W rachunku różniczkowym punktem przegięcia jest punkt na krzywej, w którym krzywa zmienia znak (z dodatniego na ujemny lub z ujemnego na dodatni). Jest używany w różnych dziedzinach, w tym w inżynierii, ekonomii i statystyce, w celu określenia fundamentalnych zmian w danych. Jeśli chcesz znaleźć punkt przegięcia krzywej, przejdź do kroku 1.
Krok
Metoda 1 z 3: Zrozumienie punktów przegięcia
Krok 1. Zrozum funkcję wklęsłą
Aby zrozumieć punkt przegięcia, musisz rozróżnić funkcje wklęsłe i wypukłe. Funkcja wklęsła to funkcja, w której linia łącząca dwa punkty na wykresie nigdy nie znajduje się nad wykresem.
Krok 2. Zrozum funkcję wypukłą
Funkcja wypukła jest zasadniczo przeciwieństwem funkcji wypukłej: to znaczy funkcji, w której linia łącząca dwa punkty na wykresie nigdy nie znajduje się poniżej wykresu.
Krok 3. Zrozum podstawy funkcji
Podstawą funkcji jest punkt, w którym funkcja jest równa zero.
Jeśli zamierzasz narysować funkcję, bazami są punkty, w których funkcja przecina oś x
Metoda 2 z 3: Znajdowanie pochodnej funkcji
Krok 1. Znajdź pierwszą pochodną swojej funkcji
Zanim znajdziesz punkt przegięcia, musisz znaleźć pochodną swojej funkcji. Pochodną funkcji podstawowej można znaleźć w każdej książce rachunku różniczkowego; Musisz się ich nauczyć, zanim będziesz mógł przejść do bardziej skomplikowanych prac. Pierwsza pochodna jest zapisana jako f '(x). Dla wyrażenia wielomianowego postaci axp + bx(p−1) + cx + d, pierwsza pochodna to apx(p−1) + b(p 1)x(p−2) + c.
-
Aby to zilustrować, załóżmy, że musisz znaleźć punkt przegięcia funkcji f(x) = x3 +2x−1. Oblicz pierwszą pochodną funkcji w ten sposób:
f (x) = (x3 + 2x 1)′ = (x3)′ + (2x)′ (1)′ = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
Krok 2. Znajdź drugą pochodną swojej funkcji
Druga pochodna jest pierwszą pochodną pierwszej pochodnej funkcji, zapisaną jako f(x).
-
W powyższym przykładzie obliczenie drugiej pochodnej funkcji wyglądałoby tak:
f (x) = (3x2 + 2)′ = 2 × 3 × x + 0 = 6x
Krok 3. Uczyń drugą pochodną równą zero
Ustaw drugą pochodną na zero i rozwiąż równanie. Twoja odpowiedź jest możliwym punktem przegięcia.
-
W powyższym przykładzie Twoje obliczenia będą wyglądać tak:
f(x) = 0
6x = 0
x=0
Krok 4. Znajdź trzecią pochodną swojej funkcji
Aby sprawdzić, czy twoja odpowiedź rzeczywiście jest punktem przegięcia, znajdź trzecią pochodną, która jest pierwszą pochodną drugiej pochodnej funkcji, zapisanej jako f (x).
-
W powyższym przykładzie Twoje obliczenia będą wyglądać tak:
f(x) = (6x)′ = 6
Metoda 3 z 3: Znajdowanie punktów przegięcia
Krok 1. Sprawdź swoją trzecią pochodną
Standardowa zasada sprawdzania możliwych punktów przegięcia jest następująca: „Jeśli trzecia pochodna nie jest równa zeru, f (x) =/0, możliwym punktem przegięcia jest w rzeczywistości punkt przegięcia”. Sprawdź swoją trzecią pochodną. Jeśli nie jest równe zero, to ta wartość jest prawdziwym punktem przegięcia.
W powyższym przykładzie trzecia pochodna to 6, a nie 0. Zatem 6 jest prawdziwym punktem przegięcia
Krok 2. Znajdź punkt przegięcia
Współrzędne punktu przegięcia są zapisane jako (x, f(x)), gdzie x jest wartością punktu zmiennej w punkcie przegięcia, a f(x) jest wartością funkcji w punkcie przegięcia.
-
W powyższym przykładzie pamiętaj, że obliczając drugą pochodną, okazuje się, że x = 0. Zatem musisz znaleźć f(0), aby określić swoje współrzędne. Twoje obliczenia będą wyglądać tak:
f(0) = 03 +2×0−1 = 1.
Krok 3. Zapisz swoje współrzędne
Współrzędnymi punktu przegięcia są wartość x i wartość obliczona powyżej.
