Jak narysować wykres kwadratowy: 10 kroków (ze zdjęciami)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-02-01 14:15

Przedstawione graficznie równanie kwadratowe ma postać topór² + bx + c lub a(x-h)² + k tworzą literę U lub odwróconą krzywą U zwaną parabolą. Wykreślanie równania kwadratowego szuka wierzchołka, kierunku, a często przecięcia x i y. W przypadku dość prostych równań kwadratowych wystarczy wpisać zbiór wartości x i wykreślić krzywą na podstawie wypadkowych punktów. Zobacz krok 1 poniżej, aby rozpocząć.

Krok

Krok 1. Określ formę równania kwadratowego, które masz

Równania kwadratowe można zapisać w trzech różnych formach: formie ogólnej, formie wierzchołkowej i formie kwadratowej. Możesz użyć dowolnej formy do wykreślenia równania kwadratowego; proces przedstawiania każdego wykresu jest nieco inny. Jeśli odrabiasz pracę domową, zwykle będziesz otrzymywać pytania w jednej z tych dwóch form – innymi słowy, nie będziesz mieć możliwości wyboru, więc najlepiej jest zrozumieć obie. Dwie formy równania kwadratowego to:

• Forma ogólna.

  W tej postaci równanie kwadratowe jest zapisane jako: f(x) = ax² + bx + c gdzie a, b i c są liczbami rzeczywistymi, a a nie jest zerem.

  Na przykład dwa równania kwadratowe o postaci ogólnej to f(x) = x² + 2x + 1 i f(x) = 9x² + 10x -8.

• Kształt szczytu.

  W tej postaci równanie kwadratowe jest zapisane jako: f(x) = a(x - h)² + k gdzie a, h i k są liczbami rzeczywistymi, a a nie jest zerem. Nazywa się to formą wierzchołkową, ponieważ h i k natychmiast dadzą wierzchołek (punkt środkowy) twojej paraboli w punkcie (h, k).

  Dwa równania formy wierzchołkowej to f(x) = 9(x - 4)² + 18 i -3 (x - 5)² + 1

• Aby wykreślić dowolny typ równania, musimy najpierw znaleźć wierzchołek paraboli, który jest punktem środkowym (h, k) na końcu krzywej. Współrzędne pików w postaci ogólnej są obliczane jako: h = -b/2a i k = f(h), natomiast w postaci pików h i k są w równaniu.

Krok 2. Zdefiniuj swoje zmienne

Aby rozwiązać problem kwadratowy, zmienne a, b i c (lub a, h i k) zwykle muszą być zdefiniowane. Zwykłe zadanie algebry da równanie kwadratowe z dostępnymi zmiennymi, zwykle w postaci ogólnej, ale czasami w postaci szczytowej.

• Na przykład dla równania o postaci ogólnej f(x) = 2x² +16x + 39, mamy a = 2, b = 16 i c = 39.
• Dla postaci piku równanie f(x) = 4(x - 5)² + 12, mamy a = 4, h = 5 i k = 12.

Krok 3. Oblicz godz

W równaniu formy wierzchołkowej twoja wartość h jest już podana, ale w ogólnym równaniu formy wartość h musi zostać obliczona. Pamiętaj, że dla równań o postaci ogólnej h = -b/2a.

• W naszym ogólnym przykładzie (f(x) = 2x² +16x + 39), h = -b/2a = -16/2(2). Po rozwiązaniu stwierdzamy, że h = - 4.
• W naszym przykładzie formy wierzchołkowej (f(x) = 4(x - 5)² + 12), wiemy, że h = 5 bez matematyki.

Krok 4. Oblicz k

Podobnie jak h, k jest już znane w równaniu postaci piku. W przypadku równań o postaci ogólnej pamiętaj, że k = f(h). Innymi słowy, możesz znaleźć k, zastępując wszystkie wartości x w swoim równaniu wartościami h, które właśnie znalazłeś.

• W naszym ogólnym przykładzie ustaliliśmy już, że h = -4. Aby znaleźć k, rozwiązujemy nasze równanie, podstawiając naszą wartość h zamiast x:

  • k = 2(-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2(16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Krok 7.

• W naszym przykładzie formy szczytowej ponownie znamy wartość k (która wynosi 12) bez konieczności wykonywania matematyki.

Krok 5. Narysuj swój szczyt

Wierzchołek twojej paraboli to punkt (h, k) – h reprezentuje współrzędną x, podczas gdy k reprezentuje współrzędną y. Wierzchołek jest punktem środkowym twojej paraboli – albo na dole litery U, albo na górze odwróconej litery U. Znajomość wierzchołków jest ważną częścią rysowania precyzyjnej paraboli – często w szkole, określenie wierzchołka jest częścią, której należy szukać w pytaniu.

• W naszym ogólnym przykładzie, nasz szczyt to (-4, 7). W ten sposób nasza parabola zakończy się 4 krokami w lewo od 0 i 7 kroków powyżej (0, 0). Musimy przedstawić ten punkt na naszym wykresie, upewniając się, że zaznaczyliśmy współrzędne.
• W naszym przykładzie formy wierzchołkowej, nasz wierzchołek to (5, 12). Musimy narysować punkt 5 kroków w prawo i 12 kroków powyżej (0, 0).

Krok 6. Narysuj oś paraboli (opcjonalnie)

Oś symetrii paraboli to linia przechodząca przez jej środek, dzieląca ją dokładnie pośrodku. Na tej osi lewa strona paraboli będzie odbijać prawą stronę. Dla równań kwadratowych w postaci ax² + bx + c lub a(x - h)² + k, oś symetrii to linia równoległa do osi y (innymi słowy dokładnie pionowa) i przechodząca przez wierzchołek.

W przypadku naszego ogólnego przykładu, oś jest linią równoległą do osi y i przechodzącą przez punkt (-4, 7). Nawet jeśli nie jest to część paraboli, cienkie zaznaczenie tej linii na wykresie ostatecznie pomoże ci zobaczyć symetryczny kształt krzywej paraboli

Krok 7. Znajdź kierunek otwarcia paraboli

Po poznaniu szczytu i osi paraboli, musimy wiedzieć, czy parabola otwiera się w górę czy w dół. Na szczęście jest to łatwe. Jeśli wartość a jest dodatnia, parabola otworzy się w górę, natomiast jeśli wartość a jest ujemna, parabola otworzy się w dół (tj. parabola zostanie odwrócona).

• Dla naszego ogólnego przykładu postaci (f(x) = 2x² +16x + 39), wiemy, że mamy parabolę, która się otwiera, ponieważ w naszym równaniu a = 2 (dodatnie).
• Dla naszego przykładu formy wierzchołkowej (f(x) = 4(x - 5)² + 12), wiemy, że mamy również parabolę, która się otwiera, ponieważ a = 4 (dodatnia).

Krok 8. W razie potrzeby znajdź i narysuj punkt przecięcia osi X

Często podczas zajęć szkolnych zostaniesz poproszony o znalezienie punktu przecięcia osi x na paraboli (jest to jeden lub dwa punkty, w których parabola styka się z osią x). Nawet jeśli go nie znajdziesz, te dwa punkty są bardzo ważne dla narysowania precyzyjnej paraboli. Jednak nie wszystkie parabole mają punkt przecięcia osi X. Jeśli twoja parabola ma wierzchołek, który się otwiera, a jej wierzchołek znajduje się powyżej osi x, lub jeśli otwiera się w dół, a jej wierzchołek znajduje się poniżej osi x, parabola nie będzie miała przecięcia osi x. W przeciwnym razie rozwiąż swój punkt przecięcia osi X w jeden z następujących sposobów:

• Po prostu ustaw f(x) = 0 i rozwiąż równanie. Ta metoda może być stosowana do prostych równań kwadratowych, zwłaszcza w postaci pików, ale będzie bardzo trudna dla złożonych równań. Zobacz poniżej przykład

  • f(x) = 4(x - 12)² - 4
  • 0 = 4(x-12)² - 4
  • 4 = 4(x-12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Korzeń (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 i 13 to punkt przecięcia osi x w paraboli.

• Rozłóż swoje równanie na czynniki. Niektóre równania w postaci ax² + bx + c można łatwo uwzględnić w postaci (dx + e)(fx +g), gdzie dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx oraz e × g = c. W tym przypadku Twoje punkty przecięcia z osią x to wartości x, które sprawią, że dowolny wyraz w nawiasach = 0. Na przykład:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1)(x + 1)
  • W tym przypadku jedynym punktem przecięcia z osią x jest -1, ponieważ ustawienie x równego -1 spowoduje, że każdy wyraz czynnikowy w nawiasach będzie równy 0.

• Użyj wzoru kwadratowego. Jeśli nie możesz łatwo rozwiązać swojego przecięcia z osią X lub podzielić równanie na czynniki, użyj specjalnego równania zwanego równaniem kwadratowym, które zostało stworzone w tym celu. Jeśli nie jest jeszcze rozwiązane, przekształć swoje równanie do postaci ax² + bx + c, a następnie wprowadź a, b i c do wzoru x = (-b +/- sqrt(b)² - 4ac))/2a. Zauważ, że ta metoda często daje dwie odpowiedzi dla wartości x, co jest w porządku – oznacza to po prostu, że twoja parabola ma dwa przecięcia z osią x. Zobacz poniżej przykład:

  • -5x² + 1x + 10 wstawiamy do wzoru kwadratowego w następujący sposób:
  • x = (-1 +/- pierwiastek (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- pierwiastek (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- pierwiastek (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) i (-15, 18/-10). Punkt przecięcia x w paraboli to x = - 1, 318 oraz 1, 518
  • Nasz poprzedni przykład formy ogólnej, 2x² +16x+39 wstawia się do wzoru kwadratowego w następujący sposób:
  • x = (-16 +/- pierwiastek (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- pierwiastek (256 - 312))/4
  • x = (-16 +/- pierwiastek (-56)/-10
  • Ponieważ nie można znaleźć pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, wiemy, że ta parabola nie ma przecięcia osi x.

Krok 9. W razie potrzeby znajdź i narysuj punkt przecięcia y

Chociaż często nie jest konieczne szukanie punktu przecięcia y w równaniach (punkt, w którym parabola przechodzi przez oś y), być może w końcu będziesz musiał go znaleźć, zwłaszcza jeśli jesteś w szkole. Proces jest dość prosty – po prostu ustaw x = 0, a następnie rozwiąż równanie dla f(x) lub y, co daje wartość y, w której parabola przechodzi przez oś y. W przeciwieństwie do punktu przecięcia z osią X, parabola regularna może mieć tylko jeden punkt przecięcia z osią Y. Uwaga – dla równań o postaci ogólnej punkt przecięcia z osią y jest w punkcie y = c.

• Na przykład wiemy, że nasze równanie kwadratowe to 2x² + 16x + 39 ma punkt przecięcia z osią y w punkcie y = 39, ale można go również znaleźć w następujący sposób:

  • f(x) = 2x² +16x+39
  • f(x) = 2(0)² + 16(0) + 39

  • f(x) = 39. Punkt przecięcia z y paraboli jest w y = 39.

    Jak wspomniano powyżej, punkt przecięcia z osią y znajduje się w punkcie y = c.

• Forma naszego równania wierzchołków to 4(x - 5)² + 12 ma punkt przecięcia Y, który można znaleźć w następujący sposób:

  • f(x) = 4(x - 5)² + 12
  • f(x) = 4(0 - 5)² + 12
  • f(x) = 4(-5)² + 12
  • f(x) = 4(25) + 12

  • f(x) = 112. Punkt przecięcia paraboli z y jest w y = 112.

Krok 10. W razie potrzeby narysuj dodatkowe punkty, a następnie narysuj wykres

Teraz masz w równaniu wierzchołek, kierunek, punkt przecięcia z osią x i prawdopodobnie punkt przecięcia z osią Y. Na tym etapie możesz spróbować narysować swoją parabolę, korzystając z punktów, które masz jako przewodnika, lub poszukać innych punktów do wypełnienia paraboli, aby narysowana krzywa była bardziej precyzyjna. Najprostszym sposobem, aby to zrobić, jest po prostu wprowadzenie kilku wartości x po dowolnej stronie wierzchołka, a następnie wykreślenie tych punktów za pomocą otrzymanych wartości y. Często nauczyciele proszą o wyszukanie kilku punktów przed narysowaniem paraboli.

• Przyjrzyjmy się równaniu x² + 2x + 1. Wiemy już, że punkt przecięcia z osią x jest tylko w punkcie x = -1. Ponieważ krzywa dotyka osi x tylko w jednym punkcie, możemy wywnioskować, że wierzchołek jest jej punktem przecięcia z osią x, co oznacza, że wierzchołek ma (-1, 0). Faktycznie mamy tylko jeden punkt za tę parabolę – za mało, aby narysować dobrą parabolę. Poszukajmy kilku innych punktów, aby upewnić się, że rysujemy dokładny wykres.

  • Znajdźmy wartości y dla następujących wartości x: 0, 1, -2 i -3.
  • Dla 0: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. Nasz punkt to (0, 1).

  • Dla 1: f(x) = (1)² + 2(1) + 1 = 4. Naszym punktem jest (1, 4).

  • Dla -2: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. Nasz punkt to (-2, 1).

  • Dla -3: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. Nasz punkt to (-3, 4).

  • Narysuj te punkty na wykresie i narysuj krzywą w kształcie litery U. Zauważ, że parabola jest idealnie symetryczna – gdy twoje punkty po jednej stronie paraboli są liczbami całkowitymi, zwykle możesz zmniejszyć pracę polegającą na prostym odbiciu danego punktu na osi symetrii paraboli, aby znaleźć ten sam punkt po drugiej stronie paraboli.

Porady

• Zaokrąglaj liczby lub używaj ułamków zgodnie z prośbą nauczyciela algebry. Pomoże to lepiej wykreślić równanie kwadratowe.
• Zauważ, że w f(x) = ax² + bx + c, jeśli b lub c jest równe zero, te liczby znikną. Na przykład 12x² + 0x + 6 staje się 12x² + 6, ponieważ 0x to 0.