3 sposoby rozwiązywania równań sześciennych

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-16 19:50

Kiedy po raz pierwszy znajdziesz równanie sześcienne (które ma postać ax ³ + bx ² + cx + d = 0), być może uważasz, że problem będzie trudny do rozwiązania. Ale wiedz, że rozwiązywanie równań sześciennych istnieje od wieków! To rozwiązanie, odkryte przez włoskich matematyków Niccolò Tartaglia i Gerolamo Cardano w XVI wieku, jest jedną z pierwszych formuł znanych w starożytnej Grecji i Rzymie. Rozwiązywanie równań sześciennych może być trochę trudne, ale przy odpowiednim podejściu (i wystarczającej wiedzy) można rozwiązać nawet najtrudniejsze równania sześcienne.

Krok

Metoda 1 z 3: Rozwiązywanie za pomocą równań kwadratowych

Krok 1. Sprawdź, czy twoje równanie sześcienne ma stałą

Jak stwierdzono powyżej, formą równania sześciennego jest ax ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, a wartość d może wynosić 0 bez wpływu na formę tego równania sześciennego; oznacza to w zasadzie, że równanie sześcienne nie zawsze musi zawierać wartość bx ², cx lub d będą równaniem sześciennym. Aby zacząć używać tego dość łatwego sposobu rozwiązywania równań sześciennych, sprawdź, czy twoje równanie sześcienne ma stałą (lub wartość d). Jeśli twoje równanie nie ma stałej lub wartości dla d, możesz użyć równania kwadratowego, aby znaleźć odpowiedź na równanie sześcienne po kilku krokach.

Z drugiej strony, jeśli twoje równanie ma stałą wartość, będziesz potrzebować innego rozwiązania. Zobacz poniższe kroki, aby poznać inne podejścia

Krok 2. Rozłóż na czynniki wartość x z równania sześciennego

Ponieważ twoje równanie nie ma stałej wartości, wszystkie jego składniki mają zmienną x. Oznacza to, że tę wartość x można wyliczyć z równania, aby je uprościć. Wykonaj ten krok i przepisz swoje równanie sześcienne w postaci x (ax ² + bx + c).

Załóżmy na przykład, że oryginalne równanie sześcienne to 3 x ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Rozkładając na czynniki jedną zmienną x z tego równania, otrzymujemy równanie x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Krok 3. Użyj równań kwadratowych do rozwiązania równań w nawiasach

Możesz zauważyć, że niektóre z twoich nowych równań, które są ujęte w nawiasy, mają postać równania kwadratowego (ax ² + bx + c). Oznacza to, że możemy znaleźć wartość potrzebną do uczynienia tego równania równym zero, podstawiając a, b i c do wzoru równania kwadratowego ({- b +/-√ (b ²- 4 ac)}/2 a). Wykonaj te obliczenia, aby znaleźć dwie odpowiedzi na swoje równanie sześcienne.

• W naszym przykładzie wstaw wartości a, b i c (odpowiednio 3, -2 i 14) do równania kwadratowego w następujący sposób:

  {- b +/-√ (b ²- 4 AC)}/2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Odpowiedź 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12,8 i }/6

• Odpowiedź 2:

  {2 - 12,8 w }/6

Krok 4. Użyj zer i odpowiedzi na równanie kwadratowe jako odpowiedzi na równanie sześcienne

Równania kwadratowe będą miały dwie odpowiedzi, podczas gdy równania sześcienne mają trzy odpowiedzi. Znasz już dwie odpowiedzi z trzech; które otrzymujesz z „kwadratowej” części równania w nawiasach. Jeśli twoje równanie sześcienne można rozwiązać przez „faktoryzację” w ten sposób, twoja trzecia odpowiedź jest prawie zawsze 0. Bezpieczna! Właśnie rozwiązałeś równanie sześcienne.

Powodem, dla którego ta metoda działa, jest fundamentalny fakt, że „każda liczba pomnożona przez zero równa się zero”. Kiedy rozłożysz swoje równanie na formę x (ax ² + bx + c) = 0, po prostu dzielisz to na dwie „części”; jedna część to zmienna x po lewej stronie, a druga część to równanie kwadratowe w nawiasach. Jeśli jedna z tych dwóch części ma wartość zero, to całe równanie również będzie równe zero. Zatem dwie odpowiedzi na równanie kwadratowe w nawiasach, które dawałyby zero, są odpowiedziami na równanie sześcienne, jak również samo 0 – co oznaczałoby, że część po lewej stronie również byłaby zerowa.

Metoda 2 z 3: Znajdowanie odpowiedzi liczb całkowitych za pomocą listy czynników

Krok 1. Upewnij się, że twoje równanie sześcienne ma stałą wartość

Chociaż metody opisane powyżej są dość łatwe w użyciu, ponieważ nie trzeba uczyć się nowej techniki obliczeniowej, aby z nich korzystać, nie zawsze pomagają w rozwiązywaniu równań sześciennych. Jeśli twoje równanie sześcienne ma postać ax ³ + bx ² + cx + d = 0, gdzie wartość d nie jest równa zero, powyższa metoda „faktoryzacji” nie działa, więc aby rozwiązać ten problem, musisz użyć jednej z metod opisanych w tej sekcji.

Na przykład powiedzmy, że mamy równanie 2 x ³ + 9x ² + 13 x = -6. W tym przypadku, aby uzyskać zero po prawej stronie równania, musimy dodać 6 po obu stronach. Następnie otrzymamy nowe równanie 2 x ³ + 9x ² + 13 x + 6 = 0, przy wartości d = 6, więc nie możemy zastosować metody „faktoryzacji” jak w poprzedniej metodzie.

Krok 2. Znajdź współczynniki a i d

Aby rozwiązać swoje równanie sześcienne, zacznij od znalezienia współczynnika a (współczynnik x ³) i d (stała wartość na końcu równania). Pamiętaj, że czynniki to liczby, które można pomnożyć przez siebie, aby otrzymać określoną liczbę. Na przykład, ponieważ możesz uzyskać 6, mnożąc 6 × 1 i 2 × 3, 1, 2, 3 i 6 są dzielnikami 6.

• W przykładowym zadaniu, którego używamy, a = 2 i d = 6. Współczynnik 2 to 1 i 2. Podczas gdy współczynnik 6 to 1, 2, 3 i 6.

  

  Krok 3. Podziel czynnik a przez czynnik d

  Następnie wypisz wartości, które uzyskasz, dzieląc każdy czynnik a przez każdy czynnik d. To obliczenie zwykle daje wiele wartości ułamkowych i kilka liczb całkowitych. Wartość całkowita do rozwiązania równania sześciennego jest jedną z liczb całkowitych uzyskanych z obliczeń.

  W naszym równaniu podziel wartość współczynnika a (1, 2) przez współczynnik d (1, 2, 3, 6) i uzyskaj następujące wyniki: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 i 2/3. Następnie dodajmy do listy wartości ujemne, a otrzymujemy: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 i -2/3. Na liście znajduje się odpowiedź na równanie sześcienne, które jest liczbą całkowitą.

  

  Krok 4. Użyj dzielenia syntetycznego, aby ręcznie sprawdzić swoje odpowiedzi

  Gdy masz już listę wartości taką jak powyższa, możesz wyszukać wartości całkowite, które są odpowiedziami na twoje równanie sześcienne, wprowadzając każdą liczbę całkowitą ręcznie i znaleźć, która wartość zwraca zero. Jeśli jednak nie chcesz tracić czasu na robienie tego, istnieje sposób, aby zrobić to szybciej, a mianowicie za pomocą obliczenia zwanego dzieleniem syntetycznym. Zasadniczo podzielisz swoją wartość całkowitą przez oryginalne współczynniki a, b, c i d w swoim równaniu sześciennym. Jeśli reszta wynosi zero, to ta wartość jest jedną z odpowiedzi na twoje równanie sześcienne.

  • Podział syntetyczny to złożony temat - zobacz poniższy link, aby uzyskać więcej informacji. Oto przykład, jak znaleźć jedną z odpowiedzi na swoje równanie sześcienne z podziałem syntetycznym:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Ponieważ otrzymujemy wynik końcowy równy 0, wiemy, że jedną z liczb całkowitych odpowiedzi na nasze równanie sześcienne jest - 1.

  Metoda 3 z 3: Stosowanie podejścia dyskryminującego

  

  Krok 1. Zapisz równania a, b, c i d

  Aby w ten sposób znaleźć odpowiedź na równanie sześcienne, wykonamy wiele obliczeń ze współczynnikami w naszym równaniu. Z tego powodu dobrym pomysłem jest zanotowanie wartości a, b, c i d, zanim zapomnisz o którejkolwiek z wartości.

  Na przykład dla równania x ³ - 3x ² + 3 x - 1, zapisz to jako a = 1, b = -3, c = 3 i d = -1. Nie zapominaj, że gdy zmienna x nie ma współczynnika, jej wartość wynosi 1.

  

  Krok 2. Oblicz 0 = b ² - 3 klimatyzatory.

  Dyskryminacyjne podejście do znajdowania odpowiedzi na równania sześcienne wymaga skomplikowanych obliczeń, ale jeśli będziesz dokładnie postępować zgodnie z instrukcjami, może być bardzo przydatne do rozwiązywania równań sześciennych, które są trudne do rozwiązania innymi sposobami. Na początek znajdź wartość 0, która jest pierwszą znaczącą wartością z kilku, których potrzebujemy, wstawiając odpowiednią wartość do wzoru b ² - 3 klimatyzatory.

  • W przykładzie, którego używamy, rozwiążemy to w następujący sposób:

    b ² - 3 ac

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Krok 3. Oblicz 1= 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² D.

  Następna znacząca wartość, której potrzebujemy, 1, wymaga dłuższego obliczenia, ale można ją znaleźć w taki sam sposób jak 0. Wstaw odpowiednią wartość do wzoru 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d, aby uzyskać wartość 1.

  • W tym przykładzie rozwiązujemy to w następujący sposób:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Krok 4. Oblicz = 1² - 4Δ0³) -27 lat ².

  Następnie obliczamy wartość „dyskryminującą” wartości 0 i 1. Dyskryminator to liczba, która dostarcza informacji o pierwiastku wielomianu (być może nieświadomie zapamiętałeś kwadratowy wzór na dyskryminację: b ² - 4 klimatyzatory). W przypadku równania sześciennego, jeśli wartość dyskryminatora jest dodatnia, równanie ma trzy odpowiedzi liczb rzeczywistych. Jeśli wartość dyskryminacyjna jest równa zero, to równanie ma jedną lub dwie odpowiedzi liczb rzeczywistych, a niektóre odpowiedzi mają tę samą wartość. Jeśli wartość jest ujemna, równanie ma tylko jedną odpowiedź w postaci liczby rzeczywistej, ponieważ wykres równania zawsze przynajmniej raz przetnie oś x.)

  • W tym przykładzie, ponieważ zarówno 0, jak i 1 = 0, znalezienie wartości jest bardzo łatwe. Wystarczy to obliczyć w następujący sposób:

    1² - 4Δ0³) -27 lat ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, więc nasze równanie ma 1 lub 2 odpowiedzi.

  

  Krok 5. Oblicz C = ³(√((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

  Ostatnią ważną dla nas wartością jest wartość C. Ta wartość pozwala nam uzyskać wszystkie trzy pierwiastki naszego równania sześciennego. Rozwiąż jak zwykle, podłączając do formuły wartości 1 i 0.

  • W tym przykładzie otrzymamy wartość C przez:

    ³(√((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Krok 6. Oblicz trzy pierwiastki równania za pomocą swojej zmiennej

  Pierwiastek (odpowiedź) twojego równania sześciennego określa wzór (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a, gdzie u = (-1 + (-3))/2 i n jest równe 1, 2 lub 3. Wprowadź swoje wartości do wzoru, aby je rozwiązać - może być wiele obliczeń, które musisz wykonać, ale powinieneś otrzymać wszystkie trzy odpowiedzi na równania sześcienne!

  • W tym przykładzie możemy to rozwiązać, sprawdzając odpowiedzi, gdy n równa się 1, 2 i 3. Odpowiedź, którą otrzymujemy z tego obliczenia, jest możliwą odpowiedzią na nasze równanie sześcienne - dowolną wartość wstawiamy do równania sześciennego i daje ona ten sam wynik.z 0, jest poprawną odpowiedzią. Na przykład, jeśli otrzymamy odpowiedź równą 1, jeśli w jednym z naszych eksperymentów obliczeniowych wstawimy wartość 1 do równania x ³ - 3x ² + 3 x - 1 daje wynik końcowy równy 0. Zatem

    Krok 1. jest jedną z odpowiedzi na nasze równanie sześcienne.