Dzielenie binarne można rozwiązać za pomocą metody dzielenia długiego, która jest metodą, która może nauczyć zarówno procesu dzielenia, jak i tworzenia prostych programów komputerowych. Dodatkowo komplementarne metody odejmowania iteracyjnego mogą zapewnić podejścia, których możesz nie znać, nawet jeśli nie są one powszechnie używane w programowaniu. Języki maszynowe zwykle używają algorytmów aproksymacyjnych, aby być bardziej wydajnym, ale nie jest to opisane w tym artykule.
Krok
Metoda 1 z 2: Korzystanie z dzielenia długiego
Krok 1. Naucz się na nowo dzielenia dziesiętnego
Jeśli od dłuższego czasu nie korzystałeś z dzielenia długiego w systemie liczb dziesiętnych regularnych (o podstawie dziesiątej), wróć do podstaw, korzystając z przykładowego zadania 172 podzielonego przez 4. W przeciwnym razie pomiń ten krok i przejdź od razu do następnego kroku, aby zbadać podobny proces z liczbami binarnymi.
- Licznik ułamka podzielony przez mianownik, a wynikiem jest iloraz.
- Porównaj mianownik z pierwszą liczbą w liczniku. Jeśli mianownik jest większy, kontynuuj dodawanie liczb do licznika, aż mianownik będzie mniejszy. (Na przykład, jeśli obliczymy 172 podzielone przez 4, porównujemy 4 z 1, wiemy, że 4 jest większe od 1, więc przejdź do porównywania 4 z 17.)
- Napisz pierwszą cyfrę ilorazu powyżej ostatniego licznika użytego w porównaniu. Porównując 4 z 17, widzimy, że 4 jest pokrywane przez 17 cztery razy, więc zapisujemy 4 jako pierwszą liczbę ilorazu, powyżej 7.
- Pomnóż i odejmij, aby otrzymać resztę. Pomnóż iloraz przez mianownik, co oznacza 4 × 4 = 16. Zapisz 16 do 17, a następnie odejmij 17 przez 16, aby otrzymać resztę, czyli 1.
- Powtórz proces. Ponownie porównujemy mianownik, czyli 4, z następną liczbą, czyli 1, zauważ, że 4 jest większe od 1, następnie „odejmuj” następną liczbę od licznika, kontynuujemy porównując 4 z 12. Widzimy, że 4 jest pokryta przez 12 trzy razy bez reszty, więc zapisujemy 3 jako kolejną liczbę ilorazu. Odpowiedź brzmi 43.
Krok 2. Przygotuj zadanie długiego dzielenia w systemie binarnym
Weźmy 10101 11. Napisz jako problem dla długiego dzielenia, używając 10101 jako licznika i 11 jako mianownika. Nad nim zostaw miejsce jako miejsce do wpisania ilorazu, a pod nim miejsce do wpisania obliczeń.
Krok 3. Porównaj mianownik z pierwszą cyfrą licznika
Działa to tak samo, jak dzielenie długie w systemie dziesiętnym, ale w rzeczywistości jest znacznie łatwiejsze w systemie liczb binarnych. W systemie binarnym są tylko dwie opcje, albo nie możesz podzielić liczby przez mianownik (co oznacza 0), albo mianownik jest dołączony tylko raz (co oznacza 1):
11 > 1, czyli 11 nie jest „zakryte” 1. Wpisz liczbę 0 jako pierwszą liczbę ilorazu (powyżej pierwszej cyfry licznika)
Krok 4. Pracuj nad następnym numerem i powtarzaj, aż uzyskasz numer 1
Oto kolejne kroki w naszym przykładzie:
- Wyprowadź następną liczbę z licznika. 11 > 10. Wpisz 0 w ilorazu.
- Obniż następną liczbę. 11 < 101. Wpisz liczbę 1 do ilorazu.
Krok 5. Znajdź pozostałą część podziału
Podobnie jak w przypadku ułamków dziesiętnych z długim dzieleniem, pomnóż właśnie otrzymaną liczbę (1) przez mianownik (11), a następnie zapisz wynik pod licznikiem równolegle do liczby, którą właśnie obliczyliśmy. W systemie liczb binarnych możemy podsumować ten proces, ponieważ 1 x mianownik jest zawsze taki sam jak mianownik:
- Napisz mianownik pod licznikiem. Tutaj wpisz 11 równolegle do pierwszych trzech cyfr licznika (101).
- Policz 101 - 11, aby uzyskać pozostałą część dzielenia, czyli 10. Zobacz, jak odjąć liczby binarne, jeśli musisz się ponownie uczyć.
Krok 6. Powtarzaj, aż problem zostanie rozwiązany
Zmniejsz następną liczbę od mianownika do reszty dzielenia, aby uzyskać 100. Ponieważ 11 < 100, wpisz 1 jako następną liczbę w dzieleniu. Kontynuuj obliczenia jak poprzednio:
- Napisz 11 poniżej 100, a następnie odejmij, aby uzyskać 1.
- Obniż ostatnią cyfrę licznika do 11.
- 11 = 11, więc wpisz 1 jako ostatnią cyfrę ilorazu (odpowiedź).
- Ponieważ nie ma reszty, obliczenia są zakończone. Odpowiedź to 00111lub tylko 111.
Krok 7. W razie potrzeby dodaj punkty podstawy
Czasami wynik obliczenia nie jest liczbą całkowitą. Jeśli po użyciu ostatniej cyfry pozostało Ci jeszcze dzielenie, dodaj ".0" do licznika i "." do ilorazu, dzięki czemu można jeszcze wyliczyć jeszcze jedną liczbę i kontynuować obliczenia. Powtarzaj, aż osiągniesz pożądaną precyzję, a następnie zaokrąglij wynik. Na papierze można zaokrąglić w dół, usuwając ostatnie 0, lub jeśli ostatnią jest 1, odrzuć ją i dodaj ostatnią ostatnią liczbę do 1. Podczas programowania postępuj zgodnie z jednym z kilku standardowych algorytmów zaokrąglania, aby uniknąć błędów podczas konwersji liczb binarnych na dziesiętny i odwrotnie.
- Dzielenie binarne często skutkuje powtarzającymi się częściami ułamkowymi, częściej niż ten sam proces w systemie dziesiętnym.
- Jest to bardziej powszechnie nazywane „punktem podstawy”, który stosuje się do dowolnej podstawy, ponieważ termin „punkt dziesiętny” ma zastosowanie tylko w systemie dziesiętnym.
Metoda 2 z 2: Korzystanie z metody komplementarnej
Krok 1. Zrozum podstawową koncepcję
Jednym ze sposobów rozwiązania problemu dzielenia – na dowolnej podstawie – jest ciągłe odejmowanie mianownika od licznika, a następnie liczenie, ile razy ten proces można powtórzyć, zanim otrzymamy liczbę ujemną. Poniższy przykład jest obliczeniem w systemie dziesiątym, obliczając 26 7:
- 26 - 7 = 19 (odejmij 1 raz)
- 19 - 7 = 12 (2)
- 12 - 7 = 5 (3)
- 5 - 7 = -2. Liczby ujemne, więc cofnij się o krok. Wynik to 3, a reszta jest dzielona przez 5. Zauważ, że ta metoda nie oblicza części ułamkowej odpowiedzi.
Krok 2. Naucz się odejmować z dopełnieniami
O ile powyższą metodę można łatwo zastosować w systemie binarnym, możemy również ograniczyć użycie bardziej wydajnej metody, co pozwala zaoszczędzić czas podczas programowania komputera do dzielenia binarnego. Jest to odejmowanie metodą dopełnienia w systemie binarnym. Oto podstawy, obliczanie 111 - 011 (upewnij się, że obie liczby mają tę samą długość):
- Znajdź uzupełnienie do jedynki dla drugiej liczby, odejmując każdą cyfrę od 1. Ten krok jest łatwy do wykonania w systemie binarnym, zmieniając co 1 na 0 i co 0 na 1. W tym przykładzie od 011 do 100.
- Dodaj 1 do wyniku obliczenia: 100 + 1 = 101. Ta liczba nazywana jest uzupełnieniem do dwóch, więc odejmowanie można rozwiązać jako dodawanie. Zasadniczo wynik tego obliczenia jest taki, jak dodawanie liczb ujemnych, a nie odejmowanie liczb dodatnich, po zakończeniu tego procesu.
- Dodaj wynik do pierwszej liczby. Napisz i rozwiąż zadanie dodawania: 111 + 101 = 1100.
- Usuń więcej numerów. Usuń pierwszą liczbę z wyniku obliczenia, aby uzyskać wynik końcowy. 1100 → 100.
Krok 3. Połącz dwie koncepcje opisane powyżej
Teraz znasz metodę odejmowania do rozwiązywania zadań dzielenia, a także metodę dopełniania do dwóch rozwiązywania zadań odejmowania. Korzystając z poniższych kroków, możesz połączyć dwie metody w jedną, aby rozwiązać problem dzielenia. Jeśli chcesz, spróbuj rozwiązać go samodzielnie, zanim przejdziesz dalej.
Krok 4. Odejmij mianownik od licznika, dodając uzupełnienie do dwóch
Popracujmy nad problemem 100011 000101. Pierwszym krokiem jest rozwiązanie 100011 - 000101, używając metody uzupełnienia do dwóch, aby przekształcić to obliczenie w sumę:
- Uzupełnienie do dwójki 000101 = 111010 + 1 = 111011
- 100011 + 111011 = 1011110
- Usuń nadmiarowe liczby → 011110
Krok 5. Dodaj 1 do wyniku dzielenia
W programie komputerowym jest to miejsce, w którym dodaje się 1 do ilorazu. Na papierze rób notatki w rogach, aby nie pomyliły się z innymi pracami. Udało nam się raz odjąć, więc dotychczasowy wynik podziału wynosi 1.
Krok 6. Powtórz proces, odejmując mianownik od pozostałej części obliczenia
Wynikiem naszych ostatnich obliczeń jest pozostała część dzielenia po jednokrotnym „pokryciu” mianownika. Kontynuuj dodawanie uzupełnienia do dwóch mianownika przy każdym powtórzeniu i usuwaj dodatkowe cyfry. Dodaj 1 do ilorazu w każdej iteracji, powtarzając, aż uzyskasz resztę obliczenia równą lub mniejszą od mianownika:
- 011110 + 111011 = 1011001 → 011001 (iloraz 1+1=10)
- 0110001 + 111011 = 1010100 → 010100 (iloraz 10+1=11)
- 010100 + 111011 = 1001111 → 001111 (11+1=100)
- 001111 + 111011 = 1001010 → 001010 (100+1=101)
- 001010 + 111011 = 10000101 → 0000101 (101+1=110)
- 0000101 + 111011 = 1000000 → 000000 (110+1=111)
- 0 to mniej niż 101, więc na tym się zatrzymujemy. Odpowiedzią na ten proces podziału jest: 111. Podczas gdy reszta z dzielenia jest końcowym wynikiem procesu odejmowania, w tym przypadku 0 (brak reszty).
Porady
- Instrukcje podnoszenia (dodawania 1), opuszczania (odejmowania 1) lub usuwania ze stosu (stos pop) powinny być brane pod uwagę przed zastosowaniem matematyki binarnej w zestawie instrukcji maszynowych.
- Metoda uzupełnienia do dwóch dla odejmowania nie zadziała, jeśli liczby mają różną liczbę cyfr. Aby to naprawić, dodaj zero na początku liczby, aby uzyskać mniejszą liczbę.
- Ignoruj liczby ujemne w ujemnych liczbach binarnych przed obliczeniem, z wyjątkiem określenia, czy odpowiedź jest dodatnia, czy ujemna.
