To jest artykuł na temat rozkładania na czynniki wielomianu sześciennego. Zbadamy, jak rozkładać na czynniki za pomocą grupowania, a także za pomocą czynników z niezależnych terminów.
Krok
Metoda 1 z 2: Faktoring przez grupowanie
Krok 1. Pogrupuj wielomian na dwie części
Grupowanie wielomianu na dwie połówki pozwoli ci rozbić każdą część osobno.
Załóżmy, że używamy wielomianu: x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0. Podziel na (x3 + 3x2) i (-6x - 18).
Krok 2. Znajdź czynniki, które są takie same w każdej sekcji
- Od (x3 + 3x2), widzimy, że ten sam czynnik to x2.
- Od (-6x - 18) widzimy, że równy współczynnik wynosi -6.
Krok 3. Usuń równe czynniki z obu terminów
- Wyjmij czynnik x2 z pierwszej części otrzymujemy x2(x + 3).
- Biorąc czynnik -6 z drugiej części, otrzymujemy -6(x + 3).
Krok 4. Jeśli każdy z dwóch terminów ma ten sam czynnik, możesz połączyć te czynniki razem
Otrzymasz (x + 3)(x2 - 6).
Krok 5. Znajdź odpowiedź, patrząc na pierwiastki równania
Jeśli masz x2 u podstaw równania pamiętaj, że zarówno liczby dodatnie, jak i ujemne spełnią równanie.
Odpowiedzi to -3, 6 i -√6
Metoda 2 z 2: Faktoring przy użyciu bezpłatnych warunków
Krok 1. Przekształć równanie do postaci aX3+bX2+cX+d.
Załóżmy, że używamy wielomianu: x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Krok 2. Znajdź wszystkie czynniki „d”
Stała „d” to liczba, która nie ma obok niej żadnych zmiennych, takich jak „x”.
Czynniki to liczby, które można pomnożyć przez siebie, aby otrzymać inną liczbę. W tym przypadku dzielniki 10, czyli „d”, to: 1, 2, 5 i 10
Krok 3. Znajdź jeden czynnik, który powoduje, że wielomian jest równy zero
Musimy określić, które czynniki sprawiają, że wielomian jest równy zero, gdy podstawiamy czynniki do każdego „x” w równaniu.
-
Zacznij od pierwszego czynnika, którym jest 1. Zastąp „1” dla każdego „x” w równaniu:
(1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0.
- Otrzymasz: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Ponieważ 0 = 0 jest prawdziwym stwierdzeniem, wiesz, że x = 1 jest odpowiedzią.
Krok 4. Wykonaj kilka ustawień
Jeśli x = 1, możesz zmienić kolejność wyrażenia, aby wyglądało nieco inaczej, nie zmieniając jego znaczenia.
„x = 1” jest tym samym, co „x – 1 = 0”. Po prostu odejmujesz przez „1” z każdej strony równania
Krok 5. Weź pierwiastek równania z reszty równania
„(x - 1)” jest pierwiastkiem równania. Sprawdź, czy możesz wykluczyć resztę równania. Wyjmij wielomiany jeden po drugim.
- Czy możesz odjąć (x - 1) od x3? Nie. Ale możesz pożyczyć -x2 drugiej zmiennej, można ją rozłożyć na czynniki: x2(x - 1) = x3 - x2.
- Czy możesz rozłożyć (x - 1) na pozostałą część drugiej zmiennej? Nie. Trzeba trochę zapożyczyć z trzeciej zmiennej. Musisz pożyczyć 3x od -7x. To da wynik -3x(x - 1) = -3x2 + 3x.
- Ponieważ wziąłeś 3x z -7x, trzecia zmienna staje się -10x, a stała wynosi 10. Czy możesz to rozłożyć na czynniki? Tak! -10(x - 1) = -10x + 10.
- To, co robisz, to ustawianie zmiennej tak, abyś mógł wyłączyć (x - 1) z całego równania. Przekształcasz równanie w coś takiego: x3 - x2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0, ale równanie nadal równa się x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Krok 6. Kontynuuj zastępowanie czynnikami niezależnego terminu
Spójrz na liczbę, którą rozliczyłeś za pomocą (x - 1) w kroku 5:
- x2(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. Możesz zmienić kolejność, aby ułatwić ponowne rozłożenie na czynniki: (x - 1)(x2 - 3x - 10) = 0.
- Tutaj wystarczy tylko rozłożyć na czynniki (x2 - 3x - 10). Wynik faktoringu to (x + 2)(x - 5).
Krok 7. Twoja odpowiedź to rozłożone na czynniki pierwiastki równania
Możesz sprawdzić, czy Twoja odpowiedź jest poprawna, wstawiając każdą odpowiedź osobno do oryginalnego równania.
- (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0. To da odpowiedzi 1, -2 i 5.
- Wstaw -2 do równania: (-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Wstaw 5 do równania: (5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Porady
- Nie ma wielomianu sześcianu, którego nie można rozłożyć na czynniki przy użyciu liczb rzeczywistych, ponieważ każdy sześcian ma zawsze pierwiastek rzeczywisty. Wielomian sześcianu taki jak x3 + x + 1, który ma irracjonalny pierwiastek rzeczywisty, nie może być rozłożony na wielomian o współczynnikach całkowitych lub wymiernych. Chociaż można go rozłożyć na czynniki za pomocą wzoru sześciennego, nie można go zredukować jako wielomian całkowity.
- Wielomian sześcienny to iloczyn trzech wielomianów do potęgi jednego lub iloczynu wielomianu do potęgi jeden i wielomianu do potęgi dwójki, których nie można rozłożyć na czynniki. W sytuacjach takich jak ta druga, po znalezieniu pierwszego wielomianu potęgi używa się dzielenia długiego, aby uzyskać drugi wielomian potęgi.
