Wszystkie prawe trójkąty mają jeden kąt prosty (90 stopni), a przeciwprostokątna jest stroną przeciwną do tego kąta. Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem trójkąta i bardzo łatwo ją znaleźć na kilka różnych sposobów. W tym artykule dowiesz się, jak znaleźć długość przeciwprostokątnej za pomocą twierdzenia Pitagorasa, jeśli znasz długości pozostałych dwóch boków trójkąta. Następnie z tego artykułu dowiesz się, jak zidentyfikować przeciwprostokątną niektórych specjalnych trójkątów prostokątnych, które często pojawiają się na egzaminach. Wreszcie, ten artykuł nauczy Cię, jak znaleźć długość przeciwprostokątnej za pomocą prawa sinusa, jeśli znasz tylko długość jednej strony i pomiar kąta innego niż kąt prosty.
Krok
Metoda 1 z 3: Korzystanie z twierdzenia Pitagorasa
Krok 1. Naucz się twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa opisuje związek między bokami trójkąta prostokątnego. Twierdzenie to mówi, że dla dowolnego trójkąta prostokątnego o bokach wzdłuż a i b oraz przeciwprostokątnej wzdłuż c, a2 + b2 = c2.
Krok 2. Upewnij się, że twój trójkąt jest trójkątem prostokątnym
Twierdzenie Pitagorasa dotyczy tylko trójkątów prostokątnych iz definicji tylko trójkąty prostokątne mają przeciwprostokątną. Jeśli twój trójkąt ma jeden kąt, który wynosi dokładnie 90 stopni, jest to trójkąt prostokątny i możesz przejść dalej.
Kąty proste są często oznaczane w podręcznikach i egzaminach małym kwadratem w rogu rogu. Ten szczególny znak oznacza „90 stopni”
Krok 3. Przypisz zmienne a, b i c do boków trójkąta
Zmienna „c” będzie zawsze przypisana do przeciwprostokątnej, czyli najdłuższego boku. Wybierz jedną z pozostałych stron jako „a” i nazwij drugą stronę „b” (nie ma znaczenia, która strona to a, czy b; obliczenia pozostaną takie same). Następnie wstaw długości a i b do wzoru, zgodnie z następującym przykładem:
Jeśli twój trójkąt ma boki o długości 3 i 4, a do boków przypisałeś litery tak, że a = 3 i b = 4, napisałbyś swoje równanie jako: 32 + 42 = c2.
Krok 4. Znajdź kwadrat a i b
Aby znaleźć kwadrat liczby, wystarczy pomnożyć tę liczbę przez samą liczbę, aby a2 = a x a. Znajdź kwadraty a i b i podłącz je do swojego wzoru.
- Jeśli a = 3, a2 = 3 x 3 lub 9. Jeśli b = 4, b2 = 4 x 4 lub 16.
- Kiedy wstawisz te wartości do swojego równania, twoje równanie powinno teraz wyglądać tak: 9 + 16 = c2.
Krok 5. Zsumuj wartości a2 oraz b2.
Dodaj sumę do swojego równania, a otrzymasz wartość c2. Został tylko jeden krok, a rozwiążesz przeciwprostokątną!
W naszym przykładzie 9 + 16 = 25, więc byś pisał 25 = c2.
Krok 6. Znajdź pierwiastek kwadratowy z c2.
Użyj funkcji pierwiastka kwadratowego na swoim kalkulatorze (lub pamięci lub tabliczce mnożenia), aby znaleźć pierwiastek kwadratowy z c2. Odpowiedź brzmi: długość przeciwprostokątnej!
W naszym przykładzie C2 = 25. Pierwiastek kwadratowy z 25 to 5 (5x5 = 25, więc Korzeń(25) = 5). To znaczy, c = 5, długość naszej przeciwprostokątnej!
Metoda 2 z 3: Znalezienie przeciwprostokątnej specjalnego trójkąta prostokątnego
Krok 1. Naucz się rozpoznawać trójkąty za pomocą Trójki Pitagorasa
Długości boków trójki pitagorejskiej są liczbami całkowitymi zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa. Te specjalne trójkąty często pojawiają się w podręcznikach geometrii i standardowych egzaminach, takich jak ONZ. Jeśli pamiętasz zwłaszcza pierwsze 2 trójki pitagorejskie, możesz zaoszczędzić dużo czasu na tych testach, ponieważ szybko odkryjesz przeciwprostokątną jednego z tych trójkątów, patrząc tylko na długości boków!
- Pierwsza trójka pitagorejska była 3-4-5 (32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25). Gdy zobaczysz trójkąt prostokątny o długościach 3 i 4, od razu uwierzysz, że jego przeciwprostokątna ma wartość 5 bez konieczności wykonywania jakichkolwiek obliczeń.
-
Potrójny stosunek Pitagorasa jest prawdziwy, nawet jeśli boki są pomnożone przez inną liczbę. Na przykład prawy trójkąt z długością nóg
Krok 6. da
Krok 8. będzie miał przeciwprostokątną
Krok 10. (62 + 82 = 102, 36 + 64 = 100). To samo dotyczy 9-12-15, i nawet 1, 5-2-2, 5. Wypróbuj obliczenia i przekonaj się sam!
- Druga trójka pitagorejska, która często pojawia się na egzaminach, to: 5-12-13 (52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169). Zwróć także uwagę na wielokrotności, takie jak 10-24-26 oraz 2, 5-6-6, 5.
Krok 2. Zapamiętaj stosunek boków trójkąta prostokątnego 45-45-90
Trójkąt prostokątny 45-45-90 ma kąty 45, 45 i 90 stopni i jest również nazywany trójkątem równoramiennym. Trójkąt ten pojawia się często na standardowych egzaminach i jest bardzo łatwym do rozwiązania trójkątem. Stosunek boków tego trójkąta wynosi 1:1:Korzeń(2), co oznacza, że długości nóg są takie same, a długość przeciwprostokątnej to po prostu długość nóg pomnożona przez pierwiastek kwadratowy z dwóch.
- Aby obliczyć przeciwprostokątną tego trójkąta na podstawie długości jednej z jego nóg, po prostu pomnóż długość nogi przez Sqrt(2).
- Znajomość tych porównań jest pomocna, zwłaszcza gdy w pytaniach egzaminacyjnych lub domowych podają długości boków jako zmienne zamiast liczb całkowitych.
Krok 3. Przestudiuj proporcje boczne trójkąta prostokątnego 30-60-90
Te trójkąty mają kąty 30, 60 i 90 stopni i występują, gdy przecinasz trójkąt równoboczny na pół. Boki trójkąta prostokątnego 30-60-90 zawsze mają stosunek 1:Korzeń(3):2, lub x:Korzeń(3)x:2x. Gdybyś miał długość jednej nogi trójkąta prostokątnego 30-60-90 i poprosił o znalezienie przeciwprostokątnej, ten problem byłby bardzo łatwy do wykonania:
-
Jeśli otrzymasz długość najkrótszej nogi (przeciwnie pod kątem 30 stopni), po prostu pomnóż długość nogi przez 2, aby znaleźć długość przeciwprostokątnej. Na przykład, jeśli długość najkrótszej nogi to
Krok 4., wiesz, że długość przeciwprostokątnej musi być
Krok 8..
-
Jeśli podano długość dłuższej nogi (przeciwnie do kąta 60 stopni), pomnóż tę długość przez 2/Korzeń(3) znaleźć długość przeciwprostokątnej. Na przykład, jeśli długość dłuższej nogi wynosi
Krok 4., wiesz, że długość przeciwprostokątnej określonej wynosi 4, 62.
Metoda 3 z 3: Znalezienie przeciwprostokątnej za pomocą prawa sinusa
Krok 1. Zrozum znaczenie „Sinus”
Terminy „sinus”, „cosinus” i „styczna” odnoszą się do różnych stosunków między kątami i/lub bokami trójkąta prostokątnego. sinus kąt jest zdefiniowany jako długość boku przeciwnego do kąta podzielony przez przeciwprostokątna trójkąta. Skrót od sinusa w równaniach i kalkulatorach to grzech.
Krok 2. Naucz się obliczać sinus
Nawet podstawowe kalkulatory naukowe mają funkcję sinusoidalną. Poszukaj przycisku z napisem grzech. Aby znaleźć sinus kąta, zwykle naciskasz klawisz grzech a następnie wprowadź pomiar kąta w stopniach. Jednak w niektórych kalkulatorach musisz najpierw wprowadzić pomiar kąta, a następnie nacisnąć przycisk grzech. Będziesz musiał poeksperymentować ze swoim kalkulatorem lub sprawdzić instrukcję, aby dowiedzieć się, której metody użyć.
- Aby znaleźć sinus o kącie 80 stopni, musisz wpisać grzech 80 po którym następuje znak równości lub Enter, lub 80 grzechów. (Odpowiedź brzmi -0, 9939.)
- Możesz także wpisać „kalkulator sinusowy” w wyszukiwarce internetowej i poszukać łatwych w użyciu kalkulatorów, które pozwolą uniknąć zgadywania.
Krok 3. Naucz się prawa sinusa
Prawo sinusów jest przydatnym narzędziem do rozwiązywania trójkątów. W szczególności to prawo może pomóc w znalezieniu przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, jeśli znasz długość jednego boku i pomiar kąta innego niż ten prosty. Dla dowolnego trójkąta z bokami a, b, oraz Ci kąty A, b, oraz C, Prawo Sine stwierdza, że: a / grzech A = b / grzech B = c / grzech C.
Prawo sinusów można właściwie wykorzystać do rozwiązania dowolnego trójkąta, ale tylko trójkąty prostokątne mają przeciwprostokątną
Krok 4. Przypisz zmienne a, b i c do boków trójkąta
Przeciwprostokątna (najdłuższy bok) musi być „c”. Dla wygody oznacz „a” dla boku o znanej długości i oznacz „b” dla drugiej strony. Kąt prosty naprzeciwko przeciwprostokątnej to „C”. Kąt przeciwnej stronie „a” to kąt „A”, a kąt przeciwnej stronie „b” to „B”.
Krok 5. Oblicz pomiar trzeciego kąta
Ponieważ jest to kąt prosty, już to wiemy C = 90 stopni, a ty też znasz pomiary A lub b. Ponieważ pomiar wewnętrznego stopnia trójkąta zawsze wynosi 180 stopni, możesz łatwo obliczyć pomiar kątów wszystkich trzech za pomocą wzoru: 180 – (90 + A) = B. Możesz także odwrócić równanie na 180 – (90 + B) = A.
Na przykład, jeśli wiesz, że A = 40 stopni, B = 180 – (90 + 40). Uprość to, aby B = 180 – 130i możesz to szybko ustalić B = 50 stopni.
Krok 6. Sprawdź swój trójkąt
W tym kroku znasz już wymiary trzech kątów i długość boku a. Teraz nadszedł czas, aby umieścić te informacje w równaniach prawa sinusa, aby określić długości pozostałych dwóch boków.
Kontynuując nasz przykład, powiedzmy, że długość boku a = 10. Kąt C = 90 stopni, kąt A = 40 stopni i kąt B = 50 stopni
Krok 7. Zastosuj prawo sinusa do swojego trójkąta
Musimy tylko wstawić nasze liczby i rozwiązać następujące równanie, aby znaleźć długość przeciwprostokątnej c: długość boku a / sin A = długość boku c / sin C. To równanie może wyglądać trochę przerażająco, ale sinus 90 stopni jest zawsze taki sam i zawsze równy 1! W ten sposób nasze równanie można uprościć do: a / grzech A = c / 1, Lub tylko a / grzech A = c.
Krok 8. Podziel długość boku a z sinusem kąta Aby znaleźć długość przeciwprostokątnej!
Możesz go znaleźć w dwóch oddzielnych krokach, najpierw obliczając grzech A i zapisując wynik, a następnie dzieląc przez a. Możesz też wpisać wszystko do kalkulatora jednocześnie. Jeśli korzystasz z kalkulatora, pamiętaj, aby umieścić nawiasy po znaku dzielenia. Na przykład wpisz 10 / (grzech 40) lub 10 / (40 grzech), w zależności od kalkulatora.
