W „układzie równań” zostaniesz poproszony o rozwiązanie dwóch lub więcej równań jednocześnie. Gdy oba równania mają dwie różne zmienne, na przykład x i y, rozwiązanie może początkowo wydawać się trudne. Na szczęście, gdy już wiesz, co musisz zrobić, możesz po prostu użyć swoich umiejętności algebraicznych (i nauki obliczania ułamków), aby rozwiązać problem. Naucz się również rysować te dwa równania, jeśli jesteś wzrokowcem lub jesteś wymagany przez nauczyciela. Rysunki pomogą Ci zidentyfikować tematykę lub sprawdzić efekty Twojej pracy. Jednak ta metoda jest wolniejsza niż inne metody i nie może być stosowana do wszystkich układów równań.
Krok
Metoda 1 z 3: Korzystanie z metody substytucji
Krok 1. Przenieś zmienne na przeciwną stronę równania
Metoda podstawienia zaczyna się od „znalezienia wartości x” (lub dowolnej innej zmiennej) w jednym z równań. Na przykład powiedzmy, że równanie problemu to 4x + 2 lata = 8 oraz 5x + 3 lata = 9. Zacznij od pracy nad pierwszym równaniem. Zmień układ równania, odejmując 2y po obu stronach. W ten sposób otrzymujesz 4x = 8 - 2 lata.
Ta metoda często wykorzystuje ułamki na końcu. Jeśli nie lubisz liczyć ułamków, wypróbuj poniższą metodę eliminacji
Krok 2. Podziel obie strony równania, aby "znaleźć wartość x"
Gdy wyraz x (lub dowolna zmienna, której używasz) jest sam po jednej stronie równania, podziel obie strony równania przez współczynniki, tak aby pozostała tylko zmienna. Jako przykład:
- 4x = 8 - 2 lata
- (4x)/4 = (8/4) - (2 lata/4)
- x = 2 - y
Krok 3. Wstaw wartość x z pierwszego równania do drugiego równania
Upewnij się, że podłączasz je do drugiego równania, a nie do tego, nad którym właśnie pracowałeś. Zastąp (zastąp) zmienną x w drugim równaniu. Zatem drugie równanie ma teraz tylko jedną zmienną. Jako przykład:
- Jest znany x = 2 - y.
- Twoje drugie równanie to 5x + 3 lata = 9.
- Po zamianie zmiennej x w drugim równaniu na wartość x z pierwszego równania, otrzymujemy "2 - y": 5(2 - r) + 3 r = 9.
Krok 4. Rozwiąż pozostałe zmienne
Teraz twoje równanie ma tylko jedną zmienną. Oblicz równanie za pomocą zwykłych operacji algebraicznych, aby znaleźć wartość zmiennej. Jeśli te dwie zmienne znoszą się nawzajem, przejdź od razu do ostatniego kroku. W przeciwnym razie otrzymasz wartość jednej ze zmiennych:
- 5(2 - r) + 3 r = 9
- 10 – (5/2)r + 3r = 9
- 10 – (5/2)r + (6/2)r = 9 (Jeśli nie rozumiesz tego kroku, dowiedz się, jak dodawać ułamki).
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Krok 5. Wykorzystaj uzyskaną odpowiedź, aby znaleźć prawdziwą wartość x w pierwszym równaniu
Nie przestawaj jeszcze, ponieważ twoje obliczenia jeszcze się nie skończyły. Otrzymaną odpowiedź należy wstawić do pierwszego równania, aby znaleźć wartość pozostałych zmiennych:
- Jest znany y = -2
- Jedno z równań w pierwszym równaniu to 4x + 2 lata = 8. (Możesz użyć jednego.)
- Zamień zmienną y na -2: 4x + 2(-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Krok 6. Dowiedz się, co zrobić, jeśli te dwie zmienne znoszą się nawzajem
Kiedy wchodzisz x=3lat+2 lub podobną odpowiedź na drugie równanie, co oznacza, że próbujesz uzyskać równanie, które ma tylko jedną zmienną. Czasami po prostu otrzymujesz równanie z pominięciem zmienny. Sprawdź dokładnie swoją pracę i upewnij się, że umieściłeś (zmieniono kolejność) równanie pierwsze w równaniu drugim, zamiast wracać do pierwszego równania. Gdy masz pewność, że nie zrobiłeś nic złego, napisz jeden z następujących wyników:
- Jeśli równanie nie ma zmiennych i nie jest prawdziwe (na przykład 3 = 5), ten problem nie mam odpowiedzi. (Gdy jest to przedstawione na wykresie, te dwa równania są równoległe i nigdy się nie spotykają.)
- Jeśli równanie nie ma zmiennych i Prawidłowy, (np. 3 = 3), co oznacza, że pytanie ma nieograniczone odpowiedzi. Równanie pierwsze jest dokładnie takie samo jak równanie drugie. (Na wykresie te dwa równania są tą samą linią.)
Metoda 2 z 3: Korzystanie z metody eliminacji
Krok 1. Znajdź wzajemnie wykluczające się zmienne
Czasami równanie w problemie jest już anuluj się nawzajem po zsumowaniu. Na przykład, jeśli wykonasz równanie 3x + 2 lata = 11 oraz 5x - 2 lata = 13, terminy „+2y” i „-2y” znoszą się wzajemnie i usuwają zmienną „y” z równania. Przyjrzyj się równaniu w zadaniu i zobacz, czy istnieją zmienne, które wzajemnie się znoszą, jak w przykładzie. Jeśli nie, przejdź do następnego kroku.
Krok 2. Pomnóż równanie przez jeden, aby usunąć jedną zmienną
(Pomiń ten krok, jeśli zmienne już się znoszą.) Jeśli równanie nie zawiera zmiennych, które same się znoszą, zmień jedno z równań, aby mogły się wzajemnie znosić. Spójrz na poniższe przykłady, aby łatwo je zrozumieć:
- Równania w zadaniu to 3x - y = 3 oraz - x + 2y = 4.
- Zmieńmy pierwsze równanie tak, aby zmienna tak anulować się nawzajem. (Możesz użyć zmiennej x. Otrzymana ostateczna odpowiedź będzie taka sama.)
- Zmienny - tak w pierwszym równaniu musi być wyeliminowany przez + 2 lata w drugim równaniu. Jak pomnożyć - tak z 2.
- Pomnóż obie strony równania przez 2 w następujący sposób: 2(3x - y)=2(3), więc 6x - 2 lata = 6. Teraz plemię - 2 lata anulują się nawzajem za pomocą +2y w drugim równaniu.
Krok 3. Połącz dwa równania
Sztuczka polega na tym, aby dodać prawą stronę pierwszego równania do prawej strony drugiego równania i dodać lewą stronę pierwszego równania do lewej strony drugiego równania. Jeśli zrobisz to poprawnie, jedna ze zmiennych zniesie się nawzajem. Spróbujmy kontynuować obliczenia z poprzedniego przykładu:
- Twoje dwa równania to 6x - 2 lata = 6 oraz - x + 2y = 4.
- Dodaj lewe strony dwóch równań: 6x - 2y - x + 2y = ?
- Dodaj prawe strony dwóch równań: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Krok 4. Uzyskaj ostatnią wartość zmiennej
Uprość swoje równanie złożone i pracuj ze standardową algebrą, aby uzyskać wartość ostatniej zmiennej. Jeśli po uproszczeniu równanie nie ma zmiennych, przejdź do ostatniego kroku w tej sekcji.
W przeciwnym razie otrzymasz wartość jednej ze zmiennych. Jako przykład:
- Jest znany 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Zmienne grupowe x oraz tak razem: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Uprość równanie: 5x = 10
- Znajdź wartość x: (5x)/5 = 10/5, pozyskać x = 2.
Krok 5. Znajdź wartość innej zmiennej
Znalazłeś wartość jednej zmiennej, ale co z drugą? Umieść odpowiedź w jednym z równań, aby znaleźć wartość pozostałej zmiennej. Jako przykład:
- Jest znany x = 2, a jednym z równań w zadaniu jest 3x - y = 3.
- Zamień zmienną x na 2: 3(2) - y = 3.
- Znajdź wartość y w równaniu: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, więc 6 = 3 + y
- 3 = y
Krok 6. Dowiedz się, co zrobić, gdy te dwie zmienne znoszą się nawzajem
Czasami połączenie dwóch równań daje w wyniku równanie, które nie ma sensu lub nie pomaga rozwiązać problemu. Przejrzyj swoją pracę i jeśli jesteś pewien, że nie zrobiłeś nic złego, napisz jedną z dwóch następujących odpowiedzi:
- Jeśli złożone równanie nie ma zmiennych i nie jest prawdziwe (na przykład 2 = 7), ten problem nie mam odpowiedzi. Ta odpowiedź dotyczy obu równań. (Gdy jest to przedstawione na wykresie, te dwa równania są równoległe i nigdy się nie spotykają.)
- Jeśli połączone równanie nie ma zmiennych i Prawidłowy, (np. 0 = 0), co oznacza, że pytanie ma nieograniczone odpowiedzi. Te dwa równania są identyczne. (Na wykresie te dwa równania są tą samą linią.)
Metoda 3 z 3: Narysuj wykres równań
Krok 1. Wykonaj tę metodę tylko wtedy, gdy zostaniesz poproszony
O ile nie używasz komputera lub kalkulatora graficznego, ta metoda może dostarczyć tylko przybliżonych odpowiedzi. Twój nauczyciel lub podręcznik może ci powiedzieć, abyś skorzystał z tej metody, aby wyrobić w sobie nawyk rysowania równań jako linii. Ta metoda może być również użyta do sprawdzenia odpowiedzi na jedną z powyższych metod.
Główną ideą jest to, że musisz opisać dwa równania i znaleźć ich punkt przecięcia. Wartość x i y w tym punkcie przecięcia jest odpowiedzią na problem
Krok 2. Znajdź wartości y obu równań
Nie łącz obu równań i zmieniaj każde równanie tak, aby format to „y = _x + _”. Jako przykład:
- Twoje pierwsze równanie to 2x + y = 5. Zmień na y = -2x + 5.
- Twoje pierwsze równanie to - 3x + 6 lat = 0. Zmień na 6 lat = 3x + 0i uprościć do y = x + 0.
- Jeśli twoje dwa równania są dokładnie takie same, cała linia jest „przecięciem” dwóch równań. Pisać nieograniczone odpowiedzi jako odpowiedź.
Krok 3. Narysuj osie współrzędnych
Narysuj pionową linię „oś y” i poziomą linię „oś x” na papierze milimetrowym. Zaczynając od punktu, w którym dwie osie przecinają się (0, 0), zapisz kolejno numery etykiet 1, 2, 3, 4 itd., wskazując w górę na oś y i wskazując w prawo na osi x. Następnie zapisz etykiety z numerami -1, -2 i tak dalej, kolejno wskazując w dół na osi y i wskazując w lewo na osi x.
- Jeśli nie masz papieru milimetrowego, użyj linijki, aby upewnić się, że odstępy między każdą liczbą są dokładnie takie same.
- Jeśli używasz dużych liczb lub ułamków dziesiętnych, zalecamy skalowanie wykresu (np. 10, 20, 30 lub 0, 1, 0, 2, 0, 3 zamiast 1, 2, 3).
Krok 4. Narysuj punkt przecięcia y dla każdego równania
Jeśli równanie ma postać y = _x + _, możesz rozpocząć rysowanie wykresu od punktu, w którym linia równania przecina się z osią y. Wartość y jest zawsze taka sama jak ostatnia liczba w równaniu.
-
Kontynuując poprzedni przykład, pierwsza linia (y = -2x + 5) przecina oś y w
Krok 5.. druga linia (y = x + 0) przecina oś y w 0. (Punkty te są zapisane jako (0, 5) i (0, 0) na wykresie.)
- Jeśli to możliwe, narysuj pierwszą i drugą linię za pomocą różnych kolorowych pisaków lub ołówków.
Krok 5. Użyj nachylenia, aby kontynuować linię
W formacie równania y = _x + _, liczba przed x wskazuje „poziom nachylenia” linii. Za każdym razem, gdy x zwiększa się o jeden, wartość y wzrośnie o liczbę poziomów nachylenia. Użyj tych informacji, aby znaleźć punkty dla każdej linii na wykresie, gdy x = 1. (Możesz również wprowadzić x = 1 w każdym równaniu i znaleźć wartość y).
- Kontynuując poprzedni przykład, linia y = -2x + 5 ma nachylenie - 2. W punkcie x = 1 linia porusza się w dół o 2 od punktu x = 0. Narysuj prostą łączącą (0, 5) z (1, 3).
- Linia y = x + 0 ma nachylenie ½. Przy x = 1 linia porusza się jeździć od punktu x=0. Narysuj linię łączącą (0, 0) z (1,).
- Jeśli dwie linie mają to samo nachylenie, te dwa nigdy się nie przecinają. Tak więc ten układ równań nie ma odpowiedzi. Pisać brak odpowiedzi jako odpowiedź.
Krok 6. Kontynuuj łączenie linii, aż dwie linie się przetną
Zatrzymaj pracę i spójrz na swój wykres. jeśli te dwie linie się przecięły, przejdź do następnego kroku. Jeśli nie, podejmij decyzję na podstawie pozycji twoich dwóch linii:
- Jeśli dwie linie zbliżają się do siebie, kontynuuj łączenie kropek swoich pasków.
- Jeśli dwie linie oddalają się od siebie, cofnij się i połącz kropki w przeciwnych kierunkach, zaczynając od x = 1.
- Jeśli dwie linie są bardzo od siebie oddalone, spróbuj przeskoczyć i połączyć punkty dalej, na przykład x = 10.
Krok 7. Znajdź odpowiedź w punkcie przecięcia
Po przecięciu się dwóch linii, wartość x i y w tym punkcie jest odpowiedzią na twój problem. Jeśli masz szczęście, odpowiedź będzie liczbą całkowitą. Na przykład w naszym przykładzie dwie linie przecinają się w punkcie (2, 1) więc odpowiedź brzmi x = 2 i y = 1. W niektórych układach równań punkt przecięcia linii znajduje się między dwiema liczbami całkowitymi, a jeśli wykres nie jest bardzo dokładny, trudno jest wskazać, gdzie wartości x i y znajdują się w punkcie przecięcia. Jeśli jest to dozwolone, możesz wpisać „x jest między 1 a 2” jako odpowiedź lub użyć metody zastępowania lub eliminacji, aby znaleźć odpowiedź.
Porady
- Możesz sprawdzić swoją pracę, podłączając odpowiedzi do oryginalnego równania. Jeśli równanie okaże się prawdziwe (np. 3 = 3), oznacza to, że Twoja odpowiedź jest poprawna.
- Używając metody eliminacji, czasami trzeba pomnożyć równanie przez liczbę ujemną, aby zmienne mogły się wzajemnie znosić.
