5. Oznacza to, że ostateczna odpowiedź to 2, 539.
Część 3 z 3: Szybkie oszacowanie niedoskonałych kwadratów
Krok 1. Znajdź niedoskonały kwadrat za pomocą przybliżenia
Po zapamiętaniu idealnych kwadratów znalezienie niedoskonałych kwadratów będzie znacznie łatwiejsze. Sztuczka polega na znalezieniu idealnego kwadratu przed i po liczbie, której szukasz. Następnie określ, który z dwóch idealnych kwadratów jest najbliższy numerowi, którego szukasz.
Na przykład chcemy znaleźć pierwiastek kwadratowy z 40. Idealna liczba kwadratowa przed i po 40 to 62 i 72, czyli 36 i 49. Ponieważ 40 jest większe niż 36 i mniejsze niż 49, pierwiastek kwadratowy z 40 musi wynosić od 6 do 7. Liczba 40 jest bliższa 36 niż 49, więc pierwiastek kwadratowy z 40 jest bliższy 6 Oto kilka kroków, aby znaleźć dokładną odpowiedź.
Krok 2. Oszacuj pierwiastek kwadratowy do jednej cyfry po przecinku
Po ustaleniu dwóch idealnych liczb kwadratowych przed i po liczbie, której szukasz, reszta to proces znajdowania liczby za przecinkiem, która jest najbliższa odpowiedzi. Zacznij od szacunkowej liczby jednocyfrowej po przecinku. Ten proces będzie się powtarzał, dopóki nie otrzymasz odpowiedzi z żądaną dokładnością.
W przykładowym zadaniu rozsądnym przybliżeniem pierwiastka kwadratowego z 40 jest 6, 4, ponieważ odpowiedź jest najprawdopodobniej bliższa 6 niż 7.
Krok 3. Pomnóż szacowaną liczbę przez samą liczbę
Innymi słowy, podnieś swoją przybliżoną liczbę do kwadratu. Jeśli masz szczęście, wynikiem będzie liczba w zadaniu. Jeśli nie, dodawaj lub odejmuj liczby po przecinku, aż znajdziesz kwadrat najbliższy liczbie w zadaniu.
- Pomnóż 6, 4 przez 6, 4, aby uzyskać 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, czyli nieco powyżej 40.
- Ponieważ początkowy eksperyment był zbędny, odejmij swoje przybliżenie o jedno miejsce po przecinku, czyli 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Ten wynik jest nieco poniżej liczby w zadaniu. Oznacza to, że pierwiastek kwadratowy z 40 wynosi od 6, 3 do 6, 4. Następnie, ponieważ 39,69 jest bliższe 40, pierwiastek kwadratowy z 40 jest również bliższy 6, 3.
Krok 4. W razie potrzeby prognozowanie naprzód
Użyj swojej odpowiedzi, jeśli uważasz, że jest wystarczająco dokładna. Ale jeśli nie, po prostu kontynuuj przybliżony wzór powyżej, aż znajdziesz odpowiedź z trzema lub czterema cyframi po przecinku - w każdym razie, aż osiągniesz pożądany poziom dokładności.
