Forma pierwiastka to wyrażenie algebraiczne zawierające znak pierwiastka kwadratowego (lub pierwiastka sześciennego lub wyższego). Ten formularz może często reprezentować dwie liczby, które mają tę samą wartość, nawet jeśli na pierwszy rzut oka mogą się różnić (na przykład 1/(sqrt(2) - 1) = sqrt(2)+1). Dlatego potrzebujemy „standardowej formuły” dla tego rodzaju formularza. Jeśli istnieją dwa zdania, oba w formule standardowej, które wydają się różne, to nie są takie same. Matematycy są zgodni, że standardowe sformułowanie formy kwadratowej spełnia następujące wymagania:
- Unikaj używania ułamków
- Nie używaj potęg ułamkowych
- Unikaj używania rdzenia w mianowniku
- Nie zawiera pomnożenia dwóch form korzeniowych
- Liczb pod korzeń nie można już zakorzenić
Jednym z praktycznych zastosowań tego są egzaminy wielokrotnego wyboru. Gdy znajdziesz odpowiedź, ale twoja odpowiedź nie jest taka sama, jak dostępne opcje, spróbuj uprościć ją do standardowej formuły. Ponieważ twórcy pytań zwykle piszą odpowiedzi w standardowych formułach, zrób to samo z odpowiedziami, aby pasowały do ich odpowiedzi. W pytaniach opisowych polecenia takie jak „uprość odpowiedź” lub „uprość wszystkie pierwiastki” oznaczają, że uczniowie muszą wykonać następujące kroki, dopóki nie spełnią standardowej formuły opisanej powyżej. Ten krok można również wykorzystać do rozwiązywania równań, chociaż niektóre typy równań są łatwiejsze do rozwiązania w niestandardowych formułach.
Krok
Krok 1. Jeśli to konieczne, przejrzyj zasady działania pierwiastków i wykładników (oba są równe - pierwiastki to potęgi ułamków), ponieważ są nam potrzebne w tym procesie
Przejrzyj również zasady upraszczania wielomianów i form wymiernych, ponieważ będziemy musieli je uprościć.
Metoda 1 z 6: Idealne kwadraty
Krok 1. Uprość wszystkie pierwiastki zawierające idealne kwadraty
Idealny kwadrat jest iloczynem samej liczby, na przykład 81, co jest iloczynem 9 x 9. Aby uprościć idealny kwadrat, wystarczy usunąć pierwiastek kwadratowy i zapisać pierwiastek kwadratowy z liczby.
- Na przykład 121 jest idealnym kwadratem, ponieważ 11 x 11 równa się 121. Możesz więc uprościć pierwiastek (121) do 11, usuwając znak pierwiastka.
- Aby ułatwić ten krok, musisz zapamiętać pierwszych dwanaście idealnych kwadratów: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Krok 2. Uprość wszystkie korzenie zawierające idealne kostki
Idealny sześcian to iloczyn dwukrotnego pomnożenia przez samą liczbę, na przykład 27, co jest iloczynem 3 x 3 x 3. Aby uprościć pierwiastek idealnego sześcianu, wystarczy usunąć pierwiastek kwadratowy i zapisać pierwiastek kwadratowy liczby.
Na przykład 343 jest sześcianem doskonałym, ponieważ jest iloczynem 7 x 7 x 7. Zatem pierwiastek sześcienny 343 wynosi 7
Metoda 2 z 6: Konwersja ułamków na pierwiastki
Lub zmieniając na odwrót (czasami to pomaga), ale nie mieszaj ich w tym samym zdaniu co root(5) + 5^(3/2). Załóżmy, że chcesz użyć formy pierwiastka i użyjemy symboli root(n) jako pierwiastka kwadratowego i sqrt^3(n) jako pierwiastka sześciennego.
Krok 1. Weź jeden do potęgi ułamka i przekształć go w pierwiastek, na przykład x^(a/b) = pierwiastek do potęgi b x^a
Jeśli pierwiastek kwadratowy jest w postaci ułamka, przekonwertuj go na postać regularną. Na przykład pierwiastek kwadratowy (2/3) z 4 = pierwiastek(4)^3 = 2^3 = 8
Krok 2. Przekształć ujemne wykładniki na ułamki, na przykład x^-y = 1/x^y
Ta formuła dotyczy tylko stałych i racjonalnych wykładników. Jeśli masz do czynienia z formą taką jak 2^x, nie zmieniaj jej, nawet jeśli problem wskazuje, że x może być ułamkiem lub liczbą ujemną
Krok 3. Połącz to samo plemię i uprościć powstałą racjonalną formę.
Metoda 3 z 6: Eliminowanie frakcji w korzeniach
Standardowa formuła wymaga, aby pierwiastek był liczbą całkowitą.
Krok 1. Spójrz na liczbę pod pierwiastkiem kwadratowym, jeśli nadal zawiera ułamek
Jeśli nadal,…
Krok 2. Zmień na ułamek składający się z dwóch pierwiastków, używając pierwiastka tożsamościowego (a/b) = sqrt(a)/sqrt(b)
Nie używaj tej tożsamości, jeśli mianownik jest ujemny lub jeśli jest to zmienna, która może być ujemna. W takim przypadku najpierw uprość ułamek
Krok 3. Uprość każdy idealny kwadrat wyniku
To znaczy, przekonwertuj sqrt(5/4) na sqrt(5)/sqrt(4), a następnie uprość do sqrt(5)/2.
Krok 4. Użyj innych metod upraszczania, takich jak uproszczenie złożonych ułamków, łączenie równych warunków itp
Metoda 4 z 6: Łączenie pierwiastków mnożenia
Krok 1. Jeśli mnożysz jedną formę pierwiastka przez drugą, połącz je w jeden pierwiastek kwadratowy, korzystając ze wzoru:
sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(ab). Na przykład zmień root(2)*root(6) na root(12).
- Powyższa tożsamość, sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(ab), jest prawidłowa, jeśli liczba pod znakiem sqrt nie jest ujemna. Nie używaj tej formuły, gdy a i b są ujemne, ponieważ popełnisz błąd, ustawiając sqrt(-1)*sqrt(-1) = sqrt(1). Instrukcja po lewej jest równa -1 (lub niezdefiniowana, jeśli nie używasz liczb zespolonych), podczas gdy instrukcja po prawej to +1. Jeśli a i/lub b są ujemne, najpierw „zmień” znak, np. sqrt(-5) = i*sqrt(5). Jeśli forma pod znakiem korzenia jest zmienną, której znak jest nieznany z kontekstu lub może być dodatni lub ujemny, zostaw go na razie bez zmian. Możesz użyć bardziej ogólnej tożsamości, sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(sgn(a))*sqrt(sgn(b))*sqrt(|ab|), która dotyczy wszystkich liczb rzeczywistych a i b, ale zwykle ta formuła niewiele pomaga, ponieważ zwiększa złożoność korzystania z funkcji sgn (signum).
- Ta tożsamość jest ważna tylko wtedy, gdy formy pierwiastków mają ten sam wykładnik. Możesz pomnożyć różne pierwiastki kwadratowe, takie jak sqrt(5)*sqrt^3(7), konwertując je na ten sam pierwiastek kwadratowy. Aby to zrobić, tymczasowo zamień pierwiastek kwadratowy na ułamek: sqrt(5)*sqrt^3(7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Następnie użyj zasady mnożenia, aby pomnożyć te dwa przez pierwiastek kwadratowy z 6125.
Metoda 5 z 6: Usuwanie współczynnika kwadratowego z korzenia
Krok 1. Rozkład niedoskonałych korzeni na czynniki pierwsze
Czynnik to liczba, która po pomnożeniu przez inną liczbę tworzy liczbę - na przykład 5 i 4 to dwa czynniki liczby 20. Aby rozbić pierwiastki niedoskonałe, zapisz wszystkie czynniki tej liczby (lub jak najwięcej, jeśli liczba jest zbyt duża), dopóki nie znajdziesz idealnego kwadratu.
Na przykład spróbuj znaleźć wszystkie dzielniki 45: 1, 3, 5, 9, 15 i 45. 9 jest dzielnikiem 45 i jest również idealnym kwadratem (9=3^2). 9 x 5 = 45
Krok 2. Usuń wszystkie mnożniki, które są idealnymi kwadratami z pierwiastka kwadratowego
9 jest idealnym kwadratem, ponieważ jest iloczynem 3 x 3. Wyjmij 9 z pierwiastka i zastąp je 3 przed pierwiastkiem, pozostawiając 5 wewnątrz pierwiastka. Jeśli „wstawisz” 3 z powrotem do pierwiastka kwadratowego, pomnóż przez samo, aby uzyskać 9, a jeśli pomnożysz przez 5, zwróci 45. 3 pierwiastki z 5 to prosty sposób wyrażenia pierwiastka 45.
Oznacza to, że sqrt(45) = sqrt(9*5) = sqrt(9)*sqrt(5) = 3*sqrt(5)
Krok 3. Znajdź idealny kwadrat w zmiennej
Pierwiastek kwadratowy z kwadratu to |a|. Możesz uprościć to do „a”, jeśli znana zmienna jest dodatnia. Pierwiastek kwadratowy z a do potęgi 3 w rozbiciu na pierwiastek kwadratowy z a kwadrat razy a -- pamiętaj, że wykładniki sumują się, gdy mnożymy dwie liczby do potęgi a, więc a kwadrat razy a równa się a do trzecia moc.
Zatem idealny kwadrat w postaci sześcianu jest kwadratem
Krok 4. Usuń z pierwiastka kwadratowego zmienną zawierającą idealny kwadrat
Teraz weź kwadrat z pierwiastka kwadratowego i zmień go na |a|. Prosta forma pierwiastka a do potęgi 3 to |a| korzeń
Krok 5. Połącz równe warunki i uprość wszystkie pierwiastki wyników obliczeń
Metoda 6 z 6: Racjonalizuj mianownik
Krok 1. Standardowa formuła wymaga, aby mianownik był jak największą liczbą całkowitą (lub wielomianem, jeśli zawiera zmienną)
-
Jeśli mianownik składa się z jednego wyrazu pod znakiem pierwiastka, na przykład […]/root(5), pomnóż licznik i mianownik przez ten pierwiastek, aby uzyskać […]*sqrt(5)/sqrt(5)*sqrt (5) = […]*pierwiastek(5)/5.
W przypadku pierwiastków sześciennych lub wyższych pomnóż przez odpowiedni pierwiastek, aby mianownik był wymierny. Jeśli mianownik to root^3(5), pomnóż licznik i mianownik przez sqrt^3(5)^2
-
Jeśli mianownik polega na dodaniu lub odjęciu dwóch pierwiastków kwadratowych, takich jak sqrt(2) + sqrt(6), pomnóż kwantyfikator i mianownik przez ich sprzężenie, które ma tę samą formę, ale z przeciwnym znakiem. Wtedy […]/(root(2) + root(6)) = […](root(2)-root(6))/(root(2) + root(6))(root(2)-root (6)). Następnie użyj wzoru na tożsamość dla różnicy dwóch kwadratów [(a+b)(ab) = a^2-b^2], aby zracjonalizować mianownik, aby uprościć (sqrt(2) + sqrt(6))(sqrt(2)-sqrt(6)) = sqrt(2)^2 - sqrt(6)^2 = 2-6 = -4.
- Dotyczy to również mianowników takich jak 5 + sqrt(3), ponieważ wszystkie liczby całkowite są pierwiastkami innych liczb całkowitych. [1/(5 + sqrt(3)) = (5-sqrt(3))/(5 + sqrt(3))(5-sqrt(3)) = (5-sqrt(3))/(5^ 2-sqrt(3)^2) = (5-sqrt(3))/(25-3) = (5-sqrt(3))/22]
- Ta metoda dotyczy również dodawania pierwiastków, takich jak sqrt(5)-sqrt(6)+sqrt(7). Jeśli zgrupujesz je w (sqrt(5)-sqrt(6))+sqrt(7) i pomnożysz przez (sqrt(5)-sqrt(6))-sqrt(7), odpowiedź nie jest w formie wymiernej, ale nadal w a+b*root(30), gdzie a i b są już liczbami wymiernymi. Następnie powtórz proces z koniugatami a+b*sqrt(30) i (a+b*sqrt(30))(a-b*sqrt(30)) będzie racjonalny. W skrócie, jeśli możesz użyć tej sztuczki, aby usunąć jeden znak pierwiastka w mianowniku, możesz powtórzyć go wiele razy, aby usunąć wszystkie pierwiastki.
- Ta metoda może być również używana do mianowników zawierających pierwiastek wyższy, na przykład czwarty pierwiastek z 3 lub siódmy pierwiastek z 9. Pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika. Niestety nie możemy bezpośrednio uzyskać koniugatu mianownika i jest to trudne do zrobienia. Możemy znaleźć odpowiedź w podręczniku do algebry na temat teorii liczb, ale nie będę się w to wnikał.
Krok 2. Teraz mianownik ma formę wymierną, ale licznik wygląda na bałagan
Teraz wystarczy pomnożyć go przez koniugat mianownika. Śmiało i pomnóż tak, jak mnożymy wielomiany. Sprawdź, czy któreś z terminów można pominąć, uprościć lub połączyć, jeśli to możliwe.
Krok 3. Jeśli mianownik jest ujemną liczbą całkowitą, pomnóż licznik i mianownik przez -1, aby był dodatni
Porady
- Możesz wyszukiwać w Internecie witryny, które mogą pomóc w uproszczeniu formularzy głównych. Wystarczy wpisać równanie ze znakiem pierwiastka, a po naciśnięciu Enter pojawi się odpowiedź.
- W przypadku prostszych pytań możesz nie wykonać wszystkich kroków opisanych w tym artykule. W przypadku bardziej złożonych pytań może być konieczne wykonanie kilku kroków więcej niż raz. Wykonaj kilka „prostych” kroków i sprawdź, czy Twoja odpowiedź pasuje do standardowych kryteriów formułowania, które omówiliśmy wcześniej. Jeśli Twoja odpowiedź jest w standardowej formule, gotowe; ale jeśli nie, możesz sprawdzić jeden z powyższych kroków, aby to zrobić.
- Większość odniesień do „zalecanej formuły standardowej” dla postaci pierwiastków odnosi się również do liczb zespolonych (i = pierwiastek(-1)). Nawet jeśli instrukcja zawiera „i” zamiast rdzenia, unikaj mianowników, które nadal zawierają i, w jak największym stopniu.
- Niektóre instrukcje w tym artykule zakładają, że wszystkie pierwiastki są kwadratami. Te same ogólne zasady odnoszą się do pierwiastków wyższych mocy, chociaż niektóre części (szczególnie racjonalizacja mianownika) mogą być dość trudne w pracy. Sam zdecyduj, jaki kształt chcesz, na przykład sqr^3(4) lub sqr^3(2)^2. (Nie pamiętam, jaka forma jest zwykle sugerowana w podręcznikach).
- Niektóre instrukcje zawarte w tym artykule używają słowa „formuła standardowa” do opisania „formy regularnej”. Różnica polega na tym, że standardowa formuła akceptuje tylko formę 1+sqrt(2) lub sqrt(2)+1 i traktuje inne formy jako niestandardowe; Zwykła forma zakłada, że czytelnik jest wystarczająco inteligentny, aby dostrzec „podobieństwo” tych dwóch liczb, nawet jeśli nie są one identyczne na piśmie („taki sam” oznacza ich własność arytmetyczną (dodawanie przemienne), a nie ich własność algebraiczną (pierwiastek). (2) jest pierwiastkiem nieujemnym z x^2-2)). Mamy nadzieję, że czytelnicy zrozumieją lekką nieostrożność w posługiwaniu się tą terminologią.
- Jeśli któraś ze wskazówek wydaje się niejednoznaczna lub sprzeczna, wykonaj wszystkie kroki, które są jednoznaczne i spójne, a następnie wybierz preferowany kształt.
