Odległość, często podawana zmienną „s”, jest miarą przestrzeni, która jest linią prostą między dwoma punktami. Odległość może odnosić się do przestrzeni między dwoma nieruchomymi punktami (na przykład wzrost osoby to odległość od spodu stóp do czubka głowy) lub może odnosić się do przestrzeni między aktualną pozycją poruszającego się obiektu a początkowa lokalizacja, w której obiekt zaczął się poruszać. Większość problemów dotyczących odległości można rozwiązać za pomocą równania s = v × t, gdzie s to odległość, v to średnia prędkość, a t to czas, lub za pomocą s = ((x2 - x1)2 + (y2 - tak1)2), gdzie (x1, tak1) i (x2, tak2) to współrzędne x i y dwóch punktów.
Krok
Metoda 1 z 2: Obliczanie odległości ze średnią prędkością i czasem
Krok 1. Znajdź średnie wartości prędkości i czasu
Próbując obliczyć odległość, jaką przebył poruszający się obiekt, istnieją dwie informacje, które są ważne dla tego obliczenia: prędkość (lub prędkość) i czas że poruszający się obiekt przebył. Dzięki tym informacjom można obliczyć odległość przebytą przez obiekt za pomocą wzoru s = v × t.
Aby lepiej zrozumieć proces korzystania z formuły odległości, rozwiążmy przykładowy problem w tej sekcji. Powiedzmy, że jedziemy drogą z prędkością 120 mil na godzinę (około 193 km na godzinę) i chcemy wiedzieć, jak daleko przejedziemy w pół godziny. Posługiwać się 120 mil na godzinę jako wartość średniej prędkości i 0,5 godziny jako wartość czasu rozwiążemy ten problem w następnym kroku.
Krok 2. Pomnóż średnią prędkość przez czas
Znając średnią prędkość poruszającego się obiektu i czas, jaki przebył, obliczenie przebytej odległości jest stosunkowo łatwe. Wystarczy pomnożyć dwie wartości, aby znaleźć odpowiedź.
- Należy jednak pamiętać, że jeśli jednostka czasu użyta w średniej wartości prędkości jest inna niż ta użyta w wartości czasu, należy ją zmienić, aby dopasować. Na przykład, gdybyśmy mieli średnią wartość prędkości mierzoną w km na godzinę i wartość czasu mierzoną w minutach, musielibyśmy podzielić wartość czasu przez 60, aby przeliczyć ją na godziny.
- Zakończmy nasz przykładowy problem. 120 mil/godzinę × 0,5 godziny = 60 mil. Zauważ, że jednostki w wartości czasu (godziny) pomijają mianownik średniej prędkości (godziny) pozostawiając tylko jednostki odległości (mile).
Krok 3. Zmień równanie, aby obliczyć inną zmienną
Prostota podstawowego równania odległości (s = v × t) ułatwia wykorzystanie równania do znalezienia wartości zmiennej innej niż odległość. Po prostu wyizoluj zmienną, którą chcesz znaleźć, zgodnie z podstawowymi zasadami algebry, a następnie wprowadź wartości pozostałych dwóch zmiennych, aby znaleźć wartość trzeciej zmiennej. Innymi słowy, aby obliczyć średnią prędkość obiektu, użyj równania v = s/t i do obliczenia czasu, jaki upłynął od obiektu, użyj równania t = s/v.
- Załóżmy na przykład, że wiemy, że samochód przejechał 60 mil w 50 minut, ale nie mamy wartości średniej prędkości, gdy obiekt się porusza. W tym przypadku możemy wyizolować zmienną v w podstawowym równaniu odległości, aby uzyskać v = d/t, a następnie podzielić 60 mil / 50 minut, aby uzyskać odpowiedź 1,2 mil/minutę.
- Zauważ, że w tym przykładzie odpowiedź dotycząca prędkości ma nietypową jednostkę (mile/minutę). Aby uzyskać odpowiedź w bardziej typowych milach na godzinę, pomnóż przez 60 minut na godzinę, aby uzyskać wynik 72 mile/godzinę.
Krok 4. Zauważ, że zmienna „v” we wzorze na odległość odnosi się do średniej prędkości
Ważne jest, aby zrozumieć, że podstawowa formuła odległości oferuje uproszczony widok ruchu obiektu. Wzór na odległość zakłada, że poruszający się obiekt ma stałą prędkość – innymi słowy zakłada, że poruszający się obiekt ma jedną, niezmienną prędkość. W przypadku abstrakcyjnych problemów matematycznych, takich jak te, które można napotkać w środowisku akademickim, czasami nadal możliwe jest modelowanie ruchu obiektu przy użyciu tego założenia. Jednak w rzeczywistości przykłady te często nie odzwierciedlają dokładnie ruchu poruszających się obiektów, które w rzeczywistości mogą z czasem przyspieszać, zwalniać, zatrzymywać się i cofać.
- Na przykład w powyższym przykładzie doszliśmy do wniosku, że aby pokonać 60 mil w 50 minut, musielibyśmy podróżować z prędkością 72 mil na godzinę. Jest to jednak prawdą tylko wtedy, gdy przez całą podróż podróżujesz z jedną prędkością. Na przykład, podróżując z prędkością 80 mil/godz. przez połowę podróży i 64 mil/godz. przez pozostałą połowę, nadal pokonamy 60 mil w 50 minut - 72 mile/godzinę = 60 mil/50 minut = ?????
- Rozwiązania oparte na rachunku różniczkowym, które wykorzystują pochodne są często lepszym wyborem niż formuły odległości do definiowania prędkości obiektu w rzeczywistych sytuacjach, ponieważ możliwe są zmiany prędkości.
Metoda 2 z 2: Obliczanie odległości między dwoma punktami
Krok 1. Znajdź dwie współrzędne przestrzenne dwóch punktów
A jeśli zamiast obliczać odległość, jaką przebył poruszający się obiekt, musisz obliczyć odległość między dwoma nieruchomymi obiektami? W takim przypadku opisana powyżej formuła odległości oparta na prędkości nie zadziała. Na szczęście można użyć różnych formuł odległości, aby łatwo obliczyć odległość w linii prostej między dwoma punktami. Aby jednak skorzystać z tego wzoru, musisz znać współrzędne dwóch punktów. W przypadku obsługi odległości jednowymiarowych (jak na osi liczbowej), współrzędne będą składać się z dwóch liczb, x1 i x2. Jeśli obsługujesz odległości w dwóch wymiarach, potrzebujesz dwóch wartości (x, y), (x1, tak1) i (x2, tak2). Na koniec, dla trzech wymiarów, będziesz potrzebować wartości (x1, tak1, z1) i (x2, tak2, z2).
Krok 2. Oblicz odległość jednowymiarową, odejmując wartości współrzędnych dwóch punktów
Obliczanie jednowymiarowej odległości między dwoma punktami, gdy znasz już wartość każdego punktu, jest łatwe. Po prostu użyj formuły s = |x2 - x1|. W tym wzorze odejmujesz x1 od x2, a następnie weź wartość bezwzględną swojej odpowiedzi, aby znaleźć odległość między x1 i x2. Zwykle będziesz chciał użyć jednowymiarowego wzoru na odległość, gdy dwa punkty znajdują się na linii lub osi liczbowej.
- Zauważ, że ta formuła używa wartości bezwzględnych (symbol " | |"). Wartość bezwzględna oznacza tylko, że wartość wewnątrz symbolu staje się dodatnia, jeśli jest ujemna.
-
Załóżmy na przykład, że zatrzymujemy się na poboczu drogi na idealnie prostej autostradzie. Jeśli przed nami jest miasto oddalone o 5 mil, a za nami inne miasto, to jak daleko są te dwa miasta? Jeśli ustawimy miasto 1 jako x1 = 5 i miasto 2 jako x1 = -1, możemy obliczyć s, odległość między dwoma miastami, w następujący sposób:
- s = |x2 - x1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 mil.
Krok 3. Oblicz odległość dwuwymiarową za pomocą twierdzenia Pitagorasa
Obliczenie odległości między dwoma punktami w przestrzeni dwuwymiarowej jest bardziej skomplikowane niż w jednowymiarowej, ale nie jest trudne. Po prostu użyj formuły s = ((x2 - x1)2 + (y2 - tak1)2). W tym wzorze odejmij dwie współrzędne x, oblicz pierwiastek kwadratowy, odejmij dwie współrzędne y, oblicz pierwiastek kwadratowy, a następnie dodaj oba wyniki razem i oblicz pierwiastek kwadratowy, aby znaleźć odległość między dwoma punktami. Ten wzór dotyczy płaszczyzny dwuwymiarowej - na przykład na zwykłym wykresie x/y.
- Dwuwymiarowy wzór na odległość wykorzystuje twierdzenie Pitagorasa, które mówi, że długość przeciwprostokątnej trójkąta po prawej stronie jest równa pierwiastkowi kwadratowemu kwadratu z dwóch pozostałych stron.
- Na przykład, powiedzmy, że mamy dwa punkty na płaszczyźnie x-y: (3, -10) i (11, 7), które reprezentują odpowiednio środek okręgu i punkt na okręgu. Aby znaleźć odległość w linii prostej między dwoma punktami, możemy ją obliczyć w następujący sposób:
- s = ((x2 - x1)2 + (y2 - tak1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
Krok 4. Oblicz odległość trójwymiarową, zmieniając dwuwymiarowy wzór odległości
W trzech wymiarach punkty mają współrzędne z oprócz współrzędnych x i y. Aby obliczyć odległość między dwoma punktami w przestrzeni trójwymiarowej, użyj s = ((x2 - x1)2 + (y2 - tak1)2 + (z2 - z1)2). Jest to zmodyfikowana forma dwuwymiarowego wzoru na odległość opisanego powyżej, który zawiera współrzędną z. Odjęcie dwóch współrzędnych Z, obliczenie pierwiastka kwadratowego i kontynuowanie reszty wzoru zapewnia, że ostateczna odpowiedź będzie reprezentować trójwymiarową odległość między dwoma punktami.
- Załóżmy na przykład, że jesteśmy astronautami unoszącymi się w przestrzeni między dwiema asteroidami. Jedna asteroida jest około 8 km przed nami, 2 km w prawo i 5 km pod nami, podczas gdy druga jest około 3 km za nami, 3 km w lewo i 4 km nad nami. Jeśli przedstawimy położenie dwóch planetoid o współrzędnych (8, 2, -5) i (-3, -3,4), możemy obliczyć odległość między nimi w następujący sposób:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 km
