Wektor to wielkość fizyczna, która ma zarówno wielkość, jak i kierunek (np. prędkość, przyspieszenie i przemieszczenie), w przeciwieństwie do skalara, który składa się tylko z wielkości (np. prędkości, odległości lub energii). Jeśli skalary można dodać przez dodanie wielkości (np. praca 5 kJ plus praca 6 kJ równa się pracy 11 kJ), wektory są nieco trudne do dodania lub odjęcia. Zobacz krok 1 poniżej, aby poznać kilka sposobów dodawania lub odejmowania wektorów.
Krok
Metoda 1 z 3: Dodawanie i odejmowanie wektorów, których składniki są znane
Krok 1. Zapisz składowe wymiarowe wektora w notacji wektorowej
Ponieważ wektory mają wielkość i kierunek, zwykle można je podzielić na części na podstawie wymiarów x, y i/lub z. Wymiary te są zwykle zapisywane w podobnej notacji, aby opisać punkt w układzie współrzędnych (np. i innych). Jeśli znasz tę część, dodawanie lub odejmowanie wektorów jest bardzo łatwe, po prostu dodaj lub odejmij ich współrzędne x, y i z.
- Zwróć uwagę, czy wymiary wektora wynoszą 1, 2 lub 3. Zatem wektor może mieć składowe x, x i y lub x, y i z. W poniższym przykładzie użyto wektora 3-wymiarowego, ale proces jest podobny do wektora 1- lub 2-wymiarowego.
- Załóżmy, że mamy dwa trójwymiarowe wektory, wektor A i wektor B. Możemy zapisać te wektory za pomocą notacji wektorowej, takiej jak A = i B =, gdzie a1 i a2 są składnikami x, b1 i b2 są składnikami y, a c1 i c2 są składnikami z.
Krok 2. Aby dodać dwa wektory, dodaj ich składowe
Jeśli znane są dwa składniki wektora, możesz dodać wektory, dodając składniki każdego z nich. Innymi słowy, dodaj składnik x pierwszego wektora do składnika x drugiego wektora i zrób to samo dla y i z. Odpowiedź, jaką otrzymasz po zsumowaniu składowych x, y i z tych wektorów, to składowe x, y i z twojego nowego wektora.
- W ogólnych warunkach, A+B =.
- Dodajmy dwa wektory A i B. A = i B =. A + B =, lub.
Krok 3. Aby odjąć oba wektory, odejmij ich składniki
Jak omówimy później, odejmowanie jednego wektora od drugiego można traktować jako dodanie jego wektorów odwrotnych. Jeśli znane są składowe obu wektorów, można odjąć jeden wektor od drugiego, odejmując pierwszą składową od drugiej (lub dodając ujemne składowe obu).
- W ogólnych warunkach, A-B =
- Odejmijmy dwa wektory A i B. A = i B =. A - B =, lub.
Metoda 2 z 3: Dodawanie i odejmowanie za pomocą obrazów przy użyciu metody głowy i ogona
Krok 1. Symbolizuj wektor, rysując go za pomocą głowy i ogona
Ponieważ wektory mają zarówno wielkość, jak i kierunek, możemy powiedzieć, że mają ogon i głowę. Innymi słowy, wektor ma punkt początkowy i punkt końcowy, który wskazuje kierunek wektora, którego odległość od punktu początkowego jest równa wielkości wektora. Po narysowaniu wektor przyjmuje kształt strzałki. Końcówka strzałki to głowa wektora, a koniec linii wektora to ogon.
Jeśli tworzysz rysunek wektorowy z wymiarami, musisz dokładnie zmierzyć i narysować wszystkie rogi. Niewłaściwy kąt obrazu wpłynie na wynikowy wynik, gdy dwa wektory są dodawane lub odejmowane tą metodą
Krok 2. Aby dodać, narysować lub przesunąć drugi wektor tak, aby ogon spotkał się z głową pierwszego wektora
Nazywa się to łączeniem wektorów głowa-ogon. Jeśli po prostu dodajesz dwa wektory, oto co musisz zrobić przed znalezieniem wektora wynikowego.
Zauważ, że kolejność dodawania wektorów nie ma znaczenia, zakładając, że używasz tego samego punktu początkowego. Wektor A + Wektor B = Wektor B + Veltor A
Krok 3. Aby odjąć, dodaj znak ujemny do wektora
Redukcja wektorów za pomocą obrazów jest bardzo prosta. Odwróć kierunek wektora, ale zachowaj tę samą wielkość i zsumuj głowę i ogon wektora jak zwykle. Innymi słowy, aby odjąć wektor, obróć wektor o 180o i zsumuj.
Krok 4. Jeśli dodasz lub odejmiesz więcej niż dwa wektory, połącz wszystkie wektory w kolejności od głowy do ogona
Kolejność łączenia nie ma znaczenia. Ta metoda może być stosowana niezależnie od liczby wektorów.
Krok 5. Narysuj nowy wektor od ogona pierwszego wektora do głowy ostatniego wektora
Niezależnie od tego, czy dodajesz/odejmujesz dwa wektory, czy sto, wektor, który rozciąga się od początkowego punktu początkowego (ogon pierwszego wektora) do punktu końcowego twojego ostatniego wektora (głowa twojego ostatniego wektora) jest wektorem wynikowym lub suma wszystkich twoich wektorów. Zauważ, że ten wektor jest dokładnie taki sam jak wektor uzyskany przez dodanie wszystkich składowych x, y i/lub z.
- Jeśli narysujesz wszystkie wektory do odpowiednich rozmiarów, mierząc poprawnie wszystkie kąty, możesz określić wielkość wektora wynikowego, mierząc długość. Możesz również zmierzyć kąt między wypadkową a dowolnym wektorem w poziomie lub w pionie, aby określić jego kierunek.
- Jeśli nie narysujesz wszystkich wektorów zgodnie z rozmiarem, być może będziesz musiał obliczyć wielkość wypadkowej za pomocą trygonometrii. Może pomogą reguły sinusów i cosinusów. Jeśli dodasz więcej niż dwa wektory, warto dodać pierwszy wektor do drugiego, a następnie dodać wynik drugiego do trzeciego i tak dalej. Więcej informacji znajdziesz w poniższych sekcjach.
Krok 6. Narysuj wektor wynikowy, używając jego wielkości i kierunku
Wektor jest zdefiniowany przez jego długość i kierunek. Jak wyżej, zakładając, że narysowałeś swój wektor dokładnie, wielkość nowego wektora to jego długość, a jego kierunek to kąt względem kierunku pionowego lub poziomego. Użyj wektorów jednostkowych, które dodajesz lub odejmujesz, aby określić jednostki dla wielkości wektora wynikowego.
Na przykład, jeśli dodane wektory reprezentują prędkość w ms-1, to wektor wynikowy można zdefiniować jako "prędkość x ms-1 przeciwko tobie o w kierunku poziomym.
Metoda 3 z 3: Dodawanie i odejmowanie wektorów przez określenie składowych wymiarów wektora
Krok 1. Użyj trygonometrii do określenia składowych wektora
Aby znaleźć składowe wektora, zwykle musisz znać jego wielkość i kierunek względem kierunku poziomego lub pionowego oraz rozumieć trygonometrię. Zakładając wektor dwuwymiarowy, najpierw pomyśl o swoim wektorze jako o przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, którego dwa boki są równoległe do kierunków x i y. Te dwie strony można traktować jako składniki wektora od głowy do ogona, które sumują się, tworząc wektor.
- Długości obu stron są równe składowym x i y twojego wektora i można je obliczyć za pomocą trygonometrii. Jeśli x jest wielkością wektora, bok przylegający do kąta wektora (względem kierunku poziomego, pionowego i innych) jest xcos(θ), podczas gdy przeciwna strona to xsin(θ).
- Bardzo ważne jest również, aby zwrócić uwagę na kierunek swoich komponentów. Jeśli składnik wskazuje na ujemną współrzędną, otrzymuje znak ujemny. Na przykład w płaszczyźnie dwuwymiarowej, jeśli komponent wskazuje w lewo lub w dół, jest ujemny.
- Na przykład załóżmy, że mamy wektor o wielkości 3 i kierunku 135o względem poziomu. Dzięki tym informacjom możemy określić, że składnik x to 3cos(135) = - 2, 12 a składnik y to 3sin(135) = 2, 12
Krok 2. Dodaj lub odejmij dwa lub więcej powiązanych wektorów
Po znalezieniu składowych wszystkich wektorów, dodaj je, aby znaleźć składowe wektora wynikowego. Najpierw zsumuj wszystkie moduły składowych poziomych (które są równoległe do kierunku x). Oddzielnie zsumuj wszystkie wielkości składowych pionowych (które są równoległe do kierunku y). Jeśli składnik jest ujemny (-), jego wielkość jest odejmowana, a nie dodawana. Otrzymaną odpowiedzią jest składowa twojego wektora wynikowego.
Na przykład wektor z poprzedniego kroku,, zostanie dodany do wektora. W takim przypadku wypadkowy wektor przyjmuje postać lub
Krok 3. Oblicz wielkość wektora wynikowego za pomocą twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa c2=a2+b2, służy do obliczania długości boku trójkąta prostokątnego. Ponieważ trójkąt utworzony przez nasz wektor wynikowy i jego składowe jest trójkątem prostokątnym, możemy go użyć do znalezienia długości i wielkości wektora. Gdy c jest wielkością wektora wynikowego, którego szukasz, załóżmy, że a jest wielkością składnika x, a b jest wielkością składnika y. Rozwiąż za pomocą algebry.
-
Aby znaleźć wielkość wektora, którego składowych szukaliśmy w poprzednim kroku, użyj twierdzenia Pitagorasa. Rozwiąż w następujący sposób:
- C2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- C2=13, 40+47, 33
- c=√60, 73 = 7, 79
Krok 4. Oblicz kierunek wypadkowy za pomocą funkcji Tangent
Na koniec znajdź wypadkowy wektor kierunku. Użyj wzoru =tan-1(b/a), gdzie jest wielkością kąta utworzonego w kierunku x lub poziomym, b jest wielkością składowej y, a a jest wielkością składowej x.
-
Aby znaleźć kierunek naszego wektora, użyj =tan-1(b/a).
- =tan-1(-6, 88/3, 66)
- =tan-1(-1, 88)
- =-61, 99o
Krok 5. Narysuj wynikowy wektor zgodnie z jego wielkością i kierunkiem
Jak napisano powyżej, wektory są definiowane przez ich wielkość i kierunek. Upewnij się, że używasz jednostek odpowiednich do rozmiaru wektora.
Na przykład, jeśli nasz przykład wektora reprezentuje siłę (w Newtonach), to możemy ją zapisać "siła 7,79 N o -61,99 o do poziomu".
Porady
- Wektor różni się od dużego.
- Wektory o tym samym kierunku można dodawać lub odejmować, dodając lub odejmując ich wielkości. Jeśli ty podsumować dwa wektory, które są przeciwne, ich wielkości są odejmowane, a nie dodawane.
- Wektory reprezentowane w postaci x i + y j + z k można dodawać lub odejmować przez dodawanie lub odejmowanie współczynników trzech wektorów jednostkowych. Odpowiedź ma również postać i, j oraz k.
- Możesz znaleźć rozmiar trójwymiarowego wektora za pomocą wzoru a2=b2+c2+d2 gdzie a jest wielkością wektora, a b, c i d są składowymi każdego kierunku.
- Wektory kolumn można dodawać i odejmować, dodając lub odejmując wartości każdego wiersza.
