Istnieje kilka funkcji matematycznych, które używają wierzchołków. Figura geometryczna ma kilka wierzchołków, układ nierówności ma jeden lub więcej wierzchołków, a parabola lub równanie kwadratowe również ma wierzchołki. Sposób znajdowania wierzchołków zależy od sytuacji, ale oto kilka rzeczy, które powinieneś wiedzieć o znajdowaniu wierzchołków w każdym scenariuszu.
Krok
Metoda 1 z 5: Znajdowanie liczby wierzchołków kształtu
Krok 1. Naucz się formuły Eulera
Wzór Eulera, do którego odnosi się geometria lub wykresy, stwierdza, że dla każdego kształtu, który nie jest styczny do siebie, liczba krawędzi plus liczba wierzchołków minus liczba krawędzi zawsze będzie równa dwa.
-
Formuła zapisana w postaci równania wygląda następująco: F + V - E = 2
- F odnosi się do liczby boków.
- V odnosi się do liczby wierzchołków lub wierzchołków
- E odnosi się do liczby żeber
Krok 2. Zmień formułę, aby znaleźć liczbę wierzchołków
Jeśli znasz liczbę boków i krawędzi kształtu, możesz szybko obliczyć liczbę wierzchołków, korzystając ze wzoru Eulera. Odejmij F od obu stron równania i dodaj E po obu stronach, pozostawiając V po jednej stronie.
V = 2 - F + E
Krok 3. Wprowadź znane liczby i rozwiąż
Wszystko, co musisz zrobić w tym momencie, to wstawić liczbę boków i krawędzi do równania przed normalnym dodawaniem lub odejmowaniem. Otrzymana odpowiedź to liczba wierzchołków, a tym samym rozwiązuje problem.
-
Przykład: w przypadku prostokąta, który ma 6 boków i 12 krawędzi…
- V = 2 - F + E
- V = 2 - 6 + 12
- V = -4 + 12
- V = 8
Metoda 2 z 5: Znajdowanie wierzchołków w systemie nierówności liniowych
Krok 1. Narysuj rozwiązanie układu nierówności liniowych
W niektórych przypadkach rysowanie rozwiązań wszystkich nierówności w systemie może wizualnie pokazać niektóre lub nawet wszystkie wierzchołki. Jeśli jednak nie możesz, musisz znaleźć wierzchołek algebraicznie.
Jeśli używasz kalkulatora graficznego do narysowania nierówności, możesz przesunąć palcem w górę ekranu do punktu wierzchołkowego i w ten sposób znaleźć jego współrzędne
Krok 2. Zmień nierówność w równanie
Aby rozwiązać układ nierówności, musisz tymczasowo zamienić nierówności na równania, aby znaleźć wartość x oraz tak.
-
Przykład: Dla systemu nierówności:
- y < x
- y > -x + 4
-
Zmień nierówność na:
- y = x
- y > -x + 4
Krok 3. Zastąpienie jednej zmiennej inną zmienną
Chociaż istnieją inne sposoby rozwiązania x oraz tak, zastąpienie jest często najłatwiejszym sposobem. Wprowadź wartość tak z jednego równania do drugiego, co oznacza „podstawienie” tak do innego równania o wartości x.
-
Przykład: Jeśli:
- y = x
- y = -x + 4
-
Więc y = -x + 4 można zapisać jako:
x = -x + 4
Krok 4. Znajdź pierwszą zmienną
Teraz, gdy w równaniu masz tylko jedną zmienną, możesz łatwo rozwiązać tę zmienną, x, podobnie jak w innych równaniach: przez dodawanie, odejmowanie, dzielenie i mnożenie.
-
Przykład: x = -x + 4
- x + x = -x + x + 4
- 2x = 4
- 2x / 2 = 4 / 2
- x = 2
Krok 5. Znajdź pozostałe zmienne
Wprowadź nową wartość dla x do oryginalnego równania, aby znaleźć wartość tak.
-
Przykład: y = x
y = 2
Krok 6. Zdefiniuj wierzchołki
Wierzchołek to współrzędna zawierająca wartość x oraz tak które właśnie odkryłeś.
Przykład: (2, 2)
Metoda 3 z 5: Znajdowanie wierzchołka na paraboli za pomocą osi symetrii
Krok 1. Rozkład równania na czynniki
Przepisz równanie kwadratowe w postaci czynnikowej. Istnieje kilka sposobów rozkładania równania kwadratowego na czynniki, ale kiedy skończysz, będziesz miał dwie grupy w nawiasach, które po pomnożeniu przez siebie otrzymasz oryginalne równanie.
-
Przykład: (za pomocą parsowania)
- 3x2 - 6x - 45
- Wyprowadza ten sam współczynnik: 3 (x2 - 2x - 15)
- Mnożenie współczynników a i c: 1 * -15 = -15
- Znajduje dwie liczby, które po pomnożeniu dają -15 i których suma jest równa wartości b, -2; 3 * -5 = -15; 3 - 5 = -2
- Zastąp te dwie wartości równaniem 'ax2 + kx + hx + c: 3(x2 + 3x - 5x - 15)
- Faktoring przez grupowanie: f(x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)
Krok 2. Znajdź punkt przecięcia z osią x równania
Gdy funkcja x, f(x), równa się 0, parabola przecina oś x. Stanie się tak, gdy dowolny czynnik będzie równy 0.
-
Przykład: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
- +3 = 0
- - 5 = 0
- = -3; = 5
- Tak więc korzenie to: (-3, 0) i (5, 0)
Krok 3. Znajdź punkt środkowy
Oś symetrii równania będzie leżeć dokładnie w połowie odległości między dwoma pierwiastkami równania. Musisz znać oś symetrii, ponieważ tam leżą wierzchołki.
Przykład: x = 1; ta wartość jest dokładnie pośrodku -3 i 5
Krok 4. Wstaw wartość x do oryginalnego równania
Wstaw wartość x osi symetrii do równania paraboli. Wartość y będzie wartością y wierzchołka.
Przykład: y = 3x2 - 6x - 45 = 3(1)2 - 6(1) - 45 = -48
Krok 5. Zapisz punkty wierzchołków
Do tego momentu ostatnie obliczone wartości x i y dadzą współrzędne wierzchołka.
Przykład: (1, -48)
Metoda 4 z 5: Znajdowanie wierzchołka na paraboli przez dopełnienie kwadratów
Krok 1. Przepisz oryginalne równanie w formie wierzchołków
Forma „wierzchołkowa” to równanie zapisane w formie y = a(x - h)^2 + k, a wierzchołkiem jest (h,k). Pierwotne równanie kwadratowe musi zostać przepisane w tej postaci, a do tego należy uzupełnić kwadrat.
Przykład: y = -x^2 - 8x - 15
Krok 2. Uzyskaj współczynnik a
Usuń pierwszy współczynnik a z pierwszych dwóch współczynników równania. W tym momencie pozostaw ostatni współczynnik c.
Przykład: -1 (x^2 + 8x) - 15
Krok 3. Znajdź trzecią stałą wewnątrz nawiasów
Trzecia stała musi być ujęta w nawiasy, aby wartości w nawiasach tworzyły idealny kwadrat. Ta nowa stała jest równa kwadratowi połówkowego współczynnika w środku.
-
Przykład: 8 / 2 = 4; 4 * 4 = 16; aby,
- -1(x^2 + 8x + 16)
- Pamiętaj, że procesy wykonywane wewnątrz nawiasów muszą być również wykonywane poza nawiasami:
- y = -1(x^2 + 8x + 16) - 15 + 16
Krok 4. Uprość równanie
Ponieważ kształt wewnątrz nawiasów jest teraz idealnym kwadratem, możesz uprościć kształt wewnątrz nawiasów do postaci rozłożonej na czynniki. Jednocześnie możesz dodawać lub odejmować wartości poza nawiasami.
Przykład: y = -1(x + 4)^2 + 1
Krok 5. Znajdź współrzędne na podstawie równania wierzchołków
Przypomnij sobie, że formą wierzchołkową równania jest y = a(x - h)^2 + k, z (h,k) które są współrzędnymi wierzchołka. Teraz masz pełne informacje, aby wprowadzić wartości do h i k i rozwiązać problem.
- k = 1
- h = -4
- Wtedy wierzchołek równania znajduje się pod adresem: (-4, 1)
Metoda 5 z 5: Znajdowanie wierzchołka na paraboli za pomocą prostego wzoru
Krok 1. Znajdź bezpośrednio wartość x wierzchołka
Kiedy równanie paraboli jest zapisane w postaci y = ax^2 + bx + c, x wierzchołka można znaleźć wzorem x = -b / 2a. Wystarczy wstawić wartości a i b z równania do wzoru, aby znaleźć x.
- Przykład: y = -x^2 - 8x - 15
- x = -b / 2a = -(-8)/(2*(-1)) = 8/(-2) = -4
- x = -4
Krok 2. Podłącz tę wartość do oryginalnego równania
Wstawiając wartość x do równania, możesz znaleźć y. Wartość y będzie wartością y współrzędnych wierzchołków.
-
Przykład: y = -x^2 - 8x - 15 = -(-4)^2 - 8(-4) - 15 = -(16) - (-32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
y = 1
Krok 3. Zapisz współrzędne wierzchołków
Otrzymane wartości x i y są współrzędnymi punktu wierzchołkowego.
