W matematyce, faktoring jest sposobem znajdowania liczb lub wyrażeń, które po pomnożeniu dadzą daną liczbę lub równanie. Faktoring to przydatna umiejętność do nauczenia się rozwiązywania prostych problemów algebry; umiejętność dobrego rozkładania czynników staje się ważna w przypadku równań kwadratowych i innych form wielomianów. Rozkład na czynniki może służyć do uproszczenia wyrażeń algebraicznych, aby ułatwić ich rozwiązania. Faktoring może nawet dać ci możliwość wyeliminowania pewnych możliwych odpowiedzi, znacznie szybciej niż rozwiązywanie ich ręcznie.
Krok
Metoda 1 z 3: Rozkładanie liczb na czynniki i proste wyrażenia algebraiczne
Krok 1. Zrozum definicję faktoringu w zastosowaniu do pojedynczych liczb
Faktoring to prosta koncepcja, ale w praktyce może być trudna w przypadku złożonych równań. Dlatego najłatwiej jest podejść do koncepcji faktoryzacji, zaczynając od prostych liczb, przechodząc do prostych równań, a następnie przechodząc do bardziej złożonych zastosowań. Czynnikami liczby są liczby, które po pomnożeniu dają liczbę. Na przykład współczynniki 12 to 1, 12, 2, 6, 3 i 4, ponieważ 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4 są równe 12.
- Innym sposobem myślenia o tym jest to, że dzielnikami liczby są liczby, które można podzielić równomiernie na liczbę.
-
Czy potrafisz znaleźć wszystkie czynniki liczby 60? Liczby 60 używamy do różnych celów (minuty w godzinie, sekundy w minucie itp.), ponieważ można ją podzielić przez całkiem sporo innych liczb.
Dzielniki 60 to 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60
Krok 2. Zrozum, że wyrażenia zmienne również mogą być rozkładane na czynniki
Podobnie jak same liczby mogą być rozkładane na czynniki, tak zmienne ze współczynnikami liczbowymi również mogą być rozkładane na czynniki. Aby to zrobić, po prostu znajdź współczynniki zmiennych współczynników. Wiedza o tym, jak rozłożyć zmienną na czynniki, jest bardzo przydatna do uproszczenia równań algebraicznych dotyczących tej zmiennej.
-
Na przykład zmienną 12x można zapisać jako iloczyn czynników 12 i x. Możemy zapisać 12x jako 3(4x), 2(6x) itd., używając tych dzielników 12, które najlepiej sprawdzają się w naszych celach.
Możemy nawet wielokrotnie rozkładać na czynniki 12x. Innymi słowy, nie musimy zatrzymywać się na 3(4x) lub 2(6x) – możemy rozłożyć na czynniki 4x i 6x, aby otrzymać 3(2(2x) i 2(3(2x). Oczywiście te dwa wyrażenia są równoważne
Krok 3. Zastosuj rozdzielczą własność mnożenia do czynnikowych równań algebraicznych
Korzystając ze swojej wiedzy na temat rozkładania na czynniki zarówno pojedynczych liczb, jak i zmiennych za pomocą współczynników, możesz uprościć proste równania algebraiczne, znajdując czynniki, które liczby i zmienne współdzielą w równaniach algebraicznych. Zwykle, aby uprościć równanie, staramy się znaleźć największy wspólny czynnik. Ten proces uproszczenia jest możliwy dzięki rozdzielczej własności mnożenia, która dotyczy dowolnej liczby a, b i c. a(b + c) = ab + ac.
- Spróbujmy przykładowego pytania. Aby rozłożyć równanie algebraiczne na czynniki 12x + 6, najpierw spróbujmy znaleźć największy wspólny dzielnik 12x i 6. 6 jest największą liczbą, która może równomiernie podzielić 12x i 6, więc możemy uprościć równanie do 6(2x + 1).
- Proces ten dotyczy również równań z liczbami ujemnymi i ułamkami. Na przykład x/2 + 4 można uprościć do 1/2(x + 8), a -7x + -21 można rozłożyć na czynniki -7(x + 3).
Metoda 2 z 3: Rozkładanie równań kwadratowych na czynniki
Krok 1. Upewnij się, że równanie ma postać kwadratową (ax2 + bx + c = 0).
Równania kwadratowe mają postać ax2 + bx + c = 0, gdzie a, b i c są stałymi liczbowymi i nie są równe 0 (zauważ, że a może być równe 1 lub -1). Jeśli masz równanie, które ma jedną zmienną (x), która ma jeden wyraz x do potęgi dwóch lub więcej, zwykle przesuwasz te wyrazy w równaniu za pomocą prostych operacji algebraicznych, aby uzyskać 0 po obu stronach znaku równości i ax2itp. z drugiej strony.
- Na przykład pomyślmy o równaniu algebraicznym. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 można uprościć do x2 + 6x + 9 = 0, czyli forma kwadratowa.
- Równania z większą potęgą x, np. x3, x4itp. nie są równaniami kwadratowymi. Te równania są równaniami sześciennymi do czwartej potęgi i tak dalej, chyba że można je uprościć, aby usunąć te wyrażenia x o potęgach większych niż 2.
Krok 2. W równaniu kwadratowym, gdzie a = 1, podziel na (x+d)(x+e), gdzie d × e = c i d + e = b
Jeśli twoje równanie kwadratowe ma postać x2 + bx + c = 0 (innymi słowy, jeśli współczynnik wyrazu x2 = 1), jest możliwe (ale nie gwarantowane), że do rozłożenia równania na czynniki można zastosować dość prostą metodę skróconą. Znajdź dwie liczby, które po pomnożeniu dają c oraz dodane do produkcji b. Po wyszukaniu tych dwóch liczb d i e umieść je w następującym wyrażeniu: (x+d)(x+e). Te dwa wyrazy po pomnożeniu dają twoje równanie kwadratowe – innymi słowy, są to czynniki twojego równania kwadratowego.
- Na przykład pomyślmy o równaniu kwadratowym x2 + 5x + 6 = 0,3 i 2 mnożymy do 6, a także dodajemy do 5, więc możemy uprościć to równanie do (x + 3) (x + 2).
-
Niewielka różnica w tej podstawowej metodzie stenograficznej polega na różnicach w samych podobieństwach:
- Jeżeli równanie kwadratowe ma postać x2-bx+c, twoja odpowiedź ma postać: (x - _)(x - _).
- Jeśli równanie ma postać x2+bx+c, Twoja odpowiedź wygląda tak: (x + _)(x + _).
- Jeśli równanie ma postać x2-bx-c, twoja odpowiedź ma postać (x + _)(x - _).
- Uwaga: liczby w pustych miejscach mogą być ułamkami zwykłymi lub dziesiętnymi. Na przykład równanie x2 + (21/2)x + 5 = 0 jest uwzględniane w (x + 10)(x + 1/2).
Krok 3. Jeśli to możliwe, uwzględnij kontrole
Wierz lub nie, ale w przypadku nieskomplikowanych równań kwadratowych jedną z dozwolonych metod rozkładania na czynniki jest zbadanie problemu, a następnie rozważenie możliwych odpowiedzi, aż znajdziesz poprawną odpowiedź. Ta metoda jest również znana jako faktoring przez badanie. Jeżeli równanie ma postać ax2+bx+c i a>1, twoja odpowiedź współczynnika ma postać (dx +/- _)(ex +/- _), gdzie d i e są stałymi liczb niezerowych, które po pomnożeniu dają a. Ani d, ani e (lub oba) nie mogą być równe 1, chociaż nie musi. Jeśli oba są 1, zasadniczo używasz metody skróconej opisanej powyżej.
Pomyślmy o przykładowym problemie. 3x2 - 8x + 4 na początku wygląda na trudne. Kiedy jednak zdamy sobie sprawę, że 3 ma tylko dwa czynniki (3 i 1), to równanie staje się łatwiejsze, ponieważ wiemy, że nasza odpowiedź musi mieć postać (3x +/- _)(x +/- _). W tym przypadku dodanie -2 do obu pustych miejsc daje poprawną odpowiedź. -2 × 3x = -6x i -2 × x = -2x. -6x i -2x sumują się do -8x. -2 × -2 = 4, więc możemy zobaczyć, że wyrazy uwzględnione w nawiasach po pomnożeniu dają oryginalne równanie.
Krok 4. Rozwiąż, wypełniając kwadrat
W niektórych przypadkach równania kwadratowe można szybko i łatwo rozkładać na czynniki przy użyciu specjalnych tożsamości algebraicznych. Dowolne równanie kwadratowe w postaci x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. Więc jeśli w twoim równaniu twoja wartość b jest dwukrotnością pierwiastka kwadratowego twojej wartości c, twoje równanie może być rozłożone na (x + (root(c)))2.
Na przykład równanie x2 +6x+9 ma ten kształt. 32 to 9, a 3 × 2 to 6. Tak więc wiemy, że forma czynnikowa tego równania to (x + 3)(x + 3), lub (x + 3)2.
Krok 5. Użyj współczynników do rozwiązania równań kwadratowych
Niezależnie od tego, jak rozłożyłeś równanie kwadratowe na czynniki, po rozłożeniu równania na czynniki możesz znaleźć możliwe odpowiedzi na wartość x, ustawiając każdy czynnik równy zero i rozwiązując je. Ponieważ szukasz wartości x, która sprawia, że twoje równanie jest równe zeru, wartość x, która sprawia, że każdy czynnik jest równy zeru, jest możliwą odpowiedzią na twoje równanie kwadratowe.
Wróćmy do równania x2 + 5x + 6 = 0. To równanie jest rozłożone na (x + 3) (x + 2) = 0. Jeśli którykolwiek czynnik jest równy 0, wszystkie równania są równe 0, więc naszymi możliwymi odpowiedziami na x są liczby - liczba, która sprawia (x + 3) i (x + 2) są równe 0. Liczby te to odpowiednio -3 i -2.
Krok 6. Sprawdź swoje odpowiedzi – niektóre odpowiedzi mogą wprowadzać w błąd
Gdy znajdziesz możliwe odpowiedzi na x, podłącz je z powrotem do oryginalnego równania, aby sprawdzić, czy odpowiedź jest poprawna. Czasami znalezione odpowiedzi nie powodują, że oryginalne równanie jest równe zeru po ponownym wprowadzeniu. Nazywamy tę odpowiedź odbiegającą od normy i ignorujemy ją.
-
Wstawmy -2 i -3 do x2 + 5x + 6 = 0. Po pierwsze, -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Ta odpowiedź jest poprawna, więc -2 jest poprawną odpowiedzią.
-
Teraz spróbujmy -3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Ta odpowiedź jest również poprawna, więc -3 jest poprawną odpowiedzią.
Metoda 3 z 3: Faktoryzacja innych równań
Krok 1. Jeśli równanie jest wyrażone w postaci a2-b2, podziel na (a+b)(a-b).
Równania z dwiema zmiennymi mają inne czynniki niż podstawowe równanie kwadratowe. Dla równania a2-b2 wszystko, gdzie aib nie są równe 0, współczynnikami równania są (a+b)(a-b).
Na przykład równanie 9x2 - 4 lata2 = (3x + 2 lata) (3x - 2 lata).
Krok 2. Jeśli równanie jest wyrażone w postaci a2+2ab+b2, współczynnik na (a+b)2.
Zauważ, że jeśli trójmian ma postać a2-2ab+b2, współczynniki kształtu są nieco inne: (a-b)2.
4x.równanie2 + 8xy + 4y2 można przepisać jako 4x2 + (2 × 2 × 2)xy + 4y2. Teraz widzimy, że forma jest poprawna, więc możemy być pewni, że współczynniki naszego równania wynoszą (2x + 2y)2
Krok 3. Jeśli równanie jest wyrażone w postaci a3-b3, dziel na (a-b)(a2+ab+b2).
Na koniec wspomniano już, że można faktorować równania sześcienne i nawet wyższe potęgi, chociaż proces faktoryzacji szybko staje się bardzo skomplikowany.
Na przykład 8x3 - 27 lat3 uwzględniony w (2x - 3y)(4x2 + ((2x)(3lata)) + 9lat2)
Porady
- a2-b2 można rozłożyć na czynniki, a2+b2 nie można rozliczyć.
- Pamiętaj, jak rozłożyć stałą. To może pomóc.
- Uważaj na ułamki w procesie faktoringu i pracuj z ułamkami poprawnie i ostrożnie.
- Jeśli masz trójmian postaci x2+bx+ (b/2)2, współczynnik kształtu to (x+(b/2))2. (Możesz napotkać tę sytuację podczas wypełniania kwadratu.)
- Pamiętaj, że a0=0 (właściwość iloczynu zera).
