3 sposoby na uproszczenie pierwiastków kwadratowych

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-16 11:32

Uproszczenie pierwiastka kwadratowego nie jest tak trudne, jak się wydaje. Aby uprościć pierwiastek kwadratowy, wystarczy rozłożyć liczbę na czynniki i wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z każdego idealnego kwadratu znajdującego się poniżej tego pierwiastka. Jeśli pamiętasz powszechnie używane idealne kwadraty i wiesz, jak rozkładać liczby na czynniki, będziesz w stanie całkiem nieźle uprościć pierwiastki kwadratowe.

Krok

Metoda 1 z 3: Uproszczenie pierwiastków kwadratowych przez faktoring

Krok 1. Zrozum o czynnikach

Celem uproszczenia pierwiastków kwadratowych jest zapisanie ich w formie łatwej do zrozumienia i wykorzystania w zadaniach matematycznych. Dzięki faktoryzacji dużą liczbę dzieli się na dwie lub więcej mniejszych liczb „czynnikowych”, na przykład zmieniając 9 na 3 x 3. Gdy już znajdziemy ten czynnik, możemy przepisać pierwiastek kwadratowy w prostszej formie, czasami nawet zmieniając go na czynniki regularna liczba całkowita. Na przykład 9 = (3x3) = 3. Wykonaj poniższe czynności, aby poznać ten proces w bardziej złożonych pierwiastkach kwadratowych.

Krok 2. Podziel liczbę przez najmniejszą możliwą liczbę pierwszą

Jeśli liczba pod pierwiastkiem kwadratowym jest liczbą parzystą, podziel przez 2. Jeśli Twoja liczba jest nieparzysta, spróbuj podzielić przez 5. Jeśli żaden z tych podziałów nie daje liczby całkowitej, wypróbuj następną liczbę z poniższej listy, dzieląc przez każdą liczba pierwsza, aby otrzymać jako wynik liczbę całkowitą. Musisz tylko przetestować liczby pierwsze, ponieważ wszystkie inne liczby mają liczby pierwsze jako czynniki. Na przykład nie musisz testować z liczbą 4, ponieważ wszystkie liczby, które są podzielne przez 4, są również podzielne przez 2, co próbowałeś już wcześniej.

Krok 3. Przepisz pierwiastek kwadratowy jako problem z mnożenia

Zapisz to mnożenie pod pierwiastkiem kwadratowym i nie zapomnij uwzględnić obu czynników. Na przykład, jeśli próbujesz uprościć 98, wykonaj powyższe kroki, aby znaleźć, że 98 2 = 49, więc 98 = 2 x 49. Przepisz liczbę „98” w jej pierwotnym pierwiastku kwadratowym, używając tej informacji: 98 = (2 x 49).

Krok 4. Powtórz na jednej z pozostałych liczb

Zanim będziemy mogli uprościć pierwiastek kwadratowy, musimy go rozkładać na czynniki, aż stanie się dwiema dokładnie równymi liczbami. Ma to sens, jeśli pamiętasz, co oznacza pierwiastek kwadratowy: liczba (2 x 2) oznacza „liczbę, którą możesz pomnożyć przez samą siebie, równa się 2 x 2.” Oczywiście odpowiedź to 2! Mając to na uwadze, powtórzmy powyższe kroki, aby rozwiązać nasz przykładowy problem (2 x 49):

2 zostało rozłożone na czynniki tak małe, jak to możliwe. (Innymi słowy, ta liczba jest jedną z liczb pierwszych wymienionych powyżej). Na razie zignorujemy tę liczbę i najpierw spróbujemy podzielić przez 49.
49 nie da się całkowicie podzielić przez 2, przez 3 lub przez 5. Możesz to sprawdzić samodzielnie, używając kalkulatora lub używając długiego dzielenia. Ponieważ to dzielenie nie daje liczby całkowitej, zignorujemy ją i spróbujemy następnej liczby.
49 jest całkowicie podzielne przez 7. 49 7 = 7, więc 49 = 7 x 7.
Przepisz powyższy problem z: (2 x 49) = (2 x 7 x 7).

Krok 5. Rozwiąż przez „wyodrębnienie” liczby całkowitej

Po rozwiązaniu problemu na dwa dokładnie równe czynniki, możesz przekonwertować go na zwykłą liczbę całkowitą poza pierwiastkiem kwadratowym. Niech reszta czynników pozostanie w pierwiastku kwadratowym. Na przykład (2 x 7 x 7) = (2)√(7 x 7) = (2) x 7 = 7√(2).

Nawet jeśli możesz dalej rozkładać czynniki, nie będziesz musiał tego robić ponownie, gdy znajdziesz dwa dokładnie pasujące czynniki. Na przykład (16) = (4 x 4) = 4. Jeśli będziemy kontynuować faktoring, otrzymamy tę samą odpowiedź, ale w dłuższym czasie: (16) = (4 x 4) = (2 x 2 x 2 x 2) = (2 x 2)√(2 x 2) = 2 x 2 = 4

Krok 6. Pomnóż wszystkie liczby całkowite, jeśli jest więcej niż jedna

W przypadku niektórych dużych liczb pierwiastkowych można uprościć więcej niż jeden raz. Jeśli tak jest, pomnóż otrzymaną liczbę całkowitą, aby uzyskać ostateczną odpowiedź. Oto przykład:

180 = (2 x 90)
180 = (2 x 2 x 45)
180 = 2√45, ale tę wartość można jeszcze bardziej uprościć.
180 = 2√(3x15)
180 = 2√(3x3x5)
√180 = (2)(3√5)
√180 = 6√5

Krok 7. Zapisz „nie da się uprościć”, jeśli żadne dwa czynniki nie są sobie równe

Niektóre liczby pierwiastkowe są już w najprostszej postaci. Jeśli będziesz kontynuować faktoryzację, dopóki wszystkie z nich nie będą liczbami pierwszymi (jak wymieniono w powyższym kroku), a żadna z par nie będzie taka sama, nic nie możesz zrobić. Możesz otrzymać pytanie o pułapkę! Na przykład spróbuj uprościć 70:

70 = 35 x 2, więc 70 = (35 x 2)
35 = 7 x 5, więc (35 x 2) = (7 x 5 x 2)
Wszystkie trzy liczby tutaj są liczbami pierwszymi, więc nie można ich dalej rozkładać na czynniki. Te trzy liczby są różne, więc nie można wytworzyć liczby całkowitej. 70 nie można uprościć.

Metoda 2 z 3: Rozpoznawanie idealnych kwadratów

Krok 1. Zapamiętaj kilka idealnych kwadratów

Podniesienie liczby do kwadratu lub pomnożenie przez samą liczbę tworzy idealny kwadrat. Na przykład 25 jest idealnym kwadratem, ponieważ 5 x 5, czyli 5², równa się 25. Zapamiętaj co najmniej dziesięć pierwszych idealnych kwadratów, aby pomóc Ci zidentyfikować i uprościć idealne pierwiastki kwadratowe. Oto pierwsze dziesięć idealnych liczb kwadratowych:

1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81
10² = 100

Krok 2. Znajdź pierwiastek kwadratowy z idealnego kwadratu

Jeśli rozpoznasz idealny kwadrat pod pierwiastkiem, możesz natychmiast zamienić go na pierwiastek i usunąć go ze znaku (√). Na przykład, jeśli widzisz liczbę 25 pod pierwiastkiem kwadratowym, to już wiesz, że odpowiedź to 5, ponieważ 25 to kwadrat idealny. Lista jest taka sama jak powyżej, zaczynając od pierwiastka kwadratowego do odpowiedzi:

√1 = 1
√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√25 = 5
√36 = 6
√49 = 7
√64 = 8
√81 = 9
√100 = 10

Krok 3. Rozłóż liczbę na idealny kwadrat

Skorzystaj z idealnych kwadratów, kontynuując metodę dzielnika upraszczania pierwiastków kwadratowych. Jeśli znasz czynniki idealnego kwadratu, będziesz szybciej i łatwiej rozwiązywać problemy. Oto kilka wskazówek, których możesz użyć:

50 = (25 x 2) = 5√2. Jeśli ostatnie dwie cyfry liczby kończą się na 25, 50 lub 75, zawsze możesz podzielić na czynniki 25 tej liczby.
1700 = (100 x 17) = 10√17. Jeśli ostatnie dwie liczby kończą się na 00, zawsze możesz rozłożyć 100 z tej liczby.
72 = (9 x 8) = 3√8. Poznaj mnożenie przez dziewięć, aby było ci łatwiej. Oto wskazówka, jak je rozpoznać: jeśli „wszystkie” liczby w liczbie sumują się do dziewięciu, to dziewięć jest czynnikiem.
12 = (4 x 3) = 2√3. Brak tutaj konkretnych wskazówek, ale zwykle łatwo jest sprawdzić, czy mała liczba jest podzielna przez 4. Pamiętaj o tym, szukając innych czynników.

Krok 4. Rozkład liczby na więcej niż jeden idealny kwadrat

Jeśli czynniki liczby mają więcej niż jeden idealny kwadrat, wyjmij je wszystkie z pierwiastka kwadratowego. Jeśli w procesie upraszczania pierwiastka kwadratowego uzyskasz wiele idealnych kwadratów, przesuń wszystkie pierwiastki poza znak i pomnóż je wszystkie razem. Na przykład spróbuj uprościć 72:

72 = (9x8)
72 = (9x4x2)
72 = (9) x (4) x (2)
72 = 3 x 2 x 2
√72 = 6√2

Metoda 3 z 3: Zrozumienie warunków

Krok 1. Wiedz, że znak pierwiastka kwadratowego (√) jest pierwiastkiem kwadratowym

Na przykład w zadaniu 25 znak „√” jest znakiem głównym.

Krok 2. Dowiedz się, że radicand to liczba wewnątrz znaku głównego

Jest to liczba, z której musisz obliczyć pierwiastek kwadratowy. Na przykład w zadaniu 25 „25” jest pierwiastkiem kwadratowym.

Krok 3. Wiedz, że współczynnik jest liczbą poza pierwiastkiem kwadratowym

Ta liczba jest pierwiastkiem kwadratowym z mnożnika; ta liczba znajduje się na lewo od znaku korzenia. Na przykład w zadaniu 7√2 „7” jest wartością współczynnika.

Krok 4. Wiedz, że czynnik to liczba, która jest w pełni podzielna przez liczbę

Na przykład 2 to czynnik 8, ponieważ 8 4 = 2, ale 3 nie jest czynnikiem 8, ponieważ 8÷3 nie daje liczby całkowitej. Podobnie jak w innych przykładach, 5 jest współczynnikiem 25, ponieważ 5 x 5 = 25.

Krok 5. Zrozum znaczenie uproszczenia pierwiastka kwadratowego

Uproszczenie pierwiastka kwadratowego oznacza po prostu rozłożenie idealnego kwadratu pierwiastka kwadratowego na czynniki, usunięcie go na lewo od znaku pierwiastka i pozostawienie pozostałych czynników pod znakiem pierwiastka. Jeśli liczba jest idealnym kwadratem, pierwiastek zniknie, gdy zapiszesz pierwiastek. Na przykład 98 można uprościć do 7√2.

Porady

Jednym ze sposobów znalezienia idealnego kwadratu, który można rozłożyć na liczbę, jest spojrzenie na listę idealnych kwadratów, zaczynając od mniejszej niż pierwiastek kwadratowy lub od liczby poniżej tego pierwiastka. Na przykład, szukając idealnego kwadratu, który nie jest większy niż 27, zacznij od 25 i idź w dół do 16 i „zatrzymaj się na 9”, gdy znajdziesz idealny kwadrat, który dzieli 27

Ostrzeżenie

Upraszczanie to nie to samo, co obliczanie wartości. Żaden z kroków tego procesu nie wymaga podania liczby z ułamkiem dziesiętnym.
Kalkulatory mogą być pomocne w przypadku dużych liczb, ale im więcej ćwiczysz samodzielnie, tym łatwiej będzie uprościć pierwiastki kwadratowe.