3 sposoby rozkładania trójmianu na czynniki?

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-15 08:21

Trójmian to wyrażenie algebraiczne składające się z trzech wyrazów. Najprawdopodobniej zaczniesz uczyć się rozkładania na czynniki pierwsze trójmianu kwadratowego, czyli trójmianu zapisanego w postaci ax² + bx + c. Jest kilka sztuczek do nauczenia się, które można wykorzystać do wielu różnych typów trójmianów kwadratowych, ale będziesz w stanie używać ich lepiej i szybciej z praktyką. Wielomiany wyższego rzędu z wyrażeniami takimi jak x³ lub x⁴, nie zawsze można rozwiązać w ten sam sposób, ale często można użyć prostego rozkładania na czynniki lub podstawienia, aby przekształcić go w problem, który można rozwiązać jak każde inne równanie kwadratowe.

Krok

Metoda 1 z 3: Faktoring x² + bx + c

Krok 1. Naucz się mnożenia PLDT

Być może nauczyłeś się, jak mnożyć PLDT lub „Pierwszy, Poza, W, Ostatni”, aby mnożyć wyrażenia takie jak (x+2)(x+4). Warto wiedzieć, jak działa to mnożenie, zanim dokonamy rozłożenia na czynniki:

Pomnóż plemiona Najpierw: (x+2)(x+4) = x² + _
Pomnóż plemiona Na zewnątrz: (x+2)(x+

Krok 4.) = x²+ 4x + _
Pomnóż plemiona w: (x+

Krok 2.)(x+4) = x²+4x+ 2x + _
Pomnóż plemiona Finał: (x+

Krok 2.)(x

Krok 4.) = x²+4x+2x

Krok 8.
Uprość: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Krok 2. Zrozum faktoring

Mnożąc dwa dwumiany metodą PLDT otrzymujemy trójmian (wyrażenie z trzema wyrazami) w postaci ax²+ b x+ c, gdzie a, b i c są zwykłymi liczbami. Jeśli zaczniesz od równania, które ma tę samą postać, możesz rozłożyć je z powrotem na dwa dwumiany.

Jeśli równania nie są zapisane w tej kolejności, zmień ich kolejność tak, aby miały tę kolejność. Na przykład przepisz 3x - 10 + x² Staje się x² + 3x - 10.
Ponieważ najwyższa moc to 2 (x², ten typ wyrażenia nazywa się kwadratowym.

Krok 3. Zostaw puste miejsce na odpowiedź w postaci mnożenia PLDT

Na razie po prostu napisz (_ _)(_ _) gdzie napiszesz odpowiedź. Wypełnimy go podczas pracy nad nim

Nie pisz + lub – między pustymi wyrazami, ponieważ nie znamy jeszcze prawidłowego znaku

Krok 4. Wypełnij pierwsze warunki

W przypadku prostych problemów pierwszym wyrazem twojego trójmianu jest po prostu x², warunki na pierwszej pozycji są zawsze x oraz x. To są czynniki wyrazu x² ponieważ x razy x = x².

Nasz przykład x² + 3x - 10 zaczynając od x², więc możemy napisać:
(x _) (x _)
W następnej sekcji zajmiemy się bardziej złożonymi problemami, w tym trójmianami zaczynającymi się od wyrażeń takich jak 6x² lub -x². W międzyczasie wykonaj te przykładowe pytania.

Krok 5. Użyj faktoringu, aby odgadnąć ostatnie warunki

Jeśli cofniesz się i przeczytasz kroki dotyczące mnożenia PLDT, zobaczysz, że mnożenie wyrazów Ostatni da w wyniku ostatni wyraz wielomianu (wyrazy, które nie mają x). Tak więc, aby rozłożyć na czynniki, musimy znaleźć dwie liczby, które po pomnożeniu dadzą ostatni wyraz.

W naszym przykładzie x² + 3x - 10, ostatni termin to -10.
Jakie są współczynniki -10? Jaka liczba jest pomnożona przez -10?
Istnieje kilka możliwości: -1 razy 10, 1 razy -10, -2 razy 5 lub 2 razy -5. Zapisz te pary gdzieś, aby je zapamiętać.
Nie zmieniaj jeszcze naszej odpowiedzi. Nasza odpowiedź powinna nadal wyglądać tak: (x _) (x _).

Krok 6. Przetestuj możliwości pasujące do produktu zewnętrznego i wewnętrznego

Zawęziliśmy ostatnie warunki do kilku możliwości. Użyj systemu próbnego, aby przetestować każdą możliwość, mnożąc warunki Zewnętrzne i Wewnętrzne i porównując produkt z naszym trójmianem. Na przykład:

Nasz pierwotny problem miał termin „x” przy 3x, więc wyniki naszych testów powinny odpowiadać temu terminowi.
Testy -1 i 10: (x-1)(x+10). Na zewnątrz + Wewnątrz = 10x - x = 9x. Zło.
Testy 1 i -10: (x+1)(x-10). -10x + x = -9x. To jest źle. W rzeczywistości, jeśli przetestujesz -1 i 10, odkryjesz, że 1 i -10 są przeciwieństwem powyższej odpowiedzi: -9x zamiast 9x.
Testy -2 i 5: (x-2)(x+5). 5x - 2x = 3x. Wynik odpowiada początkowemu wielomianowi, więc oto prawidłowa odpowiedź: (x-2)(x+5).
W prostych przypadkach, takich jak ten, jeśli nie masz stałej przed wyrazem x², możesz użyć szybkiego sposobu: po prostu zsumuj dwa czynniki i umieść za nimi "x" (-2+5 → 3x). Jednak ta metoda nie działa w przypadku bardziej złożonych problemów, więc lepiej zapamiętać „długą drogę” opisaną powyżej.

Metoda 2 z 3: Rozkładanie bardziej złożonych trójmianów na czynniki

Krok 1. Użyj prostego faktoringu, aby uprościć bardziej złożone problemy

Na przykład musisz rozłożyć na czynniki 3x² + 9x - 30. Znajdź liczbę, która może uwzględniać wszystkie trzy terminy („największy wspólny czynnik” lub GCF). W tym przypadku GCF wynosi 3:

3x² = (3)(x²)
9x = (3)(3x)
-30 = (3)(-10)
Tak więc 3x² + 9x - 30 = (3)(x²+3x-10). Możemy wykluczyć nowy trójmian, wykonując czynności opisane w powyższej sekcji. Naszą ostateczną odpowiedzią będzie (3)(x-2)(x+5).

Krok 2. Poszukaj bardziej komplikujących czynników

Czasami faktoring może obejmować zmienną lub może być konieczne kilkakrotne rozłożenie na czynniki, aby znaleźć najprostsze możliwe wyrażenie. Oto kilka przykładów:

2x²y + 14xy + 24y = (2 lata)(x² + 7x + 12)
x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² +11x - 26)
-x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
Nie zapomnij o refaktoryzacji nowego trójmianu, wykonując kroki opisane w Metodzie 1. Sprawdź swoją pracę i poszukaj przykładów podobnych problemów w przykładowych pytaniach na dole tej strony.

Krok 3. Rozwiąż problemy z liczbą przed x².

Niektórych trójmianów kwadratowych nie da się zredukować do najłatwiejszego typu problemu. Dowiedz się, jak rozwiązywać problemy takie jak 3x² + 10x + 8, a następnie ćwicz samodzielnie z przykładowymi pytaniami na dole tej strony:

Ustaw naszą odpowiedź na: (_ _)(_ _)
Każdy z naszych „pierwszych” wyrazów będzie miał jeden x, a pomnożenie ich daje 3x². Jest tylko jedna możliwość: (3x _) (x _).
Wypisz współczynniki 8. Szanse wynoszą 1 razy 8 lub 2 razy 4.
Przetestuj tę możliwość, używając terminów Zewnętrzny i Wewnętrzny. Zauważ, że kolejność czynników jest bardzo ważna, ponieważ wyraz zewnętrzny jest mnożony przez 3x zamiast x. Wypróbuj każdą możliwość, aż uzyskasz Out+In = 10x (z oryginalnego problemu):
(3x+1)(x+8) → 24x+x = 25x nie
(3x+8)(x+1) → 3x+8x = 11x nie
(3x+2)(x+4) → 12x+2x=14x nie
(3x+4)(x+2) → 6x+4x=10x tak. To jest właściwy czynnik.

Krok 4. Użyj podstawienia dla trójmianów wyższego rzędu

Twoja książka do matematyki może cię zaskoczyć równaniami o dużych potęgach, takimi jak x⁴, nawet po zastosowaniu prostego faktoringu w celu ułatwienia problemu. Spróbuj zastąpić nową zmienną, która zamieni ją w problem, który wiesz, jak rozwiązać. Na przykład:

x⁵+13x³+36x
=(x)(x⁴+13x²+36)
Stwórzmy nową zmienną. Powiedzmy, że y = x² i umieść w nim:
(x)(y²+13 lat+36)
=(x)(y+9)(y+4). Teraz przekonwertuj go z powrotem na zmienną początkową:
=(x)(x²+9)(x²+4)
= (x)(x±3)(x±2)

Metoda 3 z 3: Faktoring przypadków specjalnych

Krok 1. Znajdź liczby pierwsze

Sprawdź, czy stała w pierwszym lub trzecim członie trójmianu jest liczbą pierwszą. Liczba pierwsza jest podzielna tylko przez siebie i 1, więc istnieje tylko jedna możliwa para czynników dwumianowych.

Na przykład w x² + 6x + 5, 5 to liczba pierwsza, więc dwumian musi mieć postać (_ 5)(_ 1).
W problemie 3x²+10x+8, 3 to liczba pierwsza, więc dwumian musi mieć postać (3x _)(x _).
W przypadku pytań 3x²+4x+1, zarówno 3 jak i 1 są liczbami pierwszymi, więc jedynym możliwym rozwiązaniem jest (3x+1)(x+1). (Nadal należy pomnożyć tę liczbę, aby sprawdzić odpowiedź, ponieważ niektórych wyrażeń w ogóle nie można rozłożyć na czynniki – na przykład 3x²+100x+1 nie ma współczynnika.)

Krok 2. Sprawdź, czy trójmian jest idealnym kwadratem

Idealny trójmian kwadratowy może być rozłożony na dwa identyczne dwumiany, a czynnik jest zwykle zapisywany jako (x+1)² a nie (x+1)(x+1). Oto kilka przykładów, które pojawiają się w pytaniach:

x²+2x+1=(x+1)²i x²-2x+1=(x-1)²
x²+4x+4=(x+2)²i x²-4x+4=(x-2)²
x²+6x+9=(x+3)²i x²-6x+9=(x-3)²
Czysty trójmian kwadratowy w postaci a x² + bx + c zawsze ma wyrazy a i c, które są dodatnimi idealnymi kwadratami (takie jak 1, 4, 9, 16 lub 25) i jeden wyraz b (dodatni lub ujemny), który jest równy 2(√a * √c).

Krok 3. Dowiedz się, czy problem nie ma rozwiązania

Nie wszystkie trójmiany można rozłożyć na czynniki. Jeśli nie możesz rozłożyć na czynniki kwadratowego trójmianu (ax²+bx+c), użyj wzoru kwadratowego, aby znaleźć odpowiedź. Jeśli jedyną odpowiedzią jest pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej, nie ma rozwiązania liczb rzeczywistych, to problem nie ma czynników.

W przypadku trójmianów niekwadratowych użyj kryterium Eisensteina, opisanego w sekcji Porady

Odpowiedzi i przykładowe pytania

Odpowiedzi na pytania dotyczące faktoringu skomplikowanego.

To są pytania z kroku „bardziej skomplikowane czynniki”. Uprościliśmy problemy do łatwiejszych, więc spróbuj je rozwiązać, wykonując kroki opisane w metodzie 1, a następnie sprawdź swoją pracę tutaj:
- (2 lata)(x² + 7x + 12) = (x+3)(x+4)
- (x²)(x² + 11x - 26) = (x+13)(x-2)
- (-1)(x² - 6x + 9) = (x-3)(x-3) = (x-3)²
Wypróbuj bardziej złożone problemy faktoringowe.

Te problemy mają ten sam czynnik w każdym z terminów, który należy najpierw uwzględnić. Zablokuj puste pola po znaku równości, aby zobaczyć odpowiedzi i sprawdzić swoją pracę:
- 3x³+3x²-6x = (3x)(x+2)(x-1) zablokuj puste miejsce, aby zobaczyć odpowiedź
- -5x³tak²+30x²tak²-25 lat²x = (-5xy^2)(x-5)(x-1)
Ćwicz za pomocą pytań. Tych problemów nie da się rozłożyć na łatwiejsze równania, więc będziesz musiał znaleźć odpowiedź w postaci (_x + _)(_x + _) metodą prób i błędów:
- 2x²+3x-5 = (2x+5)(x-1) zablokuj, aby zobaczyć odpowiedź
- 9x²+6x+1 = (3x+1)(3x+1)=(3x+1)² (Wskazówka: możesz wypróbować więcej niż jedną parę czynników dla 9x.)
Porady
- Jeśli nie możesz dowiedzieć się, jak rozłożyć na czynniki kwadratowy trójmian (ax²+bx+c), możesz użyć równania kwadratowego, aby znaleźć x.
- Chociaż nie musisz wiedzieć, jak to zrobić, możesz użyć kryteriów Eisensteina, aby szybko określić, czy wielomianu nie można uprościć i rozłożyć na czynniki. To kryterium ma zastosowanie do dowolnego wielomianu, ale najlepiej jest stosować do trójmianów. Jeśli istnieje liczba pierwsza p, która dzieli dwa ostatnie wyrazy równo i spełnia następujące warunki, to wielomianu nie można uprościć:
  - Wyrazy stałe (bez zmiennych) są wielokrotnościami p, ale nie wielokrotnościami p².
  - Prefiks (na przykład a in ax²+bx+c) nie jest wielokrotnością p.
  - Na przykład 14x² +45x +51 nie można uprościć, ponieważ istnieje liczba pierwsza (3), która może być podzielna przez 45 i 51, ale nie jest podzielna przez 14, a 51 nie jest podzielna przez 3².
Ostrzeżenie

Chociaż dotyczy to trójmianów kwadratowych, trójmian, który można rozłożyć na czynniki, niekoniecznie jest iloczynem dwóch dwumianów. Na przykład x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2)(x² - 5x + 23).