Dwie ułamki są równoważne, jeśli mają tę samą wartość. Umiejętność zamiany ułamków na ich równoważne formy jest niezwykle ważną umiejętnością matematyczną, wymaganą we wszystkich formach matematyki, od podstawowej algebry do zaawansowanego rachunku różniczkowego. Ten artykuł przedstawi kilka sposobów obliczania równoważnych ułamków od podstawowego mnożenia i dzielenia do bardziej złożonych sposobów rozwiązywania równoważnych równań ułamkowych.
Krok
Metoda 1 z 5: Rozmieszczanie ułamków równoważnych
Krok 1. Pomnóż licznik i mianownik przez tę samą liczbę
Dwie różne, ale równoważne ułamki mają z definicji licznik i mianownik, które są wielokrotnością siebie. Innymi słowy, pomnożenie licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę da równoważne ułamki. Chociaż liczby w nowym ułamku będą różne, ułamki będą miały tę samą wartość.
- Na przykład, jeśli weźmiemy ułamek 4/8 i pomnożymy licznik i mianownik przez 2, otrzymamy (4×2)/(8×2) = 8/16. Te dwie frakcje są równoważne.
- (4×2)/(8×2) to właściwie to samo co 4/8×2/2. Pamiętaj, że mnożąc dwa ułamki, mnożymy prosto, czyli licznik przez licznik i mianownik przez mianownik.
- Zauważ, że 2/2 równa się 1, jeśli dokonasz dzielenia. Dlatego łatwiej jest zrozumieć, dlaczego 4/8 i 8/16 są równoważne, ponieważ pomnożenie 4/8 × (2/2) = pozostaje 4/8. W ten sam sposób to to samo, co powiedzenie 4/8 = 8/16.
- Każdy ułamek ma nieskończoną liczbę równoważnych ułamków. Możesz pomnożyć zarówno licznik, jak i mianownik przez dowolną liczbę całkowitą, niezależnie od wielkości lub małego, aby uzyskać równoważny ułamek.
Krok 2. Podziel licznik i mianownik przez tę samą liczbę
Podobnie jak mnożenie, dzielenia można również użyć do znalezienia nowego ułamka, który jest odpowiednikiem ułamka oryginalnego. Wystarczy podzielić licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę, aby uzyskać równoważny ułamek. Ten proces ma jedną wadę - ostatni ułamek musi zawierać liczby całkowite zarówno w liczniku, jak i mianowniku, aby był prawdziwy.
Na przykład spójrzmy wstecz na 4/8. Jeśli zamiast mnożyć, podzielimy licznik i mianownik przez 2, otrzymamy (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 i 4 są liczbami całkowitymi, więc te równoważne ułamki są prawdziwe
Metoda 2 z 5: Użycie podstawowego mnożenia do określenia równości
Krok 1. Znajdź liczbę, którą należy pomnożyć przez mniejszy mianownik, aby uzyskać większy mianownik
Wiele problemów dotyczących ułamków wiąże się z określeniem, czy dwa ułamki są równoważne. Obliczając tę liczbę, możesz zacząć zrównywać człony ułamkowe, aby określić równość.
- Na przykład ponownie użyj ułamków 4/8 i 8/16. Mniejszy mianownik to 8 i musimy pomnożyć liczbę przez 2, aby uzyskać większy mianownik, czyli 16. W tym przypadku liczba to 2.
- W przypadku trudniejszych liczb możesz podzielić większy mianownik przez mniejszy mianownik. W tym przypadku 16 jest dzielone przez 8, co nadal daje 2.
- Liczba nie zawsze jest liczbą całkowitą. Na przykład, jeśli mianowniki to 2 i 7, liczba to 3, 5.
Krok 2. Pomnóż licznik i mianownik ułamka, który ma mniejszy wyraz, przez liczbę z pierwszego kroku
Dwie różne, ale równoważne frakcje z definicji mają licznik i mianownik, które są wielokrotnościami siebie. Innymi słowy, pomnożenie licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę da ułamek równoważny. Chociaż liczby w tym nowym ułamku będą różne, te ułamki będą miały tę samą wartość.
Na przykład, jeśli użyjemy ułamka 4/8 z kroku pierwszego i pomnożymy licznik i mianownik przez zdefiniowaną wcześniej liczbę, czyli 2, otrzymamy (4×2)/(8×2) = 8/16. Ten wynik dowodzi, że te dwie frakcje są równoważne.
Metoda 3 z 5: Użycie dzielenia podstawowego do określenia równości
Krok 1. Policz każdy ułamek jako liczbę dziesiętną
W przypadku prostych ułamków bez zmiennych każdy ułamek można przedstawić jako liczbę dziesiętną, aby określić równość. Ponieważ każdy ułamek jest w rzeczywistości problemem dzielenia, jest to najprostszy sposób określenia równości.
- Na przykład użyj ułamka, którego użyliśmy wcześniej, 4/8. Ułamek 4/8 jest równoważny powiedzeniu 4 podzielone przez 8, co daje 4/8 = 0,5. Możesz również rozwiązać inny przykład, który wynosi 8/16 = 0,5. Bez względu na terminy w ułamku, ułamek jest równoważny jeśli obie liczby są takie same, gdy są przedstawiane w postaci dziesiętnej.
- Pamiętaj, że wyrażenia dziesiętne mogą mieć wiele cyfr, zanim równość będzie oczywista. Jako podstawowy przykład, 1/3 = 0,333 powtarza się, podczas gdy 3/10 = 0,3. Używając więcej niż jednej cyfry, widzimy, że te dwa ułamki nie są równoważne.
Krok 2. Podziel licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę, aby uzyskać ułamek równoważny
W przypadku bardziej złożonych frakcji metoda podziału wymaga dodatkowych kroków. Podczas mnożenia możesz podzielić licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę, aby uzyskać równoważny ułamek. Ten proces ma jedną wadę. Końcowy ułamek musi zawierać liczby całkowite w liczniku i mianowniku, aby był prawdziwy.
Na przykład spójrzmy wstecz na 4/8. Jeśli zamiast mnożyć, podzielimy licznik i mianownik przez 2, otrzymamy (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 i 4 są liczbami całkowitymi, więc te równoważne ułamki są prawdziwe.
Krok 3. Uprość ułamki do ich najprostszych terminów
Większość ułamków jest zwykle zapisywana w najprostszych słowach, a ułamki można przekonwertować do ich najprostszej postaci, dzieląc przez największy wspólny dzielnik (GCF). Ten krok jest wykonywany w tej samej logice, co pisanie równoważnych ułamków, konwertując je do tego samego mianownika, ale ta metoda próbuje uprościć każdy ułamek do najmniejszych możliwych wartości.
- Gdy ułamek ma najprostszą postać, licznik i mianownik mają najmniejsze możliwe wartości. Oba nie mogą być dzielone przez żadną liczbę całkowitą, aby uzyskać mniejszą wartość. Aby przekonwertować ułamek, który nie jest w swojej najprostszej postaci, na jego najprostszy odpowiednik, dzielimy licznik i mianownik przez ich największy wspólny dzielnik.
-
Największy wspólny dzielnik (GCF) licznika i mianownika to największa liczba, która dzieli je, dając wynik całkowity. Tak więc w naszym przykładzie 4/8, ponieważ
Krok 4. jest największą liczbą podzielną przez 4 i 8, podzielimy licznik i mianownik naszego ułamka przez 4, aby uzyskać najprostsze wyrazy. (4 4)/(8 4) = 1/2. W naszym innym przykładzie, 8/16, GCF wynosi 8, co również zwraca wartość 1/2 jako najprostsze wyrażenie ułamka.
Metoda 4 z 5: Używanie produktów krzyżowych do znajdowania zmiennych
Krok 1. Ułóż dwie frakcje tak, aby były sobie równe
Używamy mnożenia krzyżowego w zadaniach matematycznych, w których wiemy, że ułamki są równoważne, ale jedna z liczb została zastąpiona zmienną (zwykle x), którą musimy rozwiązać. W takich przypadkach wiemy, że te ułamki są równoważne, ponieważ są to jedyne wyrazy po drugiej stronie znaku równości, ale często sposób znalezienia zmiennej nie jest oczywisty. Na szczęście dzięki mnożeniu krzyżowemu rozwiązywanie tego typu problemów jest łatwe.
Krok 2. Weź dwie równoważne ułamki i pomnóż je przez kształt „X”
Innymi słowy, mnożysz licznik jednego ułamka przez mianownik innego ułamka i odwrotnie, a następnie układasz dwie odpowiedzi, aby dopasować się do siebie i rozwiązać.
Weźmy nasze dwa przykłady, 4/8 i 8/16. Żadna nie ma zmiennej, ale możemy udowodnić koncepcję, ponieważ wiemy już, że są równoważne. Mnożąc krzyż, otrzymujemy 4/16 = 8 x 8 lub 64 = 64, co jest prawdą. Jeśli te dwie liczby nie są równe, to ułamki nie są równoważne
Krok 3. Dodaj zmienne
Ponieważ mnożenie krzyżowe jest najłatwiejszym sposobem określenia równoważnych ułamków, gdy trzeba znaleźć zmienne, dodajmy zmienne.
-
Na przykład użyjmy równania 2/x = 10/13. Aby pomnożyć krzyżyk, mnożymy 2 przez 13 i 10 przez x, a następnie ustawiamy nasze odpowiedzi równe sobie:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. Stąd znalezienie odpowiedzi na naszą zmienną jest prostym problemem algebry. x = 26/10 = 2, 6, dzięki czemu początkowy równoważny ułamek 2/2, 6 = 10/13.
Krok 4. Użyj mnożenia krzyżowego dla ułamków wielu zmiennych lub wyrażeń zmiennych
Jedną z najlepszych rzeczy w mnożeniu krzyżowym jest to, że działa to w ten sam sposób, niezależnie od tego, czy pracujesz z dwoma prostymi ułamkami (jak powyżej), czy z bardziej złożonymi ułamkami. Na przykład, jeśli obie frakcje mają zmienne, wystarczy wyeliminować te zmienne w procesie rozwiązywania. Podobnie, jeśli licznik lub mianownik twojego ułamka ma wyrażenie zmienne (takie jak x + 1), po prostu „pomnóż” je za pomocą właściwości rozdzielności i rozwiąż jak zwykle.
-
Na przykład użyjmy równania ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). W tym przypadku, jak powyżej, rozwiążemy to przez iloczyn krzyżowy:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, to możemy uprościć ułamek, odejmując 2x z obu stron
- 2 = 2x + 12, następnie izolujemy zmienną, odejmując 12 z obu stron
- -10 = 2x i podziel przez 2, aby znaleźć x
- - 5 = x
Metoda 5 z 5: Używanie formuł kwadratowych do znajdowania zmiennych
Krok 1. Przekrocz dwie frakcje
W przypadku problemów z równością, które wymagają formuły kwadratowej, nadal zaczynamy od iloczynu krzyżowego. Jednak każdy produkt krzyżowy, który obejmuje pomnożenie wyrazów zmiennej przez wyrazy innej zmiennej, prawdopodobnie da w wyniku wyrażenie, którego nie da się łatwo rozwiązać za pomocą algebry. W takich przypadkach może być konieczne użycie technik, takich jak faktoring i/lub formuły kwadratowe.
-
Na przykład spójrzmy na równanie ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Najpierw pomnóżmy krzyż:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Krok 2. Napisz równanie jako równanie kwadratowe
W tej sekcji chcemy zapisać to równanie w postaci kwadratowej (ax2 + bx + c = 0), co robimy ustawiając równanie równe zero. W tym przypadku odejmujemy 12 z obu stron, aby uzyskać 2x2 - 14 = 0.
Niektóre wartości mogą być równe 0. Nawet jeśli 2x2 - 14 = 0 to najprostsza postać naszego równania, rzeczywiste równanie kwadratowe to 2x2 + 0x + (-14) = 0. Pomocne może być zapisanie na wstępie postaci równania kwadratowego, nawet jeśli niektóre wartości są równe 0.
Krok 3. Rozwiąż, wstawiając liczby z równania kwadratowego do wzoru kwadratowego
Wzór kwadratowy (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) pomoże nam znaleźć naszą wartość x w tej sekcji. Nie bój się długości formuły. Po prostu bierzesz wartości z równania kwadratowego w kroku drugim i umieszczasz je we właściwych miejscach przed ich rozwiązaniem.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a. W naszym równaniu 2x2 -14 = 0, a = 2, b = 0 i c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2(2)
- x = (+/- (112))/2(2)
- x = (+/- 10.58/4)
- x = +/- 2, 64
Krok 4. Sprawdź swoją odpowiedź, ponownie wprowadzając wartość x do swojego równania kwadratowego
Wstawiając obliczoną wartość x z powrotem do równania kwadratowego z kroku drugiego, możesz łatwo określić, czy masz poprawną odpowiedź. W tym przykładzie wstawisz 2,64 i -2,64 do oryginalnego równania kwadratowego.
Porady
- Konwersja ułamka na jego odpowiednik jest w rzeczywistości formą pomnożenia ułamka przez 1. Podczas konwersji 1/2 na 2/4 pomnożenie licznika i mianownika przez 2 jest takie samo, jak pomnożenie 1/2 przez 2/2, co daje 1.
-
W razie potrzeby przekształć liczbę mieszaną na wspólny ułamek, aby ułatwić konwersję. Oczywiście nie wszystkie ułamki, które napotkasz, będą tak proste, jak konwersja naszego przykładu 4/8 powyżej. Na przykład liczby mieszane (takie jak 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 itd.) mogą nieco skomplikować proces konwersji. Jeśli musisz przekonwertować liczbę mieszaną na ułamek wspólny, możesz to zrobić na dwa sposoby: konwertując liczbę mieszaną na ułamek wspólny, a następnie konwertując ją jak zwykle, lub zachowując formę liczb mieszanych i uzyskując odpowiedzi w postaci liczb mieszanych.
- Aby przekonwertować na ułamek wspólny, pomnóż składnik całkowity liczby mieszanej przez mianownik składnika ułamkowego, a następnie dodaj do licznika. Na przykład 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Następnie, jeśli chcesz, możesz to zmienić w razie potrzeby. Na przykład 5/3 × 2/2 = 10/6, która pozostaje równa 1 2/3.
- Jednak nie musimy konwertować go do wspólnego ułamka, jak powyżej. W przeciwnym razie zostawiamy składnik całkowity w spokoju, zmieniamy tylko składnik ułamkowy i dodajemy składnik całkowity bez zmian. Na przykład dla 3 4/16 widzimy tylko 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Tak więc, dodając nasze składowe całkowite, otrzymujemy nową liczbę mieszaną, 3 1/4.
Ostrzeżenie
- Mnożenie i dzielenie można wykorzystać do uzyskania równoważnych ułamków, ponieważ mnożenie i dzielenie z ułamkową formą liczby 1 (2/2, 3/3 itd.) daje odpowiedź, która z definicji jest równoważna oryginalnemu ułamkowi. Nie można stosować dodawania i odejmowania.
-
Mimo że mnożysz liczniki i mianowniki podczas mnożenia ułamków, nie dodajesz ani nie odejmujesz mianowników podczas dodawania lub odejmowania ułamków.
Na przykład powyżej wiemy, że 4/8 4/4 = 1/2. Jeśli zsumujemy 4/4, otrzymamy zupełnie inną odpowiedź. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 lub 3/2, nie są równe 4/8.
