Twierdzenie Pitagorasa opisuje długości boków trójkąta prostokątnego w elegancki i praktyczny sposób, więc twierdzenie to jest nadal szeroko stosowane. Twierdzenie to mówi, że dla dowolnego trójkąta prostokątnego suma kwadratów boków niekątowych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Innymi słowy, dla trójkąta prostokątnego o prostopadłych bokach a i b oraz przeciwprostokątnej c, a2 + b2 = c2.
Twierdzenie Pitagorasa jest jednym z podstawowych filarów geometrii elementarnej. Istnieje niezliczona ilość zastosowań wykorzystujących to twierdzenie, na przykład w celu ułatwienia znalezienia odległości między dwoma punktami na płaszczyźnie współrzędnych.
Krok
Metoda 1 z 2: Znajdowanie boków trójkąta prostokątnego
Krok 1. Upewnij się, że twój trójkąt jest trójkątem prostokątnym
Twierdzenie Pitagorasa dotyczy tylko trójkątów prostokątnych, więc przed kontynuowaniem bardzo ważne jest, aby upewnić się, że trójkąty odpowiadają właściwościom trójkątów prostokątnych. Na szczęście istnieje jeden czynnik, który może wskazywać, że twój trójkąt jest trójkątem prostokątnym. Twój trójkąt powinien mieć jeden kąt 90 stopni.
Jako znak, prostokątne trójkąty są często oznaczane małymi kwadratami, aby zaznaczyć kąty 90 stopni, bez użycia zakrzywionych „krzywych”. Poszukaj tego konkretnego znaku w rogu twojego trójkąta
Krok 2. Podaj zmienne a, b i c dla boków trójkąta
W twierdzeniu Pitagorasa zmienne aib reprezentują boki, które spotykają się w trójkącie prostokątnym, a zmienna c reprezentuje przeciwprostokątną – długi bok przeciwny do kąta prostego. Na początek zaznacz więc krótkie boki trójkąta zmiennymi aib (nie ma znaczenia, czy je zamienisz) i oznacz przeciwprostokątną zmienną c.
Krok 3. Zdecyduj, którą stronę trójkąta chcesz rozwiązać
Twierdzenie Pitagorasa pozwala matematykom znaleźć długość dowolnego boku trójkąta prostokątnego, o ile znają długości pozostałych dwóch boków. Określ, która strona jest nieznana - a, b i/lub c. Jeśli długość jednego z twoich boków jest nieznana, jesteś gotowy, aby przejść dalej.
- Na przykład wiemy, że długość przeciwprostokątnej trójkąta wynosi 5, a długość jednego z pozostałych boków wynosi 3, ale nie jesteśmy pewni długości trzeciego boku. W tym przypadku wiemy, że szukamy długości trzeciego boku, a ponieważ znamy długości pozostałych dwóch, możemy to rozwiązać! Będziemy pracować nad tym problemem w następujących krokach.
- Jeśli nie znasz długości dwóch boków, musisz znać jeden z boków, aby móc użyć twierdzenia Pitagorasa. Podstawowe funkcje trygonometryczne mogą ci pomóc, jeśli znasz jeden bok trójkąta, który nie jest pochylony.
Krok 4. Wstaw do równania dwustronne wartości, które już znasz
Wstaw długości boków trójkąta do równania a2 + b2 = c2. Pamiętaj, że a i b to boki nienachylone, a c to przeciwprostokątna.
W naszym przykładzie znamy długość jednego z boków i przeciwprostokątnej (3 i 5), więc równanie staje się 3² + b² = 5²
Krok 5. Kwadrat
Aby rozwiązać swoje równanie, zacznij od kwadratury znanych boków. Alternatywnie, jeśli uznasz to za łatwiejsze, możesz pozostawić długości boków do kwadratu i wyrównać je później.
-
W naszym przykładzie do kwadratu 3 i 5 otrzymamy
Krok 9. da
Krok 25.. Możemy zapisać równanie jako 9 + b² = 25.
Krok 6. Przenieś nieznaną zmienną na drugą stronę równania
W razie potrzeby użyj podstawowych operacji algebraicznych, aby nieznana zmienna przesunęła się na drugą stronę równania, a kwadrat pozostałych dwóch zmiennych na drugą stronę. Jeśli chcesz znaleźć długość przeciwprostokątnej, c jest już po drugiej stronie równania, więc nie musisz nic robić, aby ją przesunąć.
W naszym przykładzie obecne równanie to 9 + b² = 25. Aby przenieść b², odejmij obie strony równania przez 9, więc wynik to b² = 16
Krok 7. Pierwiastek kwadratowy z obu stron równania
Teraz tylko jedna zmienna jest do kwadratu po jednej stronie, a liczba po drugiej. Pierwiastek kwadratowy z obu stron, aby znaleźć długość nieznanego boku.
-
W naszym przykładzie b² = 16, biorąc pierwiastek kwadratowy z obu boków, daje b = 4. Zatem możemy powiedzieć, że długość nieznanego boku trójkąta wynosi
Krok 4..
Krok 8. Użyj twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć boki prawdziwego trójkąta prostokątnego
Powodem, dla którego twierdzenie Pitagorasa jest dziś szeroko stosowane, jest to, że można je zastosować w niezliczonych praktycznych sytuacjach. Naucz się znać trójkąty prostokątne w prawdziwym życiu – w każdej sytuacji, gdy dwa obiekty lub linie proste spotykają się pod kątem prostym, a trzeci obiekt lub linia łączy te dwa obiekty lub linie po przekątnej, możesz użyć twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć długość boku drugi, jeśli znane są długości pozostałych dwóch boków.
-
Spróbujmy prawdziwego przykładu, który jest nieco trudniejszy. Drabina opiera się o budynek. Odległość od dołu schodów do ściany wynosi 5 metrów. Wysokość schodów sięga 20 metrów. Jak długa jest drabina?
-
5 metrów od ściany i 20 metrów wysokości mówi nam o długości boków trójkąta. Ponieważ ściana i grunt (w założeniu) tworzą kąt prosty, a drabina jest oparta ukośnie o ścianę, układ ten można uznać za trójkąt prostokątny o długościach boków a = 5 i b = 20. Długość drabiny to przeciwprostokątna, więc wartość c nie jest znana. Użyjmy twierdzenia Pitagorasa:
- a² + b² = c²
- (5)² + (20)² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- pierwiastek(425) = c
- c = 20,6. Przybliżona długość drabiny wynosi 20,6 metra.
-
Metoda 2 z 2: Obliczanie odległości między dwoma punktami na płaszczyźnie X-Y
Krok 1. Znajdź dwa punkty na płaszczyźnie X-Y
Twierdzenie Pitagorasa można łatwo wykorzystać do obliczenia odległości w linii prostej między dwoma punktami na płaszczyźnie X-Y. Wszystko, co musisz wiedzieć, to współrzędne x i y dwóch punktów. Zazwyczaj współrzędne te są zapisywane razem w postaci (x, y).
Aby znaleźć odległość między tymi dwoma punktami, rozważymy każdy punkt jako jeden z nieprostych kątów trójkąta prostokątnego. Ułatwi to znalezienie długości boków a i b, a następnie obliczenie przeciwprostokątnej c, która jest odległością między tymi dwoma punktami
Krok 2. Narysuj swoje dwa punkty na obrazku
W zwykłej płaszczyźnie X-Y każdy punkt (x, y), x reprezentuje współrzędną poziomą, a y reprezentuje współrzędną pionową. Możesz znaleźć odległość między dwoma punktami bez rysowania jej, ale dzięki temu uzyskasz wizualny obraz, który możesz wykorzystać, aby sprawdzić, czy twoja odpowiedź jest poprawna.
Krok 3. Znajdź długość nienachylonego boku trójkąta
Używając dwóch punktów jako kątów trójkąta sąsiadującego z przeciwprostokątną, znajdź długości boków a i b trójkąta. Możesz to zrobić za pomocą obrazka lub formuły |x1 - x2| dla strony poziomej i |y1 - tak2| dla strony pionowej, z (x1, tak1) jako pierwszy punkt i (x2, tak2) jako drugi punkt.
-
Niech nasze dwa punkty to (6, 1) i (3, 5). Długość poziomego boku naszego trójkąta to:
- |x1 - x2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
Krok 3.
-
Długość boku pionowego to:
- |1 - tak2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
Krok 4.
- Tak więc w naszym prawym trójkącie bok a = 3 i bok b = 4.
Krok 4. Użyj twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć długość przeciwprostokątnej
Odległość między dwoma punktami to długość przeciwprostokątnej trójkąta, którego dwa boki właśnie znalazłeś. Użyj twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć przeciwprostokątną, gdzie a jest długością pierwszego boku, a b jest długością drugiego boku.
-
W naszym przykładzie używamy punktów (3, 5) i (6, 1) o długościach boków 3 i 4, więc możemy znaleźć przeciwprostokątną w następujący sposób:
-
- (3)²+(4)²= c²
- c= pierwiastek (9+16)
- c= pierwiastek(25)
-
c= 5. Odległość między (3, 5) i (6, 1) wynosi
Krok 5..
-
Porady
-
Przeciwprostokątna to zawsze:
- pod kątem prostym (bez dotykania kąta prostego)
- najdłuższy bok w trójkącie prostokątnym
- zwany c w twierdzeniu Pitagorasa
- pierwiastek (x) oznacza pierwiastek kwadratowy z x.
- Pamiętaj, aby zawsze sprawdzać swoje odpowiedzi. Jeśli Twoja odpowiedź wydaje się błędna, spróbuj ponownie i spróbuj ponownie.
- Jeśli trójkąt nie jest trójkątem prostokątnym, potrzebujesz dodatkowych informacji, a nie tylko długości pozostałych dwóch boków.
- Inny sposób sprawdzenia – najdłuższy bok jest przeciwległy do największego kąta, a najkrótszy do najmniejszego kąta.
- Liczby są kluczem do zapisania poprawnych wartości dla a, b i c. Jeśli pracujesz nad problemem fabularnym, najpierw zapisz go w formie obrazkowej.
- Jeśli znasz tylko długość jednej strony, twierdzenie Pitagorasa nie działa. Spróbuj użyć trygonometrii (sin, cos, tan) lub proporcji 30-60-90 / 45-45-90.
