Pochodnych można używać do wyprowadzania przydatnych cech z wykresu, takich jak wartości maksymalne, minimalne, szczytowe, dolne i nachylenia. Możesz nawet użyć go do wykreślenia złożonych równań bez kalkulatora graficznego! Niestety praca nad instrumentami pochodnymi jest często żmudna, ale ten artykuł pomoże Ci w kilku poradach i trikach.
Krok
Krok 1. Zrozum notację pochodną
Poniższe dwie notacje są najczęściej używane, chociaż wiele innych można znaleźć tutaj na Wikipedii.
- Notacja Leibniza Ta notacja jest najczęściej używaną notacją, gdy równanie obejmuje yix. dy/dx dosłownie oznacza pochodną y względem x. Przydatne może być myślenie o tym jako y/Δx dla bardzo różnych wartości x i y. Wyjaśnienie to prowadzi do zdefiniowania granicy pochodnej: limh->0 (f(x+h)-f(x))/h. Używając tego zapisu dla drugiej pochodnej, należy napisać: d2r/dx2.
- Notacja Lagrange'a Pochodna funkcji f jest również zapisywana jako f'(x). Ten zapis brzmi f akcentowane x. Ta notacja jest krótsza niż notacja Leibniza i jest pomocna podczas przeglądania pochodnych jako funkcji. Aby utworzyć większy stopień pochodnej, po prostu dodaj ' do f, więc druga pochodna będzie f''(x).
Krok 2. Zrozum znaczenie pochodnej i przyczyny pochodzenia
Najpierw, aby znaleźć nachylenie wykresu liniowego, bierze się dwa punkty na linii, a ich współrzędne są wprowadzane do równania (y2 - tak1)/(x2 - x1). Można go jednak używać tylko w przypadku wykresów liniowych. W przypadku równań kwadratowych i wyższych linia będzie krzywą, więc znalezienie różnicy między dwoma punktami nie jest zbyt dokładne. Aby znaleźć nachylenie stycznej na wykresie krzywej, bierze się dwa punkty i wprowadza do ogólnego równania, aby znaleźć nachylenie wykresu krzywej: [f(x + dx) - f(x)]/dx. Dx oznacza delta x, która jest różnicą między dwiema współrzędnymi x w dwóch punktach wykresu. Zauważ, że to równanie jest takie samo jak (y2 - tak1)/(x2 - x1), tylko w innej formie. Ponieważ wiadomo było, że wyniki będą nieprecyzyjne, zastosowano podejście pośrednie. Aby znaleźć nachylenie stycznej na (x, f(x)), dx musi być bliskie 0, aby dwa narysowane punkty złączyły się w jeden punkt. Jednak nie możesz podzielić 0, więc po wprowadzeniu wartości dwupunktowych będziesz musiał użyć faktoryzacji i innych metod, aby usunąć dx z dołu równania. Kiedy już to zrobisz, zrób dx 0 i gotowe. Jest to nachylenie stycznej na (x, f(x)). Pochodna równania jest ogólnym równaniem do znajdowania nachylenia dowolnej stycznej na wykresie. Może się to wydawać bardzo skomplikowane, ale poniżej znajduje się kilka przykładów, które pomogą wyjaśnić, jak uzyskać pochodną.
Metoda 1 z 4: Wyraźne instrumenty pochodne
Krok 1. Użyj jawnej pochodnej, jeśli twoje równanie ma już y po jednej stronie
Krok 2. Wstaw równanie do równania [f(x + dx) - f(x)]/dx
Na przykład, jeśli równanie to y = x2, pochodna wyniesie [(x + dx)2 - x2]/dx.
Krok 3. Rozwiń i usuń dx, aby utworzyć równanie [dx(2x + dx)]/dx
Teraz możesz rzucić dwa dx na górze i na dole. Wynik to 2x + dx, a gdy dx zbliża się do zera, pochodna wynosi 2x. Oznacza to, że nachylenie dowolnego stycznego wykresu y = x2 jest 2x. Wystarczy wpisać wartość x punktu, dla którego chcesz znaleźć nachylenie.
Krok 4. Naucz się wzorców wyprowadzania podobnych równań
Oto kilka przykładów.
- Każdy wykładnik to potęga razy wartość podniesiona do potęgi mniejszej niż 1. Na przykład pochodna x5 jest 5x4, a pochodna x3, 5 iis3, 5x2, 5. Jeśli przed x jest już liczba, pomnóż ją przez potęgę. Na przykład pochodna 3x4 jest 12x3.
- Pochodna dowolnej stałej wynosi zero. Tak więc pochodna 8 wynosi 0.
- Pochodną sumy jest suma odpowiednich pochodnych. Na przykład pochodna x3 + 3x2 jest 3x2 + 6x.
- Pochodna iloczynu to pierwszy czynnik razy pochodna drugiego czynnika plus drugi czynnik razy pochodna pierwszego czynnika. Na przykład pochodna x3(2x + 1) to x3(2) + (2x + 1)3x2, co jest równe 8x3 + 3x2.
- Pochodna ilorazu (powiedzmy, f/g) to [g(pochodna f) - f(pochodna g)]/g2. Na przykład pochodna (x2 + 2x - 21)/(x - 3) to (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
Metoda 2 z 4: Niejawne pochodne
Krok 1. Użyj niejawnych pochodnych, jeśli twoje równanie nie może być zapisane z y po jednej stronie
W rzeczywistości, gdybyś napisał y z jednej strony, obliczenie dy/dx byłoby nużące. Oto przykład rozwiązania tego typu równania.
Krok 2. W tym przykładzie x2r + 2 lata3 = 3x + 2y, zamień y na f(x), żeby zapamiętać, że y jest właściwie funkcją.
Równanie staje się wtedy x2f(x) + 2[f(x)]3 = 3x + 2f(x).
Krok 3. Aby znaleźć pochodną tego równania, wyprowadź obie strony równania względem x
Równanie staje się wtedy x2f'(x) + 2xf(x) + 6[f(x)]2f'(x) = 3 + 2f'(x).
Krok 4. Ponownie zamień f(x) na y
Uważaj, aby nie zastąpić f'(x), które jest różne od f(x).
Krok 5. Znajdź f'(x)
Odpowiedź dla tego przykładu to (3 - 2xy)/(x2 + 6 lat2 - 2).
Metoda 3 z 4: Instrumenty pochodne wyższego rzędu
Krok 1. Wyprowadzenie funkcji wyższego rzędu oznacza, że wyprowadzasz pochodną (do rzędu 2)
Na przykład, jeśli problem wymaga wyprowadzenia trzeciego rzędu, po prostu weź pochodną pochodnej pochodnej. W przypadku niektórych równań pochodna wyższego rzędu będzie równa 0.
Metoda 4 z 4: Zasada łańcuchowa
Krok 1. Jeśli y jest funkcją różniczkową od z, a z jest funkcją różniczkową od x, y jest funkcją złożoną od x, a pochodna y względem x (dy/dx) to (dy/du)* (du/dx)
Reguła łańcucha może być również kombinacją równań potęgowych, na przykład: (2x4 - x)3. Aby znaleźć pochodną, pomyśl o niej jak o regule mnożenia. Pomnóż równanie przez potęgę i zmniejsz o 1 do potęgi. Następnie pomnóż równanie przez pochodną równania w nawiasach, która zwiększa potęgę (w tym przypadku 2x^4 - x). Odpowiedź na to pytanie to 3(2x4 - x)2(8x3 - 1).
Porady
- Kiedy zobaczysz trudny problem do rozwiązania, nie martw się. Po prostu spróbuj rozbić go na jak najwięcej mniejszych części, stosując zasady mnożenia, ilorazu itp. Następnie opuść każdą część.
- Ćwicz z regułą mnożenia, regułą ilorazu, regułą łańcucha, a zwłaszcza z derywatami niejawnymi, ponieważ te reguły są znacznie trudniejsze w rachunku różniczkowym.
- Zrozum dobrze swój kalkulator; wypróbuj różne funkcje kalkulatora, aby dowiedzieć się, jak z nich korzystać. Warto wiedzieć, jak używać stycznych i funkcji pochodnych w kalkulatorze, jeśli są one dostępne.
- Zapamiętaj podstawowe pochodne trygonometryczne i jak ich używać.
