6 sposobów rozkładania wielomianów drugiego stopnia na czynniki (równania kwadratowe)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-19 22:13

Wielomian zawiera zmienną (x) z potęgą, zwaną stopniem, oraz kilka wyrazów i/lub stałych. Rozkładanie wielomianu na czynniki oznacza rozbicie równania na prostsze równania, które można pomnożyć. Ta umiejętność jest w Algebrze 1 i wyżej i może być trudna do uchwycenia, jeśli twoje umiejętności matematyczne nie są na tym poziomie.

Krok

Początek

Krok 1. Skonfiguruj swoje równanie

Standardowy format równania kwadratowego to:

topór² + bx + c = 0

Zacznij od uporządkowania wyrazów w swoim równaniu od najwyższej do najniższej potęgi, tak jak w tym standardowym formacie. Na przykład:

6 + 6x² + 13x = 0

Zmienimy kolejność tego równania, aby łatwiej było z nim pracować, po prostu przesuwając wyrazy:

6x² + 13x + 6 = 0

Krok 2. Znajdź współczynnik kształtu, korzystając z jednej z następujących metod

Rozkładanie wielomianu na czynniki daje dwa prostsze równania, które można pomnożyć w celu uzyskania oryginalnego wielomianu:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

W tym przykładzie (2x + 3) i (3x + 2) są czynnikami pierwotnego równania, 6x² +13x+6.

Krok 3. Sprawdź swoją pracę

Pomnóż posiadane czynniki. Następnie połącz podobne terminy i gotowe. Zacząć od:

(2x + 3)(3x + 2)

Spróbujmy pomnożyć terminy za pomocą PLDT (pierwszy – na zewnątrz – wewnątrz – ostatni), w wyniku czego:

6x² + 4x + 9x + 6

Stąd możemy zsumować 4x i 9x, ponieważ są one podobne do terminów. Wiemy, że nasze czynniki są poprawne, ponieważ otrzymujemy nasze oryginalne równanie:

6x² + 13x + 6

Metoda 1 z 6: Próba i błąd

Jeśli masz dość prosty wielomian, możesz sam znaleźć czynniki, po prostu na nie patrząc. Na przykład po praktyce wielu matematyków może dojść do wniosku, że równanie 4x² + 4x + 1 ma współczynnik (2x + 1) i (2x + 1) po prostu patrząc na to często. (To oczywiście nie będzie łatwe w przypadku bardziej skomplikowanych wielomianów). W tym przykładzie użyjmy rzadziej używanego równania:

3x² + 2x - 8

Krok 1. Napisz listę czynników wyrazu a i wyrazu c

Korzystanie z formatu równania siekiery² + bx + c = 0, zidentyfikuj terminy a i c i zapisz czynniki, które mają oba terminy. Dla 3x² + 2x - 8, czyli:

a = 3 i ma zestaw czynników: 1 * 3

c = -8 i ma cztery zestawy czynników: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 i -1 * 8.

Krok 2. Zapisz dwa zestawy nawiasów ze spacjami

Utworzone puste miejsca wypełnisz stałymi dla każdego równania:

(x)(x)

Krok 3. Wypełnij puste pola przed x możliwymi parami czynników dla wartości a

Dla wyrazu a w naszym przykładzie, 3x², dla naszego przykładu istnieje tylko jedna możliwość:

(3x)(1x)

Krok 4. Wypełnij dwa puste miejsca po x parami czynników dla stałej

Załóżmy, że wybieramy 8 i 1. Napisz w nich:

(3x

Krok 8.)(

Krok 1

Krok 5. Określ znak (plus lub minus) między zmienną x a liczbą

W zależności od znaków w oryginalnym równaniu, może być możliwe wyszukiwanie znaków stałych. Załóżmy, że nazywamy dwie stałe h i k dla naszych dwóch czynników:

Jeśli topór² + bx + c następnie (x + h)(x + k)

Jeśli topór² - bx - c lub ax² + bx - c wtedy (x - h)(x + k)

Jeśli topór² - bx + c wtedy (x - h) (x - k)

W naszym przykładzie 3x² + 2x - 8, znaki to:(x - h)(x + k), co daje nam dwa czynniki:

(3x + 8) i (x - 1)

Krok 6. Przetestuj swoje wybory za pomocą mnożenia „pierwsze wyszło-ostatnie” (PLDT)

Pierwszym szybkim testem jest sprawdzenie, czy średni termin ma przynajmniej poprawną wartość. Jeśli nie, być może wybrałeś niewłaściwe czynniki c. Przetestujmy naszą odpowiedź:

(3x + 8)(x - 1)

Mnożąc otrzymujemy:

3x² - 3x + 8x - 8

Upraszczając to równanie przez dodanie podobnych terminów (-3x) i (8x), otrzymujemy:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

Teraz wiemy, że musieliśmy użyć niewłaściwych czynników:

3x² + 5x - 8 3x² + 2x - 8

Krok 7. W razie potrzeby zmień swój wybór

W naszym przykładzie spróbujmy 2 i 4 zamiast 1 i 8:

(3x + 2) (x - 4)

Teraz nasz wyraz c to -8, ale nasz iloczyn zewnętrzny/wewnętrzny (3x * -4) i (2 * x) to -12x i 2x, co razem nie da poprawnego wyrazu b +2x.

-12x + 2x = 10x

10x 2x

Krok 8. W razie potrzeby odwróć kolejność

Spróbujmy zamienić 2 i 4:

(3x + 4) (x - 2)

Teraz nasz wyraz c (4 * 2 = 8) jest poprawny, ale iloczyn zewnętrzny/wewnętrzny to -6x i 4x. Jeśli je połączymy:

-6x + 4x = 2x

2x -2x Jesteśmy blisko 2x, którego szukamy, ale znak jest zły.

Krok 9. W razie potrzeby dwukrotnie sprawdź tagi

Użyjemy tej samej kolejności, ale zamień równania ze znakiem minus:

(3x - 4) (x + 2)

Teraz termin c nie stanowi problemu, a obecny iloczyn zewnętrzny/wewnętrzny to (6x) i (-4x). Ponieważ:

6x - 4x = 2x

2x = 2x Teraz możemy użyć dodatniego 2x z oryginalnego zadania. To muszą być właściwe czynniki.

Metoda 2 z 6: Rozkład

Ta metoda zidentyfikuje wszystkie możliwe czynniki terminów a i c i użyje ich do znalezienia właściwych czynników. Jeśli liczby są zbyt duże lub zgadywanie wydaje się czasochłonne, użyj tej metody. Posłużmy się przykładem:

6x² + 13x + 6

Krok 1. Pomnóż wyraz a przez wyraz c

W tym przykładzie a wynosi 6, a c również 6.

6 * 6 = 36

Krok 2. Uzyskaj termin b, rozkładając na czynniki i testując

Szukamy dwóch liczb, które są czynnikami iloczynu a * c, który zidentyfikowaliśmy i które również składają się na wyraz b (13).

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

Krok 3. Zastąp dwie liczby, które otrzymałeś w swoim równaniu w wyniku dodania wyrazu b

Użyjmy k i h do przedstawienia dwóch liczb, które mamy, 4 i 9:

topór² + kx + hx + c

6x² + 4x + 9x + 6

Krok 4. Rozkład na czynniki wielomianu przez grupowanie

Ułóż równania tak, aby można było wziąć największy wspólny dzielnik zarówno pierwszego, jak i drugiego wyrazu. Grupa czynników musi być taka sama. Dodaj największy wspólny czynnik i umieść go w nawiasach obok grupy czynników; wynikiem są twoje dwa czynniki:

6x² + 4x + 9x + 6

2x(3x + 2) + 3(3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

Metoda 3 z 6: Potrójna gra

Podobnie jak metoda dekompozycji, metoda triple play bada możliwe czynniki mnożenia wyrazów a i c oraz użycie wartości b. Spróbuj użyć tego przykładowego równania:

8x² + 10x + 2

Krok 1. Pomnóż wyraz a przez wyraz c

Podobnie jak metoda parsowania, pomoże nam to zidentyfikować kandydatów na termin b. W tym przykładzie a wynosi 8, a c wynosi 2.

8 * 2 = 16

Krok 2. Znajdź dwie liczby, które po pomnożeniu przez liczby dają tę liczbę o łącznej sumie równej wyrazowi b

Ten krok jest taki sam jak parsowanie – testujemy i odrzucamy kandydatów na stałą. Iloczyn terminów a i c wynosi 16, a wyrazu c wynosi 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

Krok 3. Weź te dwie liczby i przetestuj je, podłączając je do formuły triple play

Weź nasze dwie liczby z poprzedniego kroku – nazwijmy je h i k – i wstaw je do równania:

((ax + h)(ax + k))/ a

Dostaniemy:

((8x + 8)(8x + 2)) / 8

Krok 4. Zwróć uwagę, czy którykolwiek z dwóch wyrazów w liczniku jest podzielny przez

W tym przykładzie widzieliśmy, czy (8x + 8) lub (8x + 2) jest podzielne przez 8. (8x + 8) jest podzielne przez 8, więc podzielimy ten wyraz przez a, a pozostałe czynniki zostawimy w spokoju.

(8x + 8) = 8(x + 1)

Termin w nawiasach to to, co pozostało po podzieleniu przez termin a.

Krok 5. Weź największy wspólny czynnik (GCF) jednego lub obu terminów, jeśli taki istnieje

W tym przykładzie drugi składnik ma GCF równy 2, ponieważ 8x + 2 = 2(4x + 1). Połącz ten wynik z terminem otrzymanym w poprzednim kroku. To są czynniki w twoim równaniu.

2(x + 1) (4x + 1)

Metoda 4 z 6: Różnica pierwiastków kwadratowych

Niektóre współczynniki w wielomianach mogą być „kwadratami” lub iloczynem dwóch liczb. Identyfikacja tych kwadratów umożliwia szybsze rozłożenie na czynniki wielomianów. Wypróbuj to równanie:

27x² - 12 = 0

Krok 1. Jeśli to możliwe, usuń największy wspólny czynnik

W tym przypadku widzimy, że 27 i 12 są podzielne przez 3, więc otrzymujemy:

27x² - 12 = 3(9x² - 4)

Krok 2. Zidentyfikuj, czy współczynniki twojego równania są liczbami kwadratowymi

Aby użyć tej metody, musisz być w stanie wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z obu terminów. (Zauważ, że zignorujemy znak ujemny – ponieważ te liczby są kwadratami, mogą być iloczynem dwóch liczb dodatnich lub ujemnych)

9x² = 3x * 3x i 4 = 2 * 2

Krok 3. Używając otrzymanego pierwiastka kwadratowego, zapisz współczynniki

Weźmiemy wartości a i c z naszego powyższego kroku - a = 9 i c = 4, a następnie znajdź pierwiastek kwadratowy - a = 3 i c = 2. Wynikiem jest współczynnik równania czynnikowego:

27x² - 12 = 3(9x² - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2)

Metoda 5 z 6: Wzór kwadratowy

Jeśli wszystko inne zawiedzie i równania nie można rozłożyć na czynniki, użyj wzoru kwadratowego. Wypróbuj ten przykład:

x² + 4x + 1 = 0

Krok 1. Wprowadź wymagane wartości we wzorze kwadratowym:

x = -b ± (b² - 4ac)

2a

Otrzymujemy równanie:

x = -4 ± (4² - 4•1•1) / 2

Krok 2. Znajdź wartość x

Otrzymasz dwie wartości. Jak pokazano powyżej, otrzymujemy dwie odpowiedzi:

x = -2 + (3) lub x = -2 - (3)

Krok 3. Użyj swojej wartości x, aby znaleźć czynniki

Podłącz otrzymane wartości x do dwóch równań wielomianowych jako stałe. Wynik to twoje czynniki. Jeśli nazwiemy nasze odpowiedzi h i k, dwa czynniki zapisujemy w następujący sposób:

(x - h) (x - k)

W tym przykładzie nasza ostateczna odpowiedź brzmi:

(x - (-2 + (3))(x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3))(x + 2 + (3))

Metoda 6 z 6: Korzystanie z kalkulatora

Jeśli możesz używać kalkulatora, kalkulator graficzny znacznie ułatwia proces faktoryzacji, szczególnie w przypadku standardowych testów. Te instrukcje dotyczą kalkulatora graficznego TI. Użyjemy przykładowego równania:

y = x² x 2

Krok 1. Wprowadź swoje równanie do kalkulatora

Użyjesz faktoryzacji równania, które jest napisane [Y =] na ekranie.

Krok 2. Narysuj swoje równanie za pomocą kalkulatora

Po wprowadzeniu równania naciśnij [WYKRES] – zobaczysz gładką krzywą, która reprezentuje twoje równanie (a kształt jest krzywą, ponieważ używamy wielomianów).

Krok 3. Znajdź miejsce, w którym krzywa przecina się z osią X

Ponieważ równania wielomianowe są zwykle zapisywane jako ax² + bx + c = 0, to przecięcie jest drugą wartością x, która powoduje, że równanie ma wartość zero:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

Jeśli nie możesz określić, gdzie wykres przecina się z osią X, patrząc na niego, naciśnij [2nd], a następnie [TRACE]. Naciśnij [2] lub wybierz zero. Przesuń kursor na lewo od skrzyżowania i naciśnij [ENTER]. Przesuń kursor na prawo od skrzyżowania i naciśnij [ENTER]. Przesuń kursor jak najbliżej skrzyżowania i naciśnij klawisz [ENTER]. Kalkulator znajdzie wartość x. Zrób to również dla innych skrzyżowań

Krok 4. Wstaw wartość x uzyskaną w poprzednim kroku do równania dwusilnikowego

Gdybyśmy nazwali obie nasze wartości x h i k, równania, których użylibyśmy, byłyby:

(x - h) (x - k) = 0

Zatem nasze dwa czynniki to:

(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2)

Porady

• Jeśli masz kalkulator TI-84 (wykres), istnieje program o nazwie SOLVER, który rozwiąże twoje równania kwadratowe. Ten program rozwiąże wielomiany dowolnego stopnia.
• Jeśli wyraz nie jest napisany, współczynnik wynosi 0. W takim przypadku warto przepisać równanie, na przykład: x² + 6 = x² +0x+6.
• Jeśli rozłożyłeś swój wielomian na czynniki przy użyciu wzoru kwadratowego i uzyskałeś odpowiedź w postaci pierwiastków, możesz chcieć przekonwertować wartość x na ułamek, aby sprawdzić.
• Jeśli termin nie ma zapisanego współczynnika, współczynnik wynosi 1, na przykład: x² = 1x².
• Po wystarczającej praktyce w końcu będziesz w stanie rozkładać wielomiany w swojej głowie. Dopóki nie możesz tego zrobić, pamiętaj, aby zawsze zapisywać instrukcje.