Czynnikami liczby są liczby, które można pomnożyć, aby uzyskać tę liczbę. Innym sposobem patrzenia na to jest to, że każda liczba jest iloczynem wielu czynników. Uczenie się rozkładania na czynniki – czyli dzielenia liczby na czynniki składowe – jest umiejętnością matematyczną wykorzystywaną nie tylko w podstawach arytmetyki, ale także w algebrze, rachunku różniczkowym i innych. Zobacz krok 1 poniżej, aby rozpocząć naukę rozkładania na czynniki!
Krok
Metoda 1 z 2: Faktoryzacja podstawowych liczb całkowitych
Krok 1. Zapisz swój numer
Aby rozpocząć faktoring, wystarczą liczby – dowolna liczba nie ma znaczenia, ale w tym przypadku użyjmy prostych liczb całkowitych. Liczba całkowita to liczba, która nie jest ani ułamkiem ani ułamkiem dziesiętnym (wszystkie dodatnie i ujemne liczby całkowite są liczbami całkowitymi).
-
Załóżmy, że wybieramy liczbę
Krok 12.. Zapisz ten numer na kartce papieru.
Krok 2. Znajdź dwie liczby, które po pomnożeniu dają twoją pierwszą liczbę
Dowolną liczbę całkowitą można zapisać jako iloczyn dwóch innych liczb całkowitych. Nawet liczby pierwsze można zapisać w wyniku pomnożenia 1 przez samą liczbę. Myślenie o liczbie jako iloczynu dwóch czynników wymaga myślenia wstecz – musisz zadać sobie pytanie, jakie mnożenie daje tę liczbę?
- W naszym przykładzie 12 ma wiele czynników - 12 × 1, 6 × 2, a 3 × 4 równa się 12. Możemy zatem powiedzieć, że czynniki 12 są 1, 2, 3, 4, 6 i 12. W tym celu wykorzystajmy czynniki 6 i 2.
- Liczby parzyste są bardzo łatwe do rozłożenia na czynniki, ponieważ każda liczba całkowita ma współczynnik 2,4 = 2 × 2, 26 = 13 × 2 i tak dalej.
Krok 3. Ustal, czy Twój faktor nadal może być faktoryzowany
Wiele liczb – zwłaszcza dużych – nadal można rozłożyć na czynniki kilka razy. Kiedy znajdziesz dwa czynniki liczby, jeśli jeden ma czynnik, możesz rozłożyć tę liczbę zgodnie z czynnikiem. W zależności od sytuacji może to być korzystne lub niekorzystne.
Na przykład w naszym przykładzie rozdzieliliśmy 12 na 2 × 6. Zauważ, że 6 ma swój własny czynnik – 3 × 2 = 6. Możemy więc powiedzieć, że 12 = 2 × (3 × 2).
Krok 4. Zatrzymaj faktoring, jeśli napotkasz liczbę pierwszą
Liczba pierwsza to liczba, którą można podzielić tylko przez siebie i 1. Na przykład 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13 i 17 to liczby pierwsze. Jeśli rozłożysz liczbę na czynniki, a wynikiem będzie liczba pierwsza, dalsze rozkładanie na czynniki nie ma sensu. Nie ma sensu uwzględniać tego raz w sobie, więc po prostu przestań.
W naszym przykładzie podzieliliśmy 12 na 2 × (2 × 3). 2, 2 i 3 to liczby pierwsze. Jeśli rozłożymy to ponownie, będziemy musieli to rozłożyć na (2 × 1) × ((2 × 1) (3 × 1)), co jest bezużyteczne, więc najlepiej tego unikać
Krok 5. Rozdziel liczby ujemne w ten sam sposób
Liczby ujemne można rozkładać na czynniki w taki sam sposób, jak liczby dodatnie. Różnica polega na tym, że po mnożeniu czynniki muszą dać liczbę, więc jeśli którykolwiek z czynników, liczba musi być ujemna.
-
Na przykład weźmy czynnik -60. Zobacz następujące:
- -60 = -10 × 6
- -60 = (-5 × 2) × 6
- -60 = (-5 × 2) × (3 × 2)
- -60 = - 5 × 2 × 3 × 2. Zauważ, że iloczyn jednej liczby ujemnej i kilku liczb nieparzystych liczb ujemnych da ten sam wynik. Na przykład, - 5 × 2 × -3 × -2 również równa się 60.
Metoda 2 z 2: Strategia rozkładania na czynniki dużych liczb
Krok 1. Zapisz swoje liczby powyżej w dwukolumnowej tabeli
Chociaż zazwyczaj łatwo jest rozłożyć małe liczby całkowite na czynniki, faktoryzacja dużych liczb całkowitych może być myląca. Dla większości z nas rozwiązywanie liczby z 4 lub 5 cyframi do liczby pierwszej za pomocą matematyki będzie frustrujące. Na szczęście korzystanie z tabel znacznie ułatwia ten proces. Zapisz swoje liczby powyżej w tabeli w kształcie litery T z 2 kolumnami – użyjesz tej tabeli do zapisania swojego faktoringu.
W tym przykładzie wybierzmy 4-cyfrową liczbę do rozłożenia na czynniki - 6.552.
Krok 2. Podziel swoją liczbę przez najmniejszy możliwy czynnik pierwszy
Podziel swoją liczbę przez najmniejszy czynnik pierwszy (inny niż 1), aby nie miała reszty. Wpisz czynniki pierwsze w lewej kolumnie, a odpowiedź na podział w prawej kolumnie. Jak wspomniano powyżej, liczby parzyste są bardzo łatwe do rozłożenia na czynniki, ponieważ ich najmniejszy czynnik pierwszy to zawsze 2. Jednak liczby nieparzyste mają różne najmniejsze czynniki pierwsze.
-
W naszym przykładzie, ponieważ 6,552 jest liczbą parzystą, wiemy, że najmniejszy czynnik pierwszy to 2. 6,552 2 = 3,276. W lewej kolumnie piszemy
Krok 2. i w prawej kolumnie napisz 3.276.
Krok 3. Kontynuuj faktoryzację liczb w ten sposób
Następnie rozłóż liczbę w prawej kolumnie według najmniejszego czynnika pierwszego, a nie liczby u góry tabeli. Wpisz czynnik pierwszy w lewej kolumnie, a nową liczbę w prawej kolumnie. Powtarzaj ten proces – z każdą iteracją liczba w prawej kolumnie będzie się zmniejszać.
-
Kontynuuj nasz proces. 3,276 2 = 1,638, więc na dole lewej kolumny wpiszemy liczbę
Krok 2. znowu i pod prawą kolumną napiszemy 1.638. 1638 2 = 819, więc napiszemy
Krok 2. oraz 819 pod poprzednią kolumną.
Krok 4. Rozłóż liczby nieparzyste na czynniki, próbując małych czynników pierwszych
Trudniej jest znaleźć najmniejszy czynnik pierwszy liczby nieparzystej niż parzystej, ponieważ najmniejszym czynnikiem pierwszym nie jest 2. Jeśli napotkasz liczbę nieparzystą, spróbuj podzielić przez małą liczbę pierwszą inną niż 2 – 3, 5, 7, 11 i tak dalej – aż znajdziesz czynnik, który może ją podzielić bez reszty. Jest to najmniejszy czynnik pierwszy liczby.
-
W naszym przykładzie znajdujemy 819. 819 jest liczbą nieparzystą, więc 2 nie jest dzielnikiem 819. Zamiast wpisywać liczbę 2, próbujemy następnej liczby pierwszej, która wynosi 3. 819 3 = 273 i nie ma reszty, więc piszemy
Krok 3. oraz 273.
- Zgadując czynniki, powinieneś wypróbować wszystkie liczby pierwsze aż do pierwiastka kwadratowego z największego znalezionego czynnika. Jeśli nie możesz znaleźć czynnika, który dzieli liczbę bez reszty, prawdopodobnie jest to liczba pierwsza i zatrzymujesz proces faktoryzacji.
Krok 5. Kontynuuj, aż znajdziesz numer 1
Kontynuuj dzielenie liczb w prawej kolumnie, używając ich najmniejszego czynnika pierwszego, aż znajdziesz liczby pierwsze w prawej kolumnie. Podziel tę liczbę przez siebie – tak, aby pozostała liczba w prawej kolumnie i 1 w prawej kolumnie.
-
Uzupełnij faktoring naszego numeru. Zobacz poniższy szczegółowy podział:
-
Ponownie podziel przez 3: 273 3 = 91, bez reszty, więc piszemy
Krok 3. oraz 91.
-
Spróbujmy ponownie z liczbą 3: 3 nie jest dzielnikiem 91, a następna liczba pierwsza (5) też nie jest dzielnikiem, ale 91 7 = 13, bez reszty, więc piszemy
Krok 7. da
Krok 13..
-
Spróbujmy ponownie z liczbą 7: 7 nie jest dzielnikiem 13, a następna liczba pierwsza (11) też nie jest dzielnikiem, ale jest podzielna sama przez się: 13 13 = 1. Aby uzupełnić naszą tabelę, piszemy
Krok 13. da
Krok 1.. Faktoring zakończony.
-
Krok 6. Użyj liczb w lewej kolumnie jako współczynników dla swoich liczb
Jeśli znalazłeś 1 w prawej kolumnie, faktoring jest zakończony. Liczby w lewej kolumnie to czynniki. Innymi słowy, jeśli pomnożysz wszystkie te liczby, otrzymasz liczbę znajdującą się na szczycie tabeli. Jeśli ten sam czynnik występuje wielokrotnie, możesz użyć kwadratu, aby zaoszczędzić miejsce. Na przykład, jeśli są 4 czynniki 2, możesz napisać 24 kontra pisanie 2×2×2×2.
W naszym przykładzie 6,552 = 23 × 32 × 7 × 13. Jest to pełna faktoryzacja 6552 na czynniki pierwsze. Kolejność tych liczb nie będzie miała wpływu; produkt nadal będzie wynosił 6552.
Porady
- Kolejną ważną rzeczą jest pojęcie liczb główny: liczba, która ma tylko dwa czynniki, 1 i samą siebie. 3 jest liczbą pierwszą, ponieważ jej współczynniki wynoszą tylko 1 i 3. Jednak 4 ma współczynnik 2. Liczby, które nie są pierwszymi, nazywane są złożonymi. (Jednak liczba 1 nie jest ani pierwsza, ani złożona – jest wyjątkowa).
- Najniższe liczby pierwsze to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 i 23.
- Zrozum, że liczba to czynnik inna liczba – aby większą liczbę można było podzielić przez mniejszą bez reszty. Na przykład 6 to czynnik 24, ponieważ 24 6 = 4 i nie ma reszty. Jednak 6 nie jest współczynnikiem 25.
- Pamiętaj, że mówimy tylko o liczbach naturalnych – które czasami nazywa się liczbami liczącymi: 1, 2, 3, 4, 5… Nie będziemy rozkładać na czynniki liczb ujemnych ani ułamków, ponieważ nie są one odpowiednie w tym artykule.
- Niektóre liczby można rozłożyć na czynniki w szybszy sposób, ale działa to cały czas, jako bonus, gdy skończysz, czynniki pierwsze są sortowane od najmniejszej do największej.
- Jeśli liczby są dodawane i są wielokrotnościami trzech, to jednym z czynników liczby jest trzy. (819 = 8+1+9 = 18, 1+8 =9. Trzy to współczynnik 9, więc jest to współczynnik 819.)
