Objętość obiektu reprezentuje trójwymiarową przestrzeń zajmowaną przez obiekt. Możesz również myśleć o objętości jako o tym, ile wody (lub powietrza, piasku itp.) może pomieścić kształt, jeśli kształt jest całkowicie wypełniony. Powszechnie używaną jednostką objętości jest centymetr sześcienny (cm3), metrów sześciennych (m3), cale sześcienne (in3) i stopy sześcienne (ft3). W tym artykule dowiesz się, jak obliczyć objętości sześciu różnych trójwymiarowych kształtów, które często można znaleźć na egzaminach z matematyki, w tym sześcianów, kul i stożków. Możesz zauważyć, że wiele z tych formuł objętości ma coś wspólnego, więc są łatwe do zapamiętania. Zobacz, czy możesz to rozgryźć!
Informacje w skrócie: Obliczanie objętości wspólnych formularzy
- W przypadku pełnego sześcianu lub kwadratu zmierz długość, szerokość i wysokość, a następnie pomnóż je wszystkie razem, aby uzyskać objętość. Zobacz zdjęcia i szczegóły.
- Zmierz wysokość rury i jej promień podstawy. Użyj tego promienia, aby znaleźć powierzchnię bazową za pomocą wzoru r2, a następnie pomnóż wynik przez wysokość rury. Zobacz zdjęcia i szczegóły.
- Standardowa piramida ma objętość równą x powierzchnia podstawy x wysokość. Zobacz zdjęcia i szczegóły.
- Objętość szyszki można obliczyć ze wzoru r2h, gdzie r jest promieniem podstawy, a h jest wysokością stożka. Zobacz zdjęcia i szczegóły.
-
Aby zmierzyć objętość kuli, wystarczy jej promień r. Podłącz tę wartość do wzoru 4/3r3. Zobacz zdjęcia i szczegóły.
Krok
Metoda 1 z 6: Obliczanie objętości sześcianu
Oblicz objętość Krok 1 Krok 1. Poznaj kształt sześcianu
Sześcian to trójwymiarowy kształt, który ma sześć równych kwadratowych boków. Innymi słowy, sześcian to pudełko, którego wszystkie boki są tej samej wielkości.
Sześciościenna kość to przykład kostki, którą możesz znaleźć w swoim domu. Bloki cukru i klocki z literami dla dzieci to zwykle kostki
Oblicz objętość Krok 2 Krok 2. Naucz się wzoru na objętość sześcianu
Wzór jest prosty V= s3, gdzie V oznacza objętość, a s oznacza długość boku sześcianu.
Aby znaleźć s3, pomnóż a przez jego własną wartość 3 razy: s3 = s * s * s
Oblicz objętość Krok 3 Krok 3. Zmierz długość jednego boku sześcianu
W zależności od twojego zadania, sześcian może już mieć te informacje podpisane lub będziesz musiał zmierzyć długość boków za pomocą linijki. Pamiętaj, że ponieważ jest to sześcian, wszystkie długości boków będą takie same, więc nie ma znaczenia, którą stronę mierzysz.
Jeśli nie jesteś w 100% pewien, że masz kształt sześcianu, zmierz każdy bok, aby sprawdzić, czy jest tego samego rozmiaru. Jeśli nie są takie same, musisz użyć poniższej metody, aby obliczyć objętość bloku
Oblicz objętość Krok 4 Krok 4. Wstaw długości boków do wzoru V = s3 i liczyć.
Na przykład, jeśli długość boków sześcianu wynosi 5 cali, możesz zapisać wzór w następujący sposób: V = (5 cali)3. 5 cali * 5 cali * 5 cali = 125 cali3, to objętość naszego sześcianu!
Oblicz objętość Krok 5 Krok 5. Wyraź wynik w jednostkach sześciennych
W powyższym przykładzie długości boków naszego sześcianu są mierzone w calach, więc jednostką objętości jest cal sześcienny. Jeśli długość boku wynosi na przykład 3 centymetry, objętość wynosi V = (3 cm)3lub V = 27 cm3.
Metoda 2 z 6: Obliczanie objętości bloku
Oblicz objętość Krok 6 Krok 1. Poznaj kształt bloku
Blok, zwany także prostopadłościanem, to trójwymiarowy kształt z sześcioma bokami, z których wszystkie są prostokątne. Innymi słowy, klocek jest trójwymiarowym prostokątnym kształtem lub kształtem pudełka.
Kostka to po prostu specjalny blok, którego wszystkie boki mają ten sam rozmiar
Oblicz objętość Krok 7 Krok 2. Naucz się formuły obliczania objętości prostopadłościanu
Wzór na objętość prostopadłościanu to Objętość = długość * szerokość * wysokość lub V = plt.
Oblicz objętość Krok 8 Krok 3. Znajdź długość bloku
Ta długość jest najdłuższą częścią boku belki, która jest równoległa do powierzchni, na której jest umieszczona belka. Ta długość może być już podana na schemacie lub może być konieczne zmierzenie jej za pomocą linijki lub taśmy mierniczej.
- Przykład: Długość tego bloku wynosi 4 cale, więc p = 4 cale.
- Nie przejmuj się zbytnio długością, szerokością i wysokością. Dopóki użyjesz trzech różnych pomiarów, efekt końcowy będzie taki sam, niezależnie od tego, jak je zamówisz.
Oblicz objętość Krok 9 Krok 4. Znajdź szerokość belki
Szerokość belki jest miarą krótszego boku bryły równoległej do miejsca umieszczenia belki. Ponownie poszukaj etykiety na wykresie, która wskazuje szerokość, lub zmierz ją samodzielnie za pomocą linijki lub taśmy mierniczej.
- Przykład: Szerokość tego bloku wynosi 3 cale, więc l = 3 cale.
- Jeśli mierzysz bloki za pomocą linijki lub taśmy mierniczej, upewnij się, że używasz tych samych jednostek. Nie mierz jednej strony w calach, a drugiej w centymetrach; wszystkie pomiary muszą używać tych samych jednostek!
Oblicz objętość Krok 10 Krok 5. Znajdź wysokość bloku
Ta wysokość to odległość od powierzchni belki umieszczonej do górnej części belki. Sprawdź informacje o wzroście na wykresie lub zmierz się linijką lub taśmą mierniczą.
Przykład: Wysokość tego bloku wynosi 6 cali, więc t = 6 cali
Oblicz objętość Krok 11 Krok 6. Podłącz pomiary prostopadłościanu do wzoru na objętość i oblicz je
Pamiętaj, że V = plt.
W naszym przykładzie p = 4, l = 3 i t = 6. Dlatego V = 4 * 3 * 6 lub 72
Oblicz objętość Krok 12 Krok 7. Upewnij się, że zapisałeś wynik w jednostkach sześciennych
Ponieważ nasz blok próbki jest mierzony w calach, jego objętość musi być zapisana jako 72 cale sześcienne, czyli 72 cale3.
Jeśli wymiary naszego prostopadłościanu to: długość = 2 cm, szerokość = 4 cm i wysokość = 8 cm, to objętość bloczka wynosi 2 cm * 4 cm * 8 cm, czyli 64 cm3.
Metoda 3 z 6: Obliczanie objętości probówki
Oblicz objętość Krok 13 Krok 1. Zidentyfikuj kształt tuby
Rura ma trójwymiarowy kształt z dwoma identycznymi płaskimi końcami o okrągłym kształcie i zakrzywioną stroną łączącą oba.
Puszka jest przykładem tuby, podobnie jak baterie AA lub AAA
Oblicz objętość Krok 14 Krok 2. Zapamiętaj wzór na objętość cylindra
Aby obliczyć objętość cylindra, musisz znać wysokość i promień okręgu podstawowego (odległość od środka okręgu do krawędzi) na górze i na dole. Wzór to V = r2t, gdzie V jest objętością, r jest promieniem okręgu podstawowego, t jest wysokością i jest stałą wartością pi.
- W niektórych problemach z geometrią odpowiedź będzie dotyczyć pi, ale w większości przypadków możemy zaokrąglić pi do 3, 14. Potwierdź to ze swoim instruktorem, aby zobaczyć, który preferuje.
- Wzór na znalezienie objętości cylindra jest w rzeczywistości bardzo podobny do wzoru na objętość prostopadłościanu: po prostu mnożysz wysokość kształtu przez powierzchnię podstawy. W formule prostopadłościennej ta powierzchnia wynosi p * l, podczas gdy dla walca jest to r2, czyli powierzchnia koła o promieniu r.
Oblicz objętość Krok 15 Krok 3. Znajdź promień podstawy
Jeśli podano na schemacie, użyj wartości. Jeśli zamiast promienia podano średnicę, wystarczy podzielić przez 2, aby poznać wartość promienia (d = 2r).
Oblicz objętość Krok 16 Krok 4. Zmierz obiekt, jeśli nie podano promienia
Należy pamiętać, że dokładny pomiar rurki może być dość trudny. Jednym ze sposobów jest zmierzenie dna rurki za pomocą linijki lub taśmy mierniczej. Postaraj się zmierzyć szerokość cylindra w najszerszym miejscu i podziel przez 2, aby znaleźć promień.
- Inną opcją pomiaru obwodu rurki (odległości wokół niej) jest użycie taśmy mierniczej lub kawałka sznurka, który można oznaczyć i zmierzyć długość linijką. Następnie wstaw ten pomiar do wzoru C (obwód) = 2πr. Podziel obwód przez 2π (6,28), a otrzymasz promień.
- Na przykład, jeśli mierzony obwód wynosi 8 cali, to promień wynosi 1,27 cala.
- Jeśli naprawdę potrzebujesz dokładnych pomiarów, możesz użyć obu metod, aby upewnić się, że Twoje pomiary są takie same. Jeśli nie, sprawdź oba. Metoda obwodowa zwykle daje dokładniejsze wyniki.
Oblicz objętość Krok 17 Krok 5. Oblicz obszar koła podstawowego
Wstaw wartość promienia podstawy do wzoru r.2. Następnie pomnóż promień raz przez sam i ponownie pomnóż wynik przez. Jako przykład:
- Jeśli promień twojego okręgu wynosi 4 cale, to obszar podstawowy wynosi A = 42.
- 42 = 4 * 4 lub 16. 16 * (3,14) = 50,24 cala2
- Jeśli zamiast promienia podana jest średnica podstawy, pamiętaj, że d = 2r. Wystarczy podzielić średnicę na pół, aby znaleźć promień.
Oblicz objętość Krok 18 Krok 6. Znajdź wysokość rury
Jest to odległość między dwiema połówkami koła lub odległość od powierzchni, na której umieszczona jest rura. Poszukaj na diagramie etykiety wskazującej wysokość tuby lub zmierz ją linijką lub taśmą mierniczą.
Oblicz objętość Krok 19 Krok 7. Pomnóż obszar podstawy przez wysokość cylindra, aby znaleźć objętość
Lub możesz pominąć jeden krok i wprowadzić wartości wymiarów rury do wzoru V = r2T. W naszym przykładzie z rurką o promieniu 4 cali i wysokości 10 cali:
- V = 4210
- 42 = 50, 24
- 50.24 * 10 = 502, 4
- V = 502, 4
Oblicz objętość Krok 20 Krok 8. Pamiętaj, aby podać odpowiedź w jednostkach sześciennych
Nasza próbówka jest mierzona w calach, więc jej objętość musi być wyrażona w calach sześciennych: V = 502,4 cala3. Jeśli nasz cylinder mierzymy w centymetrach, to jego objętość wyrażona będzie w centymetrach sześciennych (cm3).
Metoda 4 z 6: Obliczanie objętości zwykłej piramidy
Oblicz objętość Krok 21 Krok 1. Zrozum, czym jest zwykła piramida
Piramida to trójwymiarowy kształt z wielokątem jako podstawą i bokami bocznymi, które łączą się w oś (wierzchołek piramidy). Piramida regularna to piramida, której podstawą jest wielokąt standardowy, co oznacza, że wszystkie boki wielokąta są równe długości i wszystkie kąty są takie same.
- Zwykle myślimy o piramidzie jako mającej kwadratową podstawę, której boki kończą się punktowo, ale w rzeczywistości podstawa piramidy może mieć 5, 6, a nawet 100 boków!
- Piramida o okrągłej podstawie nazywana jest stożkiem, co zostanie omówione w następnej metodzie.
Oblicz objętość Krok 22 Krok 2. Naucz się formuły obliczania objętości zwykłej piramidy
Ta formuła to V = 1/3bt, gdzie b to powierzchnia podstawy ostrosłupa (kształt wielokąta poniżej) a t to wysokość ostrosłupa, czyli odległość w pionie od podstawy do wierzchołka.
Wzór na objętość ostrosłupa prawego jest taki sam, gdy wierzchołek znajduje się bezpośrednio nad środkiem podstawy, jak i ostrosłupa ukośnego, w którym wierzchołek nie znajduje się pośrodku
Oblicz objętość Krok 23 Krok 3. Oblicz powierzchnię bazową
Wzór na to będzie zależeć od liczby boków podstawy piramidy. W piramidzie na naszym schemacie podstawa jest kwadratem o bokach długości 6 cali. Pamiętaj, że wzór na pole kwadratu to A = s2, gdzie s to długość boku. Tak więc dla tej piramidy powierzchnia podstawy wynosi (6 cali) 2lub 36 cali2.
- Wzór na pole trójkąta to: A = 1/2bt, gdzie b to podstawa trójkąta, a t to wysokość.
- Pole powierzchni wielokąta standardowego można znaleźć za pomocą wzoru A = 1/2pa, gdzie A to pole, p to obwód kształtu, a a to apotem, czyli odległość od środka kształtu do środka jednej z jego stron. Jest to bardziej złożone obliczenie, którego nie omówimy w tym artykule, ale możesz zapoznać się z artykułem Obliczanie powierzchni wielokąta, aby dowiedzieć się, jak z niego korzystać. Możesz też uprościć ten proces i poszukać kalkulatora wielokątów online.
Oblicz objętość Krok 24 Krok 4. Znajdź wysokość piramidy
W większości przypadków zostanie to pokazane na schemacie. W naszym przykładzie wysokość piramidy wynosi 10 cali.
Oblicz objętość Krok 25 Krok 5. Pomnóż powierzchnię podstawy piramidy przez jej wysokość i podziel przez 3, aby znaleźć objętość
Pamiętaj, że formuła wolumenu to V = 1/3bt. W naszej przykładowej piramidzie, która ma powierzchnię 36 i wysokość 10, objętość wynosi: 36*10*1/3, czyli 120.
Jeśli zastosujemy inną piramidę, na przykład taką, która ma podstawę w kształcie pięciokąta o powierzchni 26 i wysokości 8, objętość wyniesie: 1/3 * 26 * 8 = 69, 33
Oblicz objętość Krok 26 Krok 6. Pamiętaj, aby podać odpowiedź w jednostkach sześciennych
Wymiary w naszej przykładowej piramidzie są w calach, więc objętość musi być wyrażona w calach sześciennych, czyli 120. Jeśli nasza piramida jest mierzona w metrach, objętość musi być wyrażona w metrach sześciennych (m3).
Metoda 5 z 6: Obliczanie objętości stożka
Oblicz objętość Krok 27 Krok 1. Poznaj kształt stożka
Stożek to trójwymiarowy kształt o okrągłej podstawie i wierzchołku. Innym sposobem myślenia o tym jest myślenie o stożku jako piramidzie o okrągłej podstawie.
Jeśli wierzchołek stożka znajduje się dokładnie w środku koła, stożek jest „prawdziwym stożkiem”. Jeśli wierzchołek nie znajduje się dokładnie pośrodku, stożek nazywa się „stożkiem ukośnym”. Na szczęście formuła obliczania objętości obu jest taka sama
Oblicz objętość Krok 28 Krok 2. Opanuj formułę obliczania objętości stożka
Wzór to V = 1/3πr2t, gdzie r jest promieniem okrągłej podstawy stożka, gdzie t jest wysokością i jest stałą pi, zaokrągloną do 3,14.
r. część2 z wzoru odnosi się do obszaru podstawy okrągłego stożka. Zatem wzór na objętość stożka to 1/3bt, tak jak wzór na objętość piramidy w poprzedniej metodzie!
Oblicz objętość Krok 29 Krok 3. Oblicz obszar okrągłej podstawy stożka
Aby to zrobić, musisz znać promień, który powinien być już zapisany na twoim schemacie. Jeśli podano tylko średnicę, podziel tę wartość przez 2, ponieważ średnica jest 2 razy większa od promienia (d = 2r). Następnie wprowadź wartość promienia do wzoru A = r2 obliczyć powierzchnię.
- W przykładzie na diagramie promień podstawy stożka wynosi 3 cale. Kiedy wstawimy to do wzoru, to: A = 32.
- 32 = 3 * 3, czyli 0, więc A = 9π.
- A = 28, 27 cali2
Oblicz objętość Krok 30 Krok 4. Znajdź wysokość stożka
Jest to pionowa odległość między podstawą stożka a jego wierzchołkiem. W naszym przykładzie wysokość stożka wynosi 5 cali.
Oblicz objętość Krok 31 Krok 5. Pomnóż wysokość stożka przez powierzchnię podstawy
W naszym przykładzie obszar ten ma 28,27 cala2 a wysokość to 5 cali, więc bt = 28, 27 * 5 = 141, 35.
Oblicz objętość Krok 32 Krok 6. Teraz pomnóż wynik przez 1/3 (lub możesz podzielić przez 3), aby znaleźć objętość stożka
W powyższym kroku obliczyliśmy objętość cylindra, który uformowałby się, gdyby ściany stożka rozciągały się prosto w inny okrąg zamiast zwężać się do punktu. Dzielenie przez 3 daje objętość samego stożka.
- W naszym przykładzie 141, 35 * 1/3 = 47, 12, to jest objętość stożka.
- Alternatywnie, 1/3π325 = 47, 12
Oblicz objętość Krok 33 Krok 7. Pamiętaj, aby podać odpowiedź w jednostkach sześciennych
Nasz stożek jest mierzony w calach, więc jego objętość musi być wyrażona w calach sześciennych: 47,12 cala3.
Metoda 6 z 6: Obliczanie objętości piłki
Oblicz objętość Krok 34 Krok 1. Znajdź kształt
Kula to idealnie kulisty trójwymiarowy obiekt, w którym każdy punkt na jej powierzchni znajduje się w tej samej odległości od jej środka. Innymi słowy, zawarte są tutaj obiekty kuliste.
Oblicz objętość Krok 35 Krok 2. Naucz się wzoru na objętość kuli
Wzór na objętość tej kuli to V = 4/3πr3 (czytaj: „cztery trzecie pi r-sześcian”), gdzie r jest promieniem kuli i jest stałą pinu (3, 14).
Oblicz objętość Krok 36 Krok 3. Znajdź promień kuli
Jeśli podano promień, to znalezienie r jest po prostu łatwą sprawą. Jeśli podana jest średnica, musisz podzielić przez 2, aby znaleźć wartość promienia. Na przykład promień kuli na naszym diagramie wynosi 3 cale.
Oblicz objętość Krok 37 Krok 4. Zmierz piłkę, jeśli promień jest nieznany
Jeśli chcesz zmierzyć obiekt kulisty (np. piłkę tenisową), aby znaleźć jego promień, najpierw weź sznurek wystarczająco duży, aby owinąć go wokół obiektu. Następnie okrąż przedmiot w najszerszym miejscu i zaznacz, gdzie sznurek ponownie dotyka końca. Następnie zmierz sznurek linijką, aby znaleźć jego zewnętrzny obwód. Podziel tę wartość przez 2π lub 6, 28, a otrzymasz promień kuli.
- Na przykład, jeśli zmierzysz kulę i znajdziesz punkt na obwodzie 18 cali, podziel przez 6,28, a otrzymasz promień 2,87 cala.
- Mierzenie obiektów sferycznych może być nieco skomplikowane, więc upewnij się, że mierzysz 3 różne czasy i weź średnią (zsumuj wszystkie trzy pomiary, a następnie podziel przez 3), aby upewnić się, że uzyskasz najdokładniejszą wartość.
- Na przykład, jeśli Twój obwód zewnętrzny to 18 cali, 17,75 cali i 18,2 cali, dodaj je wszystkie (18 + 17,5 + 18, 2 = 53,95) i podziel wynik przez 3 (53,95/3 = 17, 98). Użyj tej średniej w obliczeniach objętości.
Oblicz objętość Krok 38 Krok 5. Sześcienny promień, aby znaleźć r3.
Oznacza to, że musisz pomnożyć ją przez samą liczbę 3 razy, więc r3 = r * r * r. W naszym przykładzie r = 3, więc r3 = 3 * 3 * 3 lub 27.
Oblicz objętość Krok 39 Krok 6. Teraz pomnóż swoją odpowiedź przez 4/3
Możesz użyć kalkulatora lub obliczyć go ręcznie i uprościć ułamek. W naszym przykładzie pomnożenie 27 przez 4/3 = 108/3 lub 36.
Oblicz objętość Krok 40 Krok 7. Pomnóż wynik przez, aby znaleźć objętość kuli
Ostatnim krokiem przy obliczaniu objętości jest pomnożenie wyniku przez. Zaokrąglanie do dwóch cyfr jest zwykle wystarczające dla większości zadań matematycznych (chyba że nauczyciel mówi inaczej), więc pomnóż przez 3, 14, a znajdziesz odpowiedź.
W naszym przykładzie 36 * 3, 14 = 113, 09
Oblicz objętość Krok 41 Krok 8. Wyraź swoją odpowiedź w jednostkach sześciennych
W naszym przykładzie promień kuli jest mierzony w calach, więc naszą prawdziwą odpowiedzią jest V = 113,09 cala sześciennego (113,09 cala).3).
