Jak określić wyznacznik matrycy 3X3: 11 kroków (ze zdjęciami)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-15 08:21

Wyznacznik macierzy jest często używany w rachunku różniczkowym, algebrze liniowej i geometrii na wyższym poziomie. Poza środowiskiem akademickim graficy komputerowi i programiści cały czas korzystają z macierzy i ich wyznaczników. Jeśli już wiesz, jak wyznaczyć wyznacznik macierzy rzędu 2x2, musisz tylko nauczyć się, kiedy używać dodawania, odejmowania i czasów, aby wyznaczyć wyznacznik macierzy rzędu 3x3.

Krok

Część 1 z 2: Określanie determinant

Napisz swoją macierz zamówień 3 x 3. Zaczniemy od macierzy A rzędu 3x3 i spróbujemy znaleźć wyznacznik |A|. Poniżej znajduje się ogólna forma notacji macierzowej, której użyjemy, oraz przykład naszej macierzy:

		a11	a12	a13		1	5	3
m	=	a21	a22	a23	=	2	4	7
		a31	a32	a33		4	6	2

Krok 1. Wybierz wiersz lub kolumnę

Dokonaj wyboru wiersza lub kolumny odniesienia. Niezależnie od tego, co wybierzesz, nadal otrzymasz tę samą odpowiedź. Tymczasowo wybierz pierwszy wiersz. W następnej sekcji przedstawimy kilka sugestii dotyczących wyboru najłatwiejszej do obliczenia opcji.

Wybierz pierwszy wiersz macierzy próbki A. Zakreśl cyfrę 1 5 3. W powszechnym zapisie zakreśl a₁₁ a₁₂ a₁₃.

Krok 2. Wykreśl wiersz i kolumnę pierwszego elementu

Spójrz na zakreślony wiersz lub kolumnę i wybierz pierwszy element. Przekreśl wiersze i kolumny. Nietknięte pozostaną tylko 4 cyfry. Uczyń te 4 liczby macierzą 2 x 2.

• W naszym przykładzie nasz wiersz odniesienia to 1 5 3. Pierwszy element znajduje się w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie. Wykreśl cały pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę. Zapisz pozostałe elementy w macierzy 2x2:
• 1 5 3
• 2 4 7
• 4 6 2

Krok 3. Wyznacz wyznacznik macierzy rzędów 2x2

Pamiętaj, określ wyznacznik macierzy [^{a_C b_D] za pomocą ad - bc. Być może nauczyłeś się również określać wyznacznik macierzy, rysując X między macierzą 2 x 2. Pomnóż dwie liczby połączone linią / od X. Następnie odejmij liczbę razy dwie liczby połączone linią / są. Użyj tego wzoru, aby obliczyć wyznacznik macierzy 2 x 2.}

• W przykładzie wyznacznik macierzy [^{4₆ 7₂}] = 4*2 - 7*6 = - 34.
• Ten wyznacznik nazywa się mniejszy elementów wybranych w macierzy początkowej. W tym przypadku właśnie znaleźliśmy nieletniego a₁₁.

Krok 4. Pomnóż znalezioną liczbę przez wybrany element

Pamiętaj, że wybrałeś elementy z wiersza (lub kolumny) odniesienia, kiedy decydowałeś, które wiersze i kolumny wykreślić. Pomnóż ten element przez wyznacznik znalezionej macierzy 2 x 2.

W przykładzie wybieramy a₁₁ czyli 1. Pomnóż tę liczbę przez -34 (wyznacznik macierzy 2 x 2), aby otrzymać 1*-34 = - 34.

Krok 5. Określ symbol swojej odpowiedzi

Następnym krokiem jest pomnożenie odpowiedzi przez 1 lub -1, aby uzyskać kofaktor wybranego elementu. Symbol, którego używasz, zależy od tego, gdzie elementy znajdują się w macierzy 3 x 3. Pamiętaj, że ta tabela symboli służy do określenia mnożnika elementu:

• + - +
• - + -
• + - +
• Ponieważ wybieramy₁₁ który jest oznaczony +, pomnożymy tę liczbę przez +1 (czyli nie zmieniajmy). Odpowiedź, która się pojawi, będzie taka sama, a mianowicie - 34.
• Innym sposobem zdefiniowania symbolu jest użycie wzoru (-1) ^{i+j gdzie i oraz j są elementami wiersza i kolumny.}

Krok 6. Powtórz ten proces dla drugiego elementu w wierszu lub kolumnie odniesienia

Wróć do oryginalnej macierzy 3 x 3, którą wcześniej zakreśliłeś wiersz lub kolumnę. Powtórz ten sam proces z elementem:

• Przekreśl wiersz i kolumnę elementu.

  W takim przypadku wybierz element a₁₂ (co jest warte 5). Wykreśl pierwszy rząd (1 5 3) i drugą kolumnę (5 4 6).

• Pozostałe elementy zamień w macierz 2x2.

  W naszym przykładzie macierz rzędu 2x2 dla drugiego elementu to [²₄ ⁷₂].

• Określ wyznacznik tej macierzy 2x2.

  Użyj formuły ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)

• Pomnóż przez elementy wybranej matrycy 3x3.

  -24 * 5 = -120

• Zdecyduj, czy pomnożyć powyższy wynik przez -1, czy nie.

  Użyj tabeli symboli lub formuł (-1)^ij. Wybierz element a₁₂ symbolizowane – w tabeli symboli. Zamień nasz symbol odpowiedzi na: (-1)*(-120) = 120.

Krok 7. Powtórz ten sam proces dla trzeciego elementu

Masz jeszcze jeden kofaktor do określenia wyznacznika. Policz i dla trzeciego elementu w wierszu lub kolumnie odniesienia. Oto szybki sposób obliczenia kofaktora a₁₃ w naszym przykładzie:

• Przekreśl pierwszy wiersz i trzecią kolumnę, aby uzyskać [²₄ ⁴₆].
• Wyznacznikiem jest 2*6 – 4*4 = -4.
• Pomnóż przez element a₁₃: -4 * 3 = -12.
• Element a₁₃ symbol + w tabeli symboli, więc odpowiedź brzmi - 12.

Krok 8. Zsumuj wyniki swoich trzech zliczeń

To już ostatni krok. Obliczyłeś trzy kofaktory, po jednym dla każdego elementu w wierszu lub kolumnie. Dodaj te wyniki, a znajdziesz wyznacznik macierzy 3x3.

W tym przykładzie wyznacznikiem macierzy jest - 34 + 120 + - 12 = 74.

Część 2 z 2: Łatwiejsze rozwiązywanie problemów

Krok 1. Wybierz wiersz lub kolumnę referencji, które mają najwięcej zer

Pamiętaj, że możesz wybrać dowolny wiersz lub kolumnę. Cokolwiek wybierzesz, odpowiedź będzie taka sama. Jeśli wybierzesz wiersz lub kolumnę z liczbą 0, wystarczy obliczyć kofaktor z elementami, które nie mają wartości 0, ponieważ:

• Na przykład wybierz drugi wiersz, który zawiera element a₂₁, a₂₂, fundusz₂₃. Aby rozwiązać ten problem, użyjemy 3 różnych macierzy 2 x 2, powiedzmy A₂₁, A₂₂, Ty₂₃.
• Wyznacznikiem macierzy 3x3 jest a₂₁|A₂₁| - a₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃|.
• Jeśli₂₂ fundusz₂₃ wartość 0, istniejąca formuła będzie a₂₁|A₂₁| - 0*|A₂₂| + 0*|A₂₃| = a₂₁|A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁|A₂₁|. Dlatego obliczymy tylko kofaktor tylko jednego pierwiastka.

Krok 2. Użyj dodatkowych wierszy, aby ułatwić problemy z macierzą

Jeśli weźmiesz wartości z jednego wiersza i dodasz je do drugiego, wyznacznik macierzy się nie zmieni. To samo dotyczy kolumn. Możesz to zrobić wielokrotnie lub pomnożyć przez stałą przed dodaniem jej, aby uzyskać jak najwięcej zer w macierzy. Pozwala to zaoszczędzić sporo czasu.

• Na przykład masz macierz z 3 wierszami: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
• Aby wyeliminować liczbę 9, która jest na pozycji a₁₁, możesz pomnożyć wartość w drugim wierszu przez -3 i dodać wynik do pierwszego wiersza. Teraz nowa pierwsza linia to [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
• Nowa macierz ma wiersze [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Użyj tej samej sztuczki na kolumnach, aby zrobić₁₂ być liczbą 0.

Krok 3. Użyj szybkiej metody dla macierzy trójkątnych

W tym szczególnym przypadku wyznacznikiem jest iloczyn elementów na głównej przekątnej a₁₁ w lewym górnym rogu do₃₃ w prawym dolnym rogu macierzy. Ta matryca to wciąż macierz 3x3, ale macierz „trójkątna” ma specjalny wzór liczb, które nie są 0:

• Górna macierz trójkątna: Wszystkie elementy, które nie są zerami, znajdują się na głównej przekątnej lub nad nią. Wszystkie liczby poniżej głównej przekątnej to 0.
• Dolna macierz trójkątna: Wszystkie elementy, które nie mają wartości 0, znajdują się na głównej przekątnej lub poniżej niej.
• Macierz przekątna: Wszystkie elementy, które nie mają wartości 0, znajdują się na głównej przekątnej (podzbiór powyższych typów macierzy).

Porady

• Jeśli wszystkie elementy w rzędzie lub kolumnie mają wartość 0, wyznacznikiem macierzy jest 0.
• Ta metoda może być stosowana dla wszystkich rozmiarów macierzy kwadratowych. Na przykład, jeśli użyjesz tej metody dla macierzy rzędu 4x4, twój „strajk” pozostawi macierz rzędu 3x3, której wyznacznik można określić, wykonując powyższe kroki. Pamiętaj, że robienie tego może być nudne!