Prędkość jest definiowana jako prędkość obiektu w określonym kierunku. W wielu sytuacjach, aby znaleźć prędkość, możemy użyć równania v = s/t, gdzie v jest prędkością, s jest całkowitą odległością, jaką obiekt przebył ze swojego położenia początkowego, a t jest czasem. Jednak ta metoda podaje tylko „średnią” wartość prędkości obiektu w stosunku do jego przemieszczenia. Korzystając z rachunku różniczkowego, możesz obliczyć prędkość obiektu w dowolnym punkcie wzdłuż jego przemieszczenia. Ta wartość nazywana jest „prędkością chwilową” i można ją obliczyć za pomocą równania v = (ds)/(dt), czyli innymi słowy, jest pochodną równania średniej prędkości obiektu.
Krok
Metoda 1 z 3: Obliczanie prędkości chwilowej
Krok 1. Zacznij od równania prędkości przemieszczenia obiektu
Aby uzyskać wartość chwilowej prędkości obiektu, musimy najpierw mieć równanie opisujące jego położenie (w kategoriach jego przemieszczenia) w danym momencie. Oznacza to, że równanie musi mieć zmienną s (który stoi samotnie) po jednej stronie i T z drugiej strony (ale niekoniecznie samodzielne), tak:
s = -1,5t2+10t+4
-
W równaniu zmienne to:
-
-
Przemieszczenie = s. Jest to odległość przebyta przez obiekt od punktu początkowego. Na przykład, jeśli obiekt porusza się 10 metrów do przodu i 7 metrów do tyłu, całkowita przebyta odległość wynosi 10 - 7 = 3 metry (nie 10 + 7 = 17 metrów).
-
Czas = t. Ta zmienna nie wymaga wyjaśnień. Zwykle wyrażany w sekundach. # Weź pochodną równania. Pochodna równania to kolejne równanie, które może dać wartość nachylenia od pewnego punktu. Aby znaleźć pochodną wzoru na przemieszczenie obiektu, wyprowadź funkcję, korzystając z następującej ogólnej zasady: Jeśli y = a*x , pochodna = a*n*xn-1. Ta zasada dotyczy każdego składnika znajdującego się po stronie „t” równania.
Oblicz prędkość chwilową krok 2
-
-
- Innymi słowy, zacznij od schodzenia po stronie „t” równania od lewej do prawej. Za każdym razem, gdy osiągniesz wartość „t”, odejmij 1 od wartości wykładnika i pomnóż całość przez oryginalny wykładnik. Wszelkie stałe (zmienne, które nie zawierają „t”) zostaną utracone, ponieważ zostaną pomnożone przez 0. Ten proces nie jest tak trudny, jak mogłoby się wydawać, wyprowadźmy równanie z powyższego kroku jako przykład:
s = -1,5t2+10t+4
(2)-1,5t(2-1)+ (1)10t1 - 1 + (0)4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
Krok 2. Zamień zmienną „s” na „ds/dt
„ Aby pokazać, że nowe równanie jest pochodną poprzedniego równania, zastąp „s” „ds/dt”. Technicznie rzecz biorąc, ta notacja oznacza „pochodną s względem t”. Prostszym sposobem zrozumienia tego jest to, że ds. /dt to wartość nachylenia (nachylenia) w dowolnym punkcie pierwszego równania, na przykład w celu określenia nachylenia linii narysowanej z równania s = -1,5t2 + 10t + 4 w t = 5 możemy wstawić wartość „5” do równania pochodnego.
- W użytym przykładzie pierwsze równanie pochodnej wyglądałoby teraz tak:
ds/s = -3t + 10
Krok 3. Wstaw wartość t do nowego równania, aby uzyskać wartość chwilowej prędkości
Teraz, gdy masz równanie pochodne, łatwo jest znaleźć prędkość chwilową w dowolnym punkcie. Wszystko, co musisz zrobić, to wybrać wartość t i wstawić ją do równania pochodnego. Na przykład, jeśli chcesz obliczyć prędkość chwilową przy t = 5, możesz zastąpić wartość t wartością „5” w równaniu pochodnej ds/dt = -3 + 10. Następnie rozwiąż równanie w następujący sposób:
ds/s = -3t + 10
ds/s = -3(5) + 10
ds/s = -15 + 10 = - 5 metrów/sekundę
Zauważ, że jednostka używana powyżej to „metr/sekunda”. Ponieważ to, co obliczamy, to przemieszczenie w metrach, a czas w sekundach (sekundach), a ogólnie prędkość to przemieszczenie w określonym czasie, ta jednostka jest odpowiednia do użycia
Metoda 2 z 3: Graficzne szacowanie prędkości chwilowej
Krok 1. Narysuj wykres przemieszczenia obiektu w czasie
W powyższej sekcji pochodna jest wymieniona jako wzór na znalezienie nachylenia w danym punkcie dla wyprowadzanego równania. W rzeczywistości, jeśli przedstawisz przemieszczenie obiektu jako linię na wykresie, „nachylenie linii we wszystkich punktach jest równe wartości jego prędkości chwilowej w tym punkcie”.
- Aby opisać przemieszczenie obiektu, użyj x do reprezentowania czasu i y do reprezentowania przemieszczenia. Następnie narysuj punkty, wstawiając wartość t do swojego równania, otrzymując w ten sposób wartość s dla swojego wykresu, oznacz t, s na wykresie jako (x, y).
- Zauważ, że Twój wykres może rozciągać się poniżej osi X. Jeśli linia reprezentująca ruch twojego obiektu sięga poniżej osi x, oznacza to, że obiekt przesunął się do tyłu od swojej początkowej pozycji. Ogólnie rzecz biorąc, Twój wykres nie sięga tylnej części osi y - ponieważ nie mierzymy prędkości poruszającego się obiektu!
Krok 2. Wybierz sąsiednie punkty P i Q w linii
Aby uzyskać nachylenie prostej w punkcie P, możemy użyć sztuczki zwanej „przyjmowaniem limitu”. Przyjęcie granicy obejmuje dwa punkty (P i Q, punkt w pobliżu) na zakrzywionej linii i znalezienie nachylenia linii przez wielokrotne ich łączenie, aż odległości P i Q zbliżą się.
Załóżmy, że linia przemieszczenia obiektu zawiera wartości (1, 3) i (4, 7). W tym przypadku, jeśli chcemy znaleźć nachylenie w punkcie (1, 3), możemy określić (1, 3) = P oraz (4, 7) = Q.
Krok 3. Znajdź nachylenie między P i Q
Nachylenie między P i Q to różnica wartości y dla P i Q wzdłuż różnicy wartości na osi x dla P i Q. Innymi słowy, H = (yQ - takP)/(xQ - xP), gdzie H jest nachyleniem między dwoma punktami. W naszym przykładzie wartość nachylenia między P i Q wynosi
H = (yQ- takP)/(xQ- xP)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33
Krok 4. Powtórz kilka razy, przesuwając Q bliżej P
Twoim celem jest zmniejszenie odległości między P i Q, aby przypominała kropkę. Im bliższa odległość między P i Q, tym mniejsze nachylenie prostej w punkcie P. Zrób to kilka razy z równaniem użytym jako przykład, używając punktów (2, 4,8), (1,5, 3,95) i (1,25, 3.49) jako Q i punkt początkowy (1, 3) jako P:
Q = (2, 4,8):
H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
H = (1,8)/(1) = 1.8
Q = (1,5, 3,95):
H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (.95)/(.5) = 1.9
Q = (1,25, 3,49):
H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (.49)/(.25) = 1.96
Krok 5. Oszacuj nachylenie linii dla bardzo małej odległości
Gdy Q zbliża się do P, H zbliża się coraz bardziej do wartości nachylenia punktu P. W końcu, kiedy osiąga bardzo małą wartość, H równa się nachyleniu P. Ponieważ nie możemy zmierzyć ani obliczyć bardzo małych odległości, możemy oszacować nachylenie na P tylko wtedy, gdy jest jasne z punktu, w którym próbujemy.
- W tym przykładzie, gdy zbliżamy Q do P, otrzymujemy wartości 1,8, 1,9 i 1,96 dla H. Ponieważ liczby te są bliskie 2, możemy powiedzieć, że 2 jest przybliżonym nachyleniem P.
- Pamiętaj, że nachylenie w dowolnym punkcie linii jest równe pochodnej równania prostej. Ponieważ użyta linia pokazuje przemieszczenie obiektu w czasie, a ponieważ jak widzieliśmy w poprzedniej sekcji, chwilowa prędkość obiektu jest pochodną jego przemieszczenia w danym punkcie, możemy również stwierdzić, że „2 metry/sekunda " jest przybliżoną wartością prędkości chwilowej przy t = 1.
Metoda 3 z 3: Przykładowe pytania
Krok 1. Znajdź wartość prędkości chwilowej przy t = 4, z równania przemieszczenia s = 5t3 - 3t2 +2t+9.
Ten problem jest taki sam jak w pierwszej części, z tą różnicą, że to równanie jest równaniem sześciennym, a nie potęgowym, więc możemy rozwiązać ten problem w ten sam sposób.
- Najpierw bierzemy pochodną równania:
- Następnie wprowadź wartość t(4):
s = 5t3- 3t2+2t+9
s = (3)5t(3 - 1) - (2)3t(2 - 1) + (1)2t(1 - 1) + (0)9t0 - 1
15t(2) - 6t(1) + 2t(0)
15t(2) - 6t + 2
s = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 metry/sekundę
Krok 2. Użyj graficznego oszacowania, aby znaleźć prędkość chwilową w (1, 3) dla równania przemieszczenia s = 4t2 - T.
Dla tego problemu użyjemy (1, 3) jako punktu P, ale musimy zdefiniować inny punkt sąsiadujący z tym punktem jako punkt Q. Następnie wystarczy określić wartość H i dokonać oszacowania.
- Najpierw znajdź wartość Q najpierw w t = 2, 1,5, 1,1 i 1,01.
- Następnie określ wartość H:
- Ponieważ wartość H jest bardzo bliska 7, możemy stwierdzić, że 7 metrów/sekundęjest przybliżoną prędkością chwilową w (1, 3).
s = 4t2- T
t = 2:
s = 4(2)2- (2)
4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, więc Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4(1,5)2 - (1.5)
4(2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, więc Q = (1,5, 7,5)
t = 1,1:
s = 4(1.1)2 - (1.1)
4(1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, więc Q = (1,1, 3,74)
t = 1,01:
s = 4(1.01)2 - (1.01)
4(1.0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, więc Q = (1,01, 3,0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
Krok 11.
Q = (1,5, 7,5):
H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
H = (4,5)/(0,5) =
Krok 9.
Q = (1,1, 3,74):
H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
H = (.74)/(.1) = 7.3
Q = (1,01, 3.0704):
H = (3,0704 - 3)/(1,01 - 1)
H = (0,0704)/(0,01) = 7.04
Porady
- Aby znaleźć wartość przyspieszenia (zmiany prędkości w czasie), użyj metody z pierwszej sekcji, aby uzyskać równanie na pochodną funkcji przemieszczenia. Następnie ponownie utwórz wyprowadzone równanie, tym razem z wyprowadzonego równania. To da ci równanie, aby znaleźć przyspieszenie w dowolnym momencie, wszystko, co musisz zrobić, to wprowadzić wartość czasu.
- Równanie wiążące wartość Y (przemieszczenia) do X (czasu) może być bardzo proste, np. Y= 6x + 3. W tym przypadku wartość nachylenia jest stała i nie ma potrzeby znajdowania pochodnej do jej obliczenia, gdzie zgodnie z równaniem prostej Y = mx + b będzie równe 6.
- Przemieszczenie jest podobne do odległości, ale ma kierunek, więc przemieszczenie jest wielkością wektorową, a odległość jest wielkością skalarną. Wartość przemieszczenia może być ujemna, ale odległość zawsze będzie dodatnia.
