3 sposoby na uproszczenie wyrażeń algebraicznych

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-15 08:21

Nauka upraszczania wyrażeń algebraicznych jest jednym z kluczy do opanowania podstawowej algebry i najbardziej użytecznym narzędziem, jakiego potrzebuje każdy matematyk. Uproszczenie pozwala matematykom konwertować złożone, długie i/lub nieparzyste wyrażenia na prostsze lub łatwiejsze wyrażenia równoważne. Podstawowe umiejętności upraszczania są bardzo łatwe do nauczenia – nawet dla tych, którzy nienawidzą matematyki. Wykonując kilka prostych kroków, można uprościć wiele najczęściej używanych typów wyrażeń algebraicznych, bez używania specjalnej wiedzy matematycznej. Sprawdź Krok 1, aby zacząć!

Krok

Zrozumienie ważnych pojęć

Krok 1. Pogrupuj podobne terminy według ich zmiennych i mocy

W algebrze terminy podobne mają tę samą konfigurację zmiennych, z tą samą potęgą. Innymi słowy, aby dwa wyrazy były równe, muszą mieć tę samą zmienną lub nie mieć żadnej zmiennej, a każda zmienna ma tę samą potęgę lub nie ma wykładnika. Kolejność zmiennych pod względem terminowym nie jest istotna.

Na przykład 3x² i 4x² są jak wyrazy, ponieważ oba mają zmienną x o potędze kwadratu. Jednak x i x² nie są podobne do wyrazów, ponieważ każdy wyraz ma zmienną x o innej potędze. Prawie to samo, -3yx i 5xz nie są jak terminy, ponieważ każdy termin ma inną zmienną.

Krok 2. Rozłóż na czynniki, wpisując liczbę jako iloczyn dwóch czynników

Faktoring to koncepcja zapisania danej liczby jako iloczynu dwóch mnożonych czynników. Liczby mogą mieć więcej niż jeden zestaw dzielników – na przykład 12 można otrzymać z 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4, więc możemy powiedzieć, że 1, 2, 3, 4, 6 i 12 są dzielnikami z 12 Innym sposobem na wyobrażenie sobie tego jest to, że dzielnikami liczby są liczby, które dzielą liczbę całkowitą.

• Na przykład, gdybyśmy chcieli współczynnika 20, moglibyśmy zapisać to jako 4 × 5.
• Zwróć uwagę, że zmienne warunki mogą być również uwzględniane. Na przykład -20x można zapisać jako 4(5x).
• Liczb pierwszych nie można rozkładać na czynniki, ponieważ można je dzielić tylko przez siebie i 1.

Krok 3. Użyj akronimu KaPaK BoTaK, aby zapamiętać kolejność operacji

Czasami uproszczenie wyrażenia po prostu rozwiązuje operację w równaniu, dopóki nie będzie już działać. W takich przypadkach bardzo ważne jest zapamiętanie kolejności operacji, aby nie wystąpiły błędy arytmetyczne. Akronim KaPaK BoTaK pomoże Ci zapamiętać kolejność operacji – litery oznaczają rodzaje operacji, które należy wykonać, w kolejności:

• Kponieść porażkę
• Pwyciąg
• KAli
• bponownie
• TDodaj
• KKrewetka

Metoda 1 z 3: Scal podobne warunki

Krok 1. Zapisz swoje równanie

Najprostsze równania algebraiczne, zawierające tylko kilka wyrazów zmiennych o współczynnikach całkowitych, bez ułamków, pierwiastków itp., można często rozwiązać w zaledwie kilku krokach. W przypadku większości problemów matematycznych pierwszym krokiem do uproszczenia równania jest zapisanie go!

Jako przykładowy problem, w kolejnych kilku krokach użyjemy wyrażenia 1 + 2x - 3 + 4x.

Krok 2. Zidentyfikuj podobne plemiona

Następnie poszukaj podobnych terminów w swoim równaniu. Pamiętaj, że podobne terminy mają tę samą zmienną i wykładnik.

Na przykład zidentyfikujmy podobne terminy w naszym równaniu 1 + 2x – 3 + 4x. 2x i 4x mają tę samą zmienną o tej samej potędze (w tym przypadku x nie ma wykładnika). Ponadto 1 i -3 są podobne do terminów, ponieważ nie mają zmiennych. Więc w naszym równaniu 2x i 4x oraz 1 i -3 są podobne plemiona.

Krok 3. Połącz podobne terminy

Teraz, gdy już zidentyfikowałeś podobne terminy, możesz je połączyć, aby uprościć równanie. Dodaj terminy (lub odejmij w przypadku wyrazów ujemnych), aby zredukować zbiór terminów z tą samą zmienną i wykładnikiem do jednego równego wyrazu.

• Dodajmy podobne terminy w naszym przykładzie.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

Krok 4. Utwórz prostsze równanie z uproszczonych warunków

Po połączeniu podobnych terminów utwórz równanie z nowego, mniejszego zestawu terminów. Otrzymasz prostsze równanie, które ma jeden wyraz dla różnych zestawów zmiennych i mocy w pierwotnym równaniu. To nowe równanie jest równoważne z pierwotnym równaniem.

W naszym przykładzie nasze uproszczone wyrażenia to 6x i -2, więc nasze nowe równanie to 6x - 2. To proste równanie jest równoważne z oryginałem (1 + 2x - 3 + 4x), ale jest krótsze i łatwiejsze w obsłudze. Łatwiej jest też rozłożyć na czynniki, co omówimy poniżej, co jest kolejną ważną umiejętnością upraszczającą.

Krok 5. Postępuj zgodnie z kolejnością operacji podczas łączenia podobnych terminów

W bardzo prostych równaniach, takich jak to, nad którym pracowaliśmy w powyższym przykładzie, identyfikacja podobnych terminów jest łatwa. Jednak w bardziej złożonych równaniach, takich jak wyrażenia zawierające wyrażenia w nawiasach, ułamki i pierwiastki, takie jak wyrażenia, które można łączyć, mogą nie być wyraźnie widoczne. W takich przypadkach postępuj zgodnie z kolejnością operacji, wykonując operacje na terminach w wyrażeniu zgodnie z potrzebami, aż pozostaną operacje dodawania i odejmowania.

• Na przykład użyjmy równania 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Błędem byłoby od razu traktować 3x i 2x jako podobne terminy i łączyć je, ponieważ nawiasy w wyrażeniu wskazują, że najpierw musimy wykonać inne operacje. Najpierw wykonujemy operacje arytmetyczne na wyrażeniu w kolejności operacji, aby uzyskać terminy, których możemy użyć. Zobacz następujące:

  • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3x. Teraz, ponieważ jedyne pozostałe operacje to dodawanie i odejmowanie, możemy łączyć podobne wyrażenia.
  • x² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • x² + 12x + 3

Metoda 2 z 3: Faktoring

Krok 1. Zidentyfikuj największy wspólny czynnik w wyrażeniu

Rozkład na czynniki to sposób na uproszczenie wyrażenia przez usunięcie czynników, które są takie same we wszystkich podobnych terminach w wyrażeniu. Na początek znajdź największy wspólny czynnik, który mają wszystkie terminy – innymi słowy, największą liczbę dzielącą wszystkie terminy w wyrażeniu na całość.

• Użyjmy równania 9x.² + 27x - 3. Zauważ, że każdy wyraz w tym równaniu jest podzielny przez 3. Ponieważ wyrazy nie są podzielne przez żadną większą liczbę, możemy powiedzieć, że

  Krok 3. to nasz największy wspólny czynnik.

Krok 2. Podziel terminy w wyrażeniu przez największy wspólny czynnik

Następnie podziel każdy wyraz w swoim równaniu przez największy wspólny czynnik, który właśnie znalazłeś. Warunki ilorazu będą miały mniejszy współczynnik niż oryginalne równanie.

• Podzielmy nasze równanie na czynniki przez jego największy wspólny czynnik, 3. Aby to zrobić, podzielimy każdy wyraz przez 3.

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • Tak więc naszym nowym wyrażeniem jest 3x² + 9x - 1.

Krok 3. Zapisz swoje wyrażenie jako iloczyn największego wspólnego czynnika pomnożonego przez pozostałe wyrazy

Twoje nowe wyrażenie nie jest równoważne z wyrażeniem oryginalnym, więc stwierdzenie, że wyrażenie zostało uproszczone, byłoby niepoprawne. Aby nasza nowa ekspresja zrównała się z oryginałem, musimy uwzględnić fakt, że nasza ekspresja została podzielona przez największy wspólny czynnik. Ujmij nowe wyrażenie w nawiasy i wpisz największy wspólny czynnik oryginalnego równania jako współczynnik wyrażenia w nawiasach.

Dla naszego przykładowego równania, 3x² + 9x - 1, możemy ująć wyrażenie w nawiasy i pomnożyć je przez największy wspólny dzielnik pierwotnego równania, aby otrzymać 3(3x² + 9x - 1). To równanie jest równoważne oryginalnemu równaniu, 9x² +27x - 3.

Krok 4. Użyj faktoringu, aby uprościć ułamki

Być może zastanawiasz się teraz, dlaczego stosuje się faktoring, jeśli nawet po usunięciu największego wspólnego czynnika, nowe wyrażenie musi być ponownie pomnożone przez ten czynnik. Faktoring pozwala matematykom na wykonywanie różnych sztuczek w celu uproszczenia wyrażeń. Jedna z jego najłatwiejszych sztuczek wykorzystuje fakt, że pomnożenie licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę może dać ułamki równoważne. Zobacz następujące:

• Powiedzmy nasze początkowe przykładowe wyrażenie, 9x² + 27x - 3 jest kwantyfikatorem większego ułamka z 3 jako licznikiem. Ułamek będzie wyglądał tak: (9x² + 27x - 3)/3. Możemy użyć faktoringu, aby uprościć ułamki.

  • Podstawmy formę faktoryzacji naszego oryginalnego wyrażenia za wyrażenie w liczniku: (3(3x² + 9x - 1))/3
  • Zauważ, że teraz zarówno licznik, jak i mianownik mają współczynnik 3. Dzieląc licznik i mianownik przez 3, otrzymujemy: (3x² + 9x - 1)/1.
  • Ponieważ każdy ułamek o mianowniku 1 jest równoważny wyrazom w liczniku, możemy powiedzieć, że nasz ułamek początkowy można uprościć do 3x² + 9x - 1.

Metoda 3 z 3: Stosowanie dodatkowych umiejętności upraszczania

Krok 1. Uprość ułamki, dzieląc je przez te same czynniki

Jak wspomniano powyżej, jeśli licznik i mianownik równania mają te same współczynniki, współczynniki te można całkowicie pominąć w ułamku. Czasami będzie to wymagało uwzględnienia licznika, mianownika lub obu (tak jak w przykładzie powyżej), podczas gdy czasami te same czynniki są często oczywiste. Zauważ, że możliwe jest również podzielenie wyrazów licznika przez równanie w mianowniku jeden po drugim, aby uzyskać proste wyrażenie.

• Popracujmy nad przykładem, który nie wymaga rozkładania na czynniki. Dla ułamków (5x² + 10x + 20)/10, możemy podzielić każdy wyraz w liczniku przez 10, aby uprościć, nawet jeśli współczynnik wynosi 5 na 5x² jest nie większa niż 10, a zatem 10 nie jest czynnikiem.

  Jeśli to zrobimy, otrzymamy ((5x²)/10) + x + 2. Gdybyśmy chcieli, moglibyśmy przepisać pierwszy wyraz jako (1/2)x² więc otrzymujemy (1/2)x² +x+2.

Krok 2. Użyj kwadratów, aby uprościć pierwiastki

Wyrażenie pod znakiem root nazywa się wyrażeniem root. Wyrażenie to można uprościć, identyfikując czynniki kwadratowe (czynniki, które są kwadratami liczb całkowitych) i wykonując oddzielnie operację pierwiastka kwadratowego, aby usunąć je spod znaku pierwiastka kwadratowego.

• Zróbmy prosty przykład - (90). Jeśli pomyślimy o 90 jako iloczynu jego dwóch czynników, 9 i 10, możemy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z 9, który jest liczbą całkowitą 3, i usunąć go ze znaku pierwiastka. Innymi słowy:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

Krok 3. Dodaj wykładniki podczas mnożenia dwóch wykładników; odejmij podczas dzielenia

Niektóre wyrażenia algebraiczne wymagają mnożenia lub dzielenia wyrazów potęgowych. Zamiast obliczać lub dzielić każdy wykładnik ręcznie, po prostu dodaj wykładniki podczas mnożenia i odejmuj podczas dzielenia, aby zaoszczędzić czas. Ta koncepcja może być również wykorzystana do uproszczenia wyrażeń zmiennych.

• Na przykład użyjmy wyrażenia 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵). W każdym przypadku, gdy wymagane jest mnożenie lub dzielenie wykładników, odpowiednio odejmiemy lub dodamy wykładniki, aby szybko znaleźć prosty wyraz. Zobacz następujące:

  • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)
  • (6 × 8)x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• Aby uzyskać wyjaśnienie, jak to działa, zobacz poniżej:

  • Mnożenie wyrazów w wykładnikach jest w rzeczywistości jak mnożenie wyrazów, a nie długich wykładników. Na przykład, ponieważ x³ = x × x × x i x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) lub x⁸.
  • Prawie to samo, dzielenie wykładników jest jak dzielenie wyrazów, a nie długie wykładniki. x⁵/x³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Ponieważ każdy wyraz w liczniku można przekreślić, znajdując ten sam wyraz w mianowniku, w liczniku pozostały tylko dwa x i nic na dole, co daje odpowiedź x².

Porady

• Zawsze pamiętaj, że musisz sobie wyobrazić te liczby jako posiadające pozytywne i negatywne znaki. Wiele osób zastanawia się, jaki znak powinienem tutaj umieścić?
• Poproś o pomoc, jeśli jej potrzebujesz!
• Uproszczenie wyrażeń algebraicznych nie jest łatwe, ale gdy już je zrozumiesz, będziesz z nich korzystać do końca życia.

Ostrzeżenie

• Zawsze szukaj podobnych plemion i nie daj się zwieść rangom.
• Upewnij się, że nie dodajesz liczb, uprawnień ani operacji, które nie powinny być przypadkowe.