3 sposoby rozwiązywania logarytmów

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-15 08:21

Logarytmy mogą wydawać się trudne do rozwiązania, ale rozwiązywanie problemów logarytmicznych jest w rzeczywistości o wiele prostsze niż mogłoby się wydawać, ponieważ logarytmy to po prostu inny sposób pisania równań wykładniczych. Po przepisaniu logarytmu w bardziej znajomej formie powinieneś być w stanie rozwiązać go tak, jak każde inne zwykłe równanie wykładnicze.

Krok

Zanim zaczniesz: Naucz się wyrażać równania logarytmiczne wykładniczo

Krok 1. Zrozum definicję logarytmu

Zanim rozwiążesz równania logarytmiczne, musisz zrozumieć, że logarytmy to w zasadzie inny sposób pisania równań wykładniczych. Dokładna definicja jest następująca:

• y = log_b (x)

  Wtedy i tylko wtedy gdy: b^tak = x

• Pamiętaj, że b jest podstawą logarytmu. Ta wartość musi spełniać następujące warunki:

  • b > 0
  • b nie jest równe 1
• W równaniu y jest wykładnikiem, a x jest wynikiem obliczenia wykładnika poszukiwanego w logarytmie.

Krok 2. Rozważ równanie logarytmiczne

Patrząc na równanie problemu, szukaj podstawy (b), wykładnika (y) i wykładnika (x).

• Przykład:

  5 = log₄(1024)

  • b = 4
  • y = 5
  • x = 1024

Krok 3. Przenieś wykładnik na jedną stronę równania

Przesuń wartość swojej potęgi, x, na jedną stronę znaku równości.

• Na przykład:

  1024 = ?

Krok 4. Wprowadź wartość wykładnika do jego podstawy

Twoja wartość bazowa, b, musi zostać pomnożona przez taką samą liczbę wartości reprezentowanych przez wykładnik y.

• Przykład:

  4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?

  Równanie to można również zapisać jako: 4⁵

Krok 5. Przepisz swoją ostateczną odpowiedź

Teraz powinieneś być w stanie przepisać równanie logarytmiczne jako równanie wykładnicze. Dokładnie sprawdź swoją odpowiedź, upewniając się, że obie strony równania mają tę samą wartość.

• Przykład:

  4⁵ = 1024

Metoda 1 z 3: Znalezienie wartości X

Krok 1. Podziel równanie logarytmiczne

Wykonaj obliczenia odwrotne, aby przenieść część równania, która nie jest równaniem logarytmicznym na drugą stronę.

• Przykład:

  Dziennik₃(x + 5) + 6 = 10

  • Dziennik₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
  • Dziennik₃(x + 5) = 4

Krok 2. Przepisz to równanie w formie wykładniczej

Wykorzystaj to, co już wiesz o związku między równaniami logarytmicznymi a równaniami wykładniczymi, i przepisz je w formie wykładniczej, która jest prostsza i łatwiejsza do rozwiązania.

• Przykład:

  Dziennik₃(x + 5) = 4

  • Porównaj to równanie z definicją [ y = log_b (x)], to można wywnioskować, że: y = 4; b = 3; x = x + 5
  • Przepisz równanie jako: b^tak = x
  • 3⁴ = x + 5

Krok 3. Znajdź wartość x

Po uproszczeniu tego problemu do podstawowego równania wykładniczego, powinieneś być w stanie rozwiązać go tak jak każde inne równanie wykładnicze.

• Przykład:

  3⁴ = x + 5

  • 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
  • 81 = x + 5
  • 81 - 5 = x + 5 - 5
  • 76 = x

Krok 4. Zapisz swoją ostateczną odpowiedź

Ostateczna odpowiedź, jaką otrzymasz, gdy znajdziesz wartość x, jest odpowiedzią na twój pierwotny problem logarytmiczny.

• Przykład:

  x = 76

Metoda 2 z 3: Obliczanie wartości X za pomocą logarytmicznej reguły dodawania

Krok 1. Zapoznaj się z zasadami dodawania logarytmów

Pierwsza właściwość logarytmów znana jako „reguła dodawania logarytmów” mówi, że logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów dwóch wartości. Zapisz tę regułę w postaci równania:

• Dziennik_b(m * n) = log_b(m) + log_b(n)

• Pamiętaj, że muszą obowiązywać następujące zasady:

  • m > 0
  • n > 0

Krok 2. Podziel logarytm na jedną stronę równania

Użyj obliczeń odwrotnych, aby przenieść części równania tak, aby całe równanie logarytmiczne leżało po jednej stronie, a pozostałe składniki po drugiej stronie.

• Przykład:

  Dziennik₄(x + 6) = 2 - log₄(x)

  • Dziennik₄(x + 6) + log₄(x) = 2 - log₄(x) + log₄(x)
  • Dziennik₄(x + 6) + log₄(x) = 2

Krok 3. Zastosuj regułę dodawania logarytmicznego

Jeśli w równaniu sumują się dwa logarytmy, możesz użyć reguły logarytmów, aby je połączyć.

• Przykład:

  Dziennik₄(x + 6) + log₄(x) = 2

  • Dziennik₄[(x + 6) * x] = 2
  • Dziennik₄(x² + 6x) = 2

Krok 4. Przepisz to równanie w formie wykładniczej

Pamiętaj, że logarytmy to tylko kolejny sposób pisania równań wykładniczych. Użyj definicji logarytmicznej, aby przepisać równanie do postaci, którą można rozwiązać.

• Przykład:

  Dziennik₄(x² + 6x) = 2

  • Porównaj to równanie z definicją [ y = log_b (x)] można wywnioskować, że: y = 2; b = 4; x = x² + 6x
  • Przepisz to równanie tak, aby: b^tak = x
  • 4² = x² + 6x

Krok 5. Znajdź wartość x

Gdy to równanie zmieni się w zwykłe równanie wykładnicze, skorzystaj z tego, co wiesz o równaniach wykładniczych, aby znaleźć wartość x w normalny sposób.

• Przykład:

  4² = x² + 6x

  • 4 * 4 = x² + 6x
  • 16 = x² + 6x
  • 16 - 16 = x² + 6x - 16
  • 0 = x² + 6x - 16
  • 0 = (x - 2) * (x + 8)
  • x = 2; x = -8

Krok 6. Zapisz swoje odpowiedzi

W tym momencie powinieneś mieć odpowiedź na równanie. Napisz odpowiedź w odpowiednim miejscu.

• Przykład:

  x = 2

• Pamiętaj, że nie możesz dać negatywnej odpowiedzi na logarytm, więc możesz pozbyć się odpowiedzi x - 8.

Metoda 3 z 3: Obliczanie wartości X za pomocą reguły dzielenia logarytmicznego

Krok 1. Zrozum zasadę dzielenia logarytmicznego

W oparciu o drugą właściwość logarytmów, znaną jako „reguła dzielenia logarytmicznego”, logarytm dzielenia można przepisać odejmując logarytm mianownika od licznika. Zapisz to równanie w następujący sposób:

• Dziennik_b(m/n) = log_b(m) - log_b(n)

• Pamiętaj, że muszą obowiązywać następujące zasady:

  • m > 0
  • n > 0

Krok 2. Podziel równanie logarytmiczne na jedną stronę

Zanim rozwiążesz równania logarytmiczne, musisz przenieść wszystkie równania logarytmiczne na jedną stronę znaku równości. Druga połowa równania musi zostać przeniesiona na drugą stronę. Użyj obliczeń odwrotnych, aby go rozwiązać.

• Przykład:

  Dziennik₃(x + 6) = 2 + log₃(x-2)

  • Dziennik₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - log₃(x-2)
  • Dziennik₃(x + 6) - log₃(x-2) = 2

Krok 3. Zastosuj zasadę dzielenia logarytmicznego

Jeśli w równaniu są dwa logarytmy i jeden z nich musi zostać odjęty od drugiego, możesz i powinieneś użyć reguły dzielenia, aby połączyć te dwa logarytmy.

• Przykład:

  Dziennik₃(x + 6) - log₃(x-2) = 2

  Dziennik₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

Krok 4. Napisz to równanie w formie wykładniczej

Gdy pozostanie tylko jedno równanie logarytmiczne, użyj definicji logarytmicznej, aby zapisać je w formie wykładniczej, eliminując logarytm.

• Przykład:

  Dziennik₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

  • Porównaj to równanie z definicją [ y = log_b (x)] można stwierdzić, że: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
  • Przepisz równanie jako: b^tak = x
  • 3² = (x + 6) / (x - 2)

Krok 5. Znajdź wartość x

Gdy równanie jest wykładnicze, powinieneś być w stanie znaleźć wartość x w normalny sposób.

• Przykład:

  3² = (x + 6) / (x - 2)

  • 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)
  • 9x - 18 = x + 6
  • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
  • 8x = 24
  • 8x / 8 = 24 / 8
  • x = 3

Krok 6. Zapisz swoją ostateczną odpowiedź

Zbadaj i dokładnie sprawdź swoje kroki obliczeniowe. Gdy jesteś pewien, że odpowiedź jest poprawna, zapisz ją.

• Przykład:

  x = 3