W czasach, zanim wynaleziono kalkulatory, studenci i profesorowie musieli ręcznie obliczać pierwiastki kwadratowe. Opracowano kilka różnych sposobów przezwyciężenia tego trudnego procesu. Niektóre sposoby dają przybliżone oszacowanie, a inne dokładną wartość. Aby dowiedzieć się, jak znaleźć pierwiastek kwadratowy z liczby za pomocą prostych operacji, zapoznaj się z krokiem 1 poniżej, aby rozpocząć.
Krok
Metoda 1 z 2: Korzystanie z rozkładu na czynniki pierwsze
Krok 1. Podziel swoją liczbę na idealne kwadraty
Ta metoda wykorzystuje współczynniki liczby do znalezienia pierwiastka kwadratowego z liczby (w zależności od liczby odpowiedź może być dokładną liczbą lub bliskim przybliżeniem). Czynniki liczby to zbiór innych liczb, które po pomnożeniu dają tę liczbę. Na przykład, możesz powiedzieć, że dzielnikami 8 są 2 i 4, ponieważ 2 × 4 = 8. Tymczasem idealne kwadraty to liczby całkowite, które są iloczynem innych liczb całkowitych. Na przykład 25, 36 i 49 to idealne kwadraty, ponieważ mają one odpowiednio 5.2, 62i 72. Jak można się domyślić, idealne kwadraty to czynniki, które są również idealnymi kwadratami. Aby rozpocząć znajdowanie pierwiastka kwadratowego przez rozkład na czynniki pierwsze, najpierw spróbuj uprościć swoją liczbę do idealnych czynników kwadratowych.
- Posłużmy się przykładem. Chcemy ręcznie znaleźć pierwiastek kwadratowy z 400. Na początek podzielimy liczbę na idealne czynniki kwadratowe. Ponieważ 400 jest wielokrotnością 100, wiemy, że 400 jest podzielne przez 25 – idealny kwadrat. Dzięki szybkiemu podziałowi cieni okazuje się, że 400 podzielone przez 25 równa się 16. Przypadkowo 16 jest również idealnym kwadratem. Zatem idealne dzielniki kwadratowe 400 to 25 i 16 ponieważ 25 × 16 = 400.
- Możemy to zapisać jako: Sqrt(400) = Sqrt(25 × 16)
Krok 2. Znajdź pierwiastek kwadratowy swoich idealnych czynników kwadratowych
Własność mnożenia pierwiastka kwadratowego mówi, że dla dowolnej liczby aib Sqrt(a × b) = Sqrt(a) × Sqrt(b). Dzięki tej własności możemy teraz znaleźć pierwiastek kwadratowy z naszych idealnych czynników kwadratowych i pomnożyć je, aby uzyskać odpowiedź.
-
W naszym przykładzie znajdziemy pierwiastki kwadratowe 25 i 16. Zobacz poniżej:
- Korzeń (25 × 16)
- Korzeń(25) × Korzeń(16)
-
5 × 4 =
Krok 20.
Krok 3. Jeśli Twój numer nie może być idealnie rozłożony na czynniki, uprość odpowiedź do najprostszej formy
W prawdziwym życiu często liczby potrzebne do obliczenia pierwiastka kwadratowego nie są przyjemnymi liczbami całkowitymi z oczywistymi idealnymi czynnikami kwadratowymi, takimi jak 400. W takich przypadkach możliwe jest, że nie możemy znaleźć właściwej odpowiedzi jako liczby całkowitej. Jednak poprzez znalezienie jak największej liczby doskonałych współczynników kwadratowych można znaleźć odpowiedź w postaci pierwiastka kwadratowego, który jest mniejszy, prostszy i łatwiejszy do obliczenia. Aby to zrobić, zredukuj liczbę do kombinacji idealnych i niedoskonałych czynników kwadratowych, a następnie uprość.
-
Użyjmy pierwiastka kwadratowego z 147 jako przykładu. 147 nie jest iloczynem dwóch idealnych kwadratów, więc nie możemy uzyskać dokładnej wartości całkowitej jak powyżej. Jednak 147 jest iloczynem jednego idealnego kwadratu i kolejnej liczby – 49 i 3. Możemy wykorzystać te informacje do napisania naszej odpowiedzi w najprostszej formie w następujący sposób:
- Korzeń(147)
- = Korzeń (49 × 3)
- = Kwadrat(49) × Kwadrat(3)
- = 7 × Korzeń(3)
Krok 4. W razie potrzeby oszacuj
Mając pierwiastek kwadratowy w najprostszej postaci, zwykle dość łatwo jest uzyskać przybliżone oszacowanie odpowiedzi liczbowej, zgadując wartość pozostałego pierwiastka kwadratowego i mnożąc ją. Jednym ze sposobów na zgadywanie jest szukanie idealnych kwadratów, które są większe i mniejsze niż liczba wyrażona w pierwiastku kwadratowym. Zauważysz, że wartość dziesiętna liczby w pierwiastku kwadratowym znajduje się między tymi dwiema liczbami, więc możesz odgadnąć wartość między tymi dwiema liczbami.
-
Wróćmy do naszego przykładu. ponieważ 22 = 4 i 12 = 1, wiemy, że Root(3) wynosi od 1 do 2 – prawdopodobnie bliżej 2 niż 1. Szacujemy 1, 7, 7 × 1, 7 = 11, 9. Jeśli sprawdzimy naszą odpowiedź na kalkulatorze, zobaczymy, że nasza odpowiedź jest dość zbliżona do prawdziwej odpowiedzi, którą jest 12, 13.
Dotyczy to również większych liczb. Na przykład Root(35) może być przybliżony między 5 a 6 (prawdopodobnie bliżej 6). 52 = 25 i 62 = 36. 35 wynosi od 25 do 36, więc pierwiastek kwadratowy musi wynosić od 5 do 6. Ponieważ 35 to tylko jeden mniej niż 36, możemy śmiało powiedzieć, że pierwiastek kwadratowy jest nieco mniejszy niż 6. Sprawdzenie za pomocą kalkulatora daj nam odpowiedź około 5, 92 – mamy rację.
Krok 5. Alternatywnie, jako pierwszy krok zmniejsz liczbę do najmniej powszechnych czynników
Znalezienie dzielników idealnych kwadratów nie jest konieczne, jeśli możesz łatwo określić czynniki pierwsze liczby (czynniki, które są również liczbami pierwszymi). Wpisz swój numer w kategoriach najmniej wspólnych czynników. Następnie znajdź pary liczb pierwszych, które pasują do twoich czynników. Kiedy znajdziesz dwa takie same czynniki pierwsze, usuń te dwie liczby z pierwiastka kwadratowego i umieść jedną z tych liczb poza pierwiastkiem.
-
Na przykład znajdź pierwiastek kwadratowy z 45 za pomocą tej metody. Wiemy, że 45 × 5 i wiemy, że pod 9 = 3 × 3. W ten sposób możemy zapisać nasz pierwiastek kwadratowy w kategoriach takich czynników: Sqrt(3 × 3 × 5). Po prostu usuń obie trójki i umieść jedną 3 poza pierwiastkiem kwadratowym, aby uprościć pierwiastek kwadratowy do najprostszej postaci: (3) Korzeń (5).
Stąd będzie nam łatwo oszacować.
-
Jako ostatni przykładowy problem spróbujmy znaleźć pierwiastek kwadratowy z 88:
- Korzeń(88)
- = Korzeń (2 × 44)
- = Korzeń (2 × 4 × 11)
- = Korzeń (2 × 2 × 2 × 11). Mamy jakieś 2 w naszym pierwiastku kwadratowym. Ponieważ 2 jest liczbą pierwszą, możemy usunąć parę dwójek i umieścić jedną z nich poza pierwiastkiem kwadratowym.
-
= Nasz pierwiastek kwadratowy w najprostszej postaci to (2) Sqrt(2 × 11) lub (2) Korzeń(2) Korzeń (11).
Stąd możemy oszacować Sqrt(2) i Sqrt(11) i znaleźć przybliżoną odpowiedź, jak chcemy.
Metoda 2 z 2: Ręczne znajdowanie pierwiastka kwadratowego
Korzystanie z algorytmu długiego dzielenia
Krok 1. Rozdziel cyfry swojego numeru na pary
Ta metoda wykorzystuje proces podobny do dzielenia długiego, aby znaleźć dokładny pierwiastek kwadratowy cyfra po cyfrze. Chociaż nie jest to obowiązkowe, przeprowadzenie tego procesu może być łatwiejsze, jeśli wizualnie zorganizujesz swoje miejsce pracy i swoje liczby w łatwe do wykonania części. Najpierw narysuj pionową linię dzielącą obszar roboczy na dwie części, a następnie narysuj krótszą poziomą linię w prawym górnym rogu, aby podzielić prawą część na mniejszą część górną i większą część dolną. Następnie podziel swoje cyfry na pary, zaczynając od przecinka dziesiętnego. Na przykład, zgodnie z tą regułą, 79 520 789 182, 47897 staje się „7 95 20 78 91 82. 47 89 70”. Wpisz swój numer w lewym górnym rogu.
Na przykład spróbujmy obliczyć pierwiastek kwadratowy z 780,14. Narysuj dwie linie, aby podzielić miejsce pracy jak powyżej i napisz „7 80,14” w lewym górnym rogu. Nie ma znaczenia, czy liczba po lewej stronie to pojedyncza liczba, a nie para liczb. Napisz swoją odpowiedź (pierwiastek kwadratowy 780, 14) w prawym górnym rogu
Krok 2. Znajdź największą liczbę całkowitą, której wartość kwadratowa jest mniejsza lub równa liczbie (lub parze liczb) po lewej stronie
Zacznij od skrajnej lewej strony swojego numeru, zarówno par liczb, jak i pojedynczych liczb. Znajdź największy idealny kwadrat, który jest mniejszy lub równy tej liczbie, a następnie znajdź pierwiastek kwadratowy z tego idealnego kwadratu. Ta liczba to n. Napisz n w prawym górnym rogu i kwadrat n w prawym dolnym kwadrancie.
W naszym przykładzie skrajna lewa strona to liczba 7. Ponieważ wiemy, że 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, możemy powiedzieć, że n = 2, ponieważ 2 jest największą liczbą całkowitą, której wartość kwadratowa jest mniejsza lub równa 7. Zapisz 2 w prawym górnym kwadrancie. To pierwsza cyfra naszej odpowiedzi. Wpisz 4 (wartość kwadratowa 2) w prawym dolnym kwadrancie. Ta liczba jest ważna dla następnego kroku.
Krok 3. Odejmij właśnie obliczoną liczbę od pary znajdującej się najbardziej po lewej stronie
Podobnie jak w przypadku dzielenia długiego, następnym krokiem jest odjęcie wartości kwadratu, który właśnie znaleźliśmy, od części, którą właśnie przeanalizowaliśmy. Wpisz tę liczbę pod pierwszą częścią i odejmij ją, wpisując poniżej swoją odpowiedź.
-
W naszym przykładzie zapiszemy 4 do 7, a następnie odejmiemy. To odejmowanie daje odpowiedź
Krok 3..
Krok 4. Upuść następną parę
Przesuń w dół następną część liczby, dla której szukasz pierwiastka kwadratowego, obok właśnie znalezionej wartości odejmowania. Następnie pomnóż liczbę w prawym górnym kwadrancie przez dwa i wpisz odpowiedź w prawym dolnym kwadrancie. Obok właśnie zapisanej liczby zostaw miejsce na zadanie z mnożenia, które wykonasz w następnym kroku, wpisując '"_×_="'.
W naszym przykładzie następną parą naszych liczb jest „80”. Wpisz „80” obok 3 w lewej ćwiartce. Następnie pomnóż liczbę w prawym górnym rogu przez dwa. Ta liczba to 2, więc 2 × 2 = 4. Napisz „4” w prawym dolnym kwadrancie, a następnie _×_=.
Krok 5. Wypełnij puste miejsca w prawej ćwiartce
Musisz wypełnić wszystkie puste miejsca w prawym kwadrancie tą samą liczbą całkowitą. Ta liczba całkowita musi być największą liczbą całkowitą, która powoduje, że iloczyn w prawej ćwiartce jest mniejszy lub równy liczbie znajdującej się obecnie po lewej stronie.
W naszym przykładzie wypełniamy puste pola liczbą 8, co daje 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384. Ta wartość jest większa niż 384. Zatem 8 jest za duże, ale 7 może działać. Wpisz 7 w puste miejsca i rozwiąż: 4(7) × 7 = 329. 7 to poprawna liczba, ponieważ 329 jest mniejsze niż 380. Wpisz 7 w prawym górnym kwadrancie. To jest druga cyfra pierwiastka kwadratowego z 780, 14
Krok 6. Odejmij właśnie obliczoną liczbę od liczby po lewej stronie
Kontynuuj z łańcuchem odejmowania, stosując metodę dzielenia długiego. Weź iloczyn problemu z prawej ćwiartki i odejmij go od liczby, która jest teraz po lewej, podczas zapisywania odpowiedzi poniżej.
W naszym przykładzie odejmiemy 329 od 380, co daje wynik 51.
Krok 7. Powtórz krok 4
Wyprowadź następną część liczby, dla której szukasz pierwiastka kwadratowego. Kiedy osiągniesz punkt dziesiętny w swojej liczbie, wpisz go w swojej odpowiedzi w prawym górnym kwadrancie. Następnie pomnóż liczbę w prawym górnym rogu przez 2 i zapisz ją obok pustego zadania mnożenia („_ × _”) jak powyżej.
W naszym przykładzie, ponieważ mamy teraz do czynienia z kropką dziesiętną w 780, 14, zapisz kropkę dziesiętną po naszej aktualnej odpowiedzi w prawym górnym rogu. Następnie opuść następną parę (14) w lewej ćwiartce. Dwukrotna liczba w prawym górnym rogu (27) równa się 54, więc wpisz „54 _×_=” w prawym dolnym kwadrancie
Krok 8. Powtórz kroki 5 i 6
Znajdź największą cyfrę, aby wypełnić puste pola po prawej stronie, co daje odpowiedź mniejszą lub równą liczbie aktualnie po lewej stronie. Następnie rozwiąż problem.
W naszym przykładzie 549 × 9 = 4941, co jest mniejsze lub równe liczbie po lewej stronie (5114). 549 × 10 = 5490 jest za duże, więc 9 to Twoja odpowiedź. Wpisz 9 jako następną cyfrę w prawym górnym kwadrancie i odejmij iloczyn od liczby po lewej: 5114 minus 4941 daje 173
Krok 9. Aby kontynuować liczenie cyfr, obniż parę zer po lewej stronie i powtórz kroki 4, 5 i 6
Aby uzyskać większą dokładność, kontynuuj ten proces, aby znaleźć setki, tysiące i więcej miejsc w swojej odpowiedzi. Kontynuuj używanie tego cyklu, aż znajdziesz żądane miejsce dziesiętne.
Zrozumienie procesu
Krok 1. Wyobraź sobie liczbę, z której obliczyłeś pierwiastek kwadratowy, jako pole S kwadratu
Ponieważ powierzchnia kwadratu to P2 gdzie P jest długością jednego z boków, to próbując znaleźć pierwiastek kwadratowy z liczby, w rzeczywistości próbujesz obliczyć długość P tego boku kwadratu.
Krok 2. Określ zmienne literowe dla każdej cyfry twojej odpowiedzi
Ustaw zmienną A jako pierwszą cyfrę P (pierwiastek kwadratowy, który próbujemy obliczyć). B będzie drugą cyfrą, C trzecią i tak dalej.
Krok 3. Określ zmienne literowe dla każdej części numeru początkowego
Ustaw zmienną Sa dla pierwszej pary cyfr w S (Twoja wartość początkowa), Sb dla drugiej pary cyfr itp.
Krok 4. Zrozum związek między tą metodą a długim dzieleniem
Ta metoda znajdowania pierwiastka kwadratowego jest w zasadzie problemem z dzieleniem długim, który dzieli twoją początkową liczbę przez pierwiastek kwadratowy, co daje pierwiastek kwadratowy z odpowiedzi. Podobnie jak w przypadku problemu z długim dzieleniem, w każdym kroku interesuje Cię tylko następna cyfra. W ten sposób interesują Cię tylko kolejne dwie cyfry w każdym kroku (która jest następną cyfrą w każdym kroku dla pierwiastka kwadratowego).
Krok 5. Znajdź największą liczbę, której wartość kwadratowa jest mniejsza lub równa Sa.
Pierwsza cyfra A w naszej odpowiedzi to największa liczba całkowita, której wartość kwadratowa nie przekracza Sa (tzn. A tak, że A² Sa < (A+1)²). W naszym przykładzie Sa = 7 i 2² 7 < 3², więc A = 2.
Zauważ, że na przykład, jeśli chcesz podzielić 88962 przez 7 za pomocą dzielenia długiego, pierwsze kroki są prawie takie same: zobaczysz pierwszą cyfrę 88962 (czyli 8) i szukasz największej cyfry co po pomnożeniu przez 7 jest mniejsze lub równe 8 Zasadniczo szukamy d tak, że 7×d 8 < 7×(d+1). W takim przypadku d będzie równe 1
Krok 6. Wyobraź sobie wartość kwadratu, nad którym obszarem masz zamiar rozpocząć pracę
Twoja odpowiedź, pierwiastek kwadratowy z twojego numeru początkowego, to P, które opisuje długość kwadratu o polu S (twój numer początkowy). Twoje oceny dla A, B, C reprezentują cyfry w wartości P. Innym sposobem powiedzenia tego jest 10A + B = P (dla odpowiedzi dwucyfrowej), 100A + 10B + C = P (dla trzycyfrowej odpowiedzi). cyfra odpowiedzi) itp.
W naszym przykładzie (10A+B)² = P2 = S = 100A² + 2×10A×B + B². Pamiętaj, że 10A+B reprezentuje naszą odpowiedź, P, z B na pozycji jedności i A na pozycji dziesiątek. Na przykład, gdy A=1 i B=2, wtedy 10A+B równa się 12. (10A+B)² to całkowita powierzchnia placu, natomiast 100A² to powierzchnia największego w nim placu, B² to powierzchnia najmniejszego w nim kwadratu, a 10A×B to powierzchnia dwóch pozostałych prostokątów. Wykonując ten długi i zawiły proces, znajdujemy całkowitą powierzchnię kwadratu, sumując powierzchnie kwadratów i prostokątów w środku.
Krok 7. Odejmij A² od Sa.
Zmniejsz jedną parę cyfr (Sb) S. Wartość Sa Sb blisko całkowitej powierzchni kwadratu, którą właśnie użyłeś do odjęcia większego kwadratu wewnętrznego. Resztę można traktować jako liczbę N1, którą otrzymaliśmy w kroku 4 (w naszym przykładzie N1 = 380). N1 równa się 2×:10A×B + B² (powierzchnia dwóch prostokątów plus powierzchnia mniejszego kwadratu).
Krok 8. Znajdź N1 = 2×10A×B + B², co jest również zapisane jako N1 = (2×10A + B) × B
W naszym przykładzie znasz już N1 (380) i A(2), więc musisz znaleźć B. B najprawdopodobniej nie jest liczbą całkowitą, więc naprawdę musisz znaleźć największą liczbę całkowitą B taką, że (2×10A + B) × B N1. Masz więc: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).)
Krok 9. Zakończ
Aby rozwiązać to równanie, pomnóż A przez 2, przesuń wynik na pozycję dziesiątek (odpowiednik pomnożenia przez 10), umieść B na pozycji jedności i pomnóż liczbę przez B. Innymi słowy, rozwiąż (2×10A + B) × B. Dokładnie to robisz, wpisując „N_×_=” (przy N=2×A) w prawym dolnym kwadrancie w kroku 4. W kroku 5 znajdujesz największą liczbę całkowitą B, która odpowiada liczba pod nim tak, że (2× 10A + B) × B N1.
Krok 10. Odejmij pole (2×10A + B) × B od całkowitej powierzchni
To odejmowanie daje w wyniku pole S-(10A+B)², które nie zostało obliczone (i które zostanie użyte do obliczenia następnej cyfry w ten sam sposób).
Krok 11. Aby obliczyć następną cyfrę, C, powtórz proces
Opuść następną parę (SC) z S, aby uzyskać N2 po lewej stronie i znajdź największe C, tak aby mieć (2×10×(10A+B)+C) × C N2 (co odpowiada dwucyfrowemu zapisowi dwucyfrowej liczby „AB”, a następnie "_× _=". Znajdź największą pasującą cyfrę w pustych miejscach, która daje odpowiedź mniejszą lub równą N2, jak poprzednio.
Porady
- Przesunięcie punktu dziesiętnego o wielokrotność dwóch cyfr w liczbie (wielokrotność 100) oznacza przesunięcie punktu dziesiętnego o wielokrotność jednej cyfry w pierwiastku kwadratowym (wielokrotność 10).
- W tym przykładzie 1,73 można uznać za „resztę”: 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
- Ta metoda może być użyta dla dowolnej podstawy, nie tylko podstawy 10 (dziesiętnej).
- Możesz skorzystać z rachunku różniczkowego, który jest dla Ciebie wygodniejszy. Niektórzy piszą wynik nad początkową liczbą.
- Alternatywnym sposobem wykorzystania ułamków powtarzalnych jest przestrzeganie tego wzoru: z = (x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Na przykład, aby obliczyć pierwiastek kwadratowy z 780, 14, liczba całkowita, której kwadratowa wartość jest najbliższa 780, 14 wynosi 28, czyli z=780, 14, x=28 i y=-3, 86. Wprowadzanie wartości a obliczanie szacunków tylko dla x + y/(2x) daje (w najprostszym ujęciu) 78207/20800 lub około 27,931(1); w następnej kadencji, 4374188/156607 lub około 27, 930986(5). Każdy termin dodaje około 3 miejsca po przecinku do dokładności poprzedniej liczby miejsc po przecinku.
